«Мыслящий тростник». Жизнь и творчество Паскаля в восприятии русских философов и писателей

5

Если бы человек никогда не был испорчен, приближает Паскаль не поддающуюся рассудку разгадку сложной и запутанной человеческой природы, он оставался бы полностью счастлив и справедлив и знал бы достоверную истину; если бы человек был только испорчен, он не имел бы никакой идеи о благе, истине и справедливости. Но у нас есть идея счастья, а мы не можем его достичь, мы чувствуем образ правды, а обладаем только ложью. Все это говорит о том, что мы стояли когда-то на высокой ступени совершенства, с которой упали.

Но именно об этом свидетельствует и Священное Писание (единственный надежный для Паскаля «порт» морали), примиряя и снимая противоречия человеческой природы, объясняя основания нищеты и величия существования людей в своем догмате о первородном грехе. Здесь Паскаль ни в чем не отступает от традиционных объяснений и вовсе не пытается быть оригинальным: Бог создал человека совершенным существом – по своему образу и подобию. Но человек восстал против Творца и был низвергнут из состояния совершенства. Это наказание первочеловека распространилось и на все последующие поколения людей. Тайна передачи греха от Адама другим людям, пишет Паскаль, наиболее удалена от нашего знания. Ничего не вызывает большего сопротивления разума, чем это учение. «Однако без этой тайны, самой непонятной из всех, мы непонятны самим себе. Узел нашего существования завязывается в своих изгибах на дне этой пропасти, и человек еще более непостижим без этой тайны, нежели она непостижима человеку». Но этот узел спрятан так высоко, вернее, так низко, что узреть его можно лишь смиренной верой, а не гордыми усилиями разума.

Смиренномудрое же постижение свободным подвигом веры, который преодолевает неумолимые возражения рассудка и неудержимо навязчивый напор бессмысленной жизненной эмпирии, обнадеживает человека и дает ему понять, что Спаситель, приняв на себя его грехи, своей крестной смертью создал источник прощения и благодати. Этим постоянным взаимодействием в душе людей сверхъестественной благодати и греховной испорченной природы, «горнего» и «дольнего» и объясняет Паскаль величие и ничтожество его существования. Не одна природная, а две разные силы действуют в человеке, ибо не может быть стольких противоречий в простом однородном существе: все доброе в нем является отголоском невинного состояния и следствием действующей благодати, а все злое – следствием греха и отпадения.

Без веры в абсолютное, являющейся источником высшего просветленного разумения, как бы заключает Паскаль первую часть своей апологии, нигде, никогда и никто на земле не был бы подлинно счастлив.

Для достижения такого состояния, пишет он далее, у человека есть три средства – разум, привычка, вдохновение. Даже наш узкий и хилый рассудок, ничего не решающий в последней инстанции, может помогать нам двигаться навстречу благодати. Большой знаменитый отрывок апологии «Бесконечное, ничто» (названный исследователями «Фрагментом пари»), где используются элементы теории вероятностей, адресуется тем, кто безоговорочно доверяется математически-игровому началу бытия и, подобно мольеровскому Дон Жуану, меркантильно верит лишь во все подсчитываемое (будь то завзятые игроки и «порядочные» Миттоны и де Мере, посмеивающиеся над религией, или просто люди, не убеждаемые ни христианами, ни атеистами и находящиеся вследствие этого в «подвешенном» положении).

«Фрагмент пари» представляет собой диалог, в котором главное действующее лицо (назовем его автором) пытается победить собеседника его же собственным оружием (здравым смыслом и корыстным интересом) и показать всю невыгодность неприятия Бога. Автор замечает, что, опираясь лишь на разум, вопрос о существовании Бога нельзя решить ни в положительную, ни в отрицательную сторону, поэтому не следует порицать тех, кто сделал положительный выбор, – «вы ведь об этом ничего не знаете». Собеседник уточняет, что он порицает христиан не за данный выбор, а за выбор вообще, так как в обоих случаях получается ложное с точки зрения разума положение: разумнее вообще не выбирать. Но держать пари на существование Бога, то есть выбирать, отвечает автор, все-таки необходимо: мы не вольны не делать этого, ибо каждый наш шаг и поступок (вне зависимости от желания и осознания) есть выбор и то или иное решение вопроса о человеческом назначении и спасении. При неизбежности выбора автор призывает собеседника заключить пари на существование Бога и предлагает ему взвесить выигрыш и проигрыш: в случае выигрыша мы приобретаем бесконечное благо, а в случае проигрыша ничего не теряем, ибо ничтожность закладываемого (испорченной воли, недостоверных знаний и животных удовольствий) очевидна сама по себе. Затем он переходит к более детальному выяснению соотношения между числом шансов и размером ставок: если шансы выигрыша и проигрыша одинаковы (равно возможно, что есть Бог и что Его нет), то и тогда следовало бы ставить на существование Бога, как если бы предполагалось выиграть две жизни (не говоря о трех) за одну; не делать же этого, когда речь идет о неиссякаемом счастье в вечности, совсем неблагоразумно (тем более что, как уже отмечалось, не играть нельзя). Более того, заостряет Блез проблему смещением равновероятных возможностей выигрыша и проигрыша, если бы у нас из неисчислимого количества шансов имелся один, то и тогда нам следовало бы ставить в заклад одну жизнь за две, за три (не говоря уж о бесконечном блаженстве). Всегда, как бы подытоживает автор, когда речь идет о бесконечном выигрыше, а количество неблагоприятных исходов носит ограниченный характер, нужно ставить на карту все, тем более что это все является конечной величиной. И раз уж мы принуждены играть, то при одинаковой вероятности выигрыша бесконечности и проигрыша нашего ничтожества беречь жизнь и не рисковать ею – значит проявить безумие. Общий смысл этого пари, замечает один из исследователей, несмотря на известную расчетливость, остается всегда себе равным и несомненным: «стоит верное ничто обменять на неверную Бесконечность, тем более что в последней меняющий может снова получить свое ничто, но уже как нечто; однако если для отвлеченной мысли выгодность такого обмена ясна сразу, то перевести эту мысль в область конкретной душевной жизни удается не сразу: как раненый зверь защищает себя уличенная самость».

И действительно, хотя собеседник начинает постепенно поддаваться выгодности такого обмена и математическим выкладкам, которые слегка подталкивают его к тому, чтобы начать жить согласно христианской морали, однако это решение он никак не может воплотить в конкретной душевной жизни и признается в бессилии верить. Автор «Фрагмента пари» соглашается, что его рассуждения, затрагивающие лишь поверхностный слой ума и корыстное расположение души, не могут привести к коренному изменению жизни. Поэтому необходимо призвать на помощь еще одно, хотя тоже не решающее, но мощное человеческое средство – привычку (как и разум, привычка здесь, в новом диалектическом освещении, приобретает положительную силу). Мы представляем собой, пишет Паскаль, насколько разум, настолько и автомат. Отсюда происходит то, что убеждение наше формируется не только из доказательств, воздействующих на ум. «Привычка составляет наши самые сильные и явные доказательства» и ведет за собою разум, «который не замечает этого». Посему необходимо, чтобы привычка согласовывалась с разумными доказательствами, а не уводила в противоположную сторону. Автор советует собеседнику, обнаружившему бессилие верить под напором рассудка и собственного интереса, стараться убедить себя не умножением доказательств в пользу Бога, а уменьшением собственных страстей, своей пеленой закрывающих ясное видение мира, изменением симпатий и антипатий, образующих привычное течение жизни.

«Но этого-то я и боюсь!» – восклицает собеседник. «Почему? Что вы теряете?.. Что плохого в таком решении? Вы будете верны, честны, смиренны, признательны, благотворительны, будете искренним настоящим другом. Правда, вы не будете вращаться в зачумленных удовольствиях, среди славы и наслаждений, но разве у вас не будет других удовольствий?».

6

Но ни разум, ни привычка, продолжает Паскаль свои размышления, не могут нас заставить по-настоящему верить, если человека не коснется вдохновение свыше, которое одно только может подействовать на самые глубинные основания его внутреннего мира – волю и сердце. Воля, по его мнению, является одним из основных средств различного рода верований, ибо она направляется к вещам, которые ей нравятся, всегда увлекая за собой покорный разум и отвлекая его не только от противоположных, но и многих других вещей. Таким образом, разум приучается верить в те порядки и категории бытия, к которым его склонила воля и которые вследствие этого чаще всего предстают перед его взором. Только вдохновение может направить волю по иным путям и соответственно привести разум к более объемному и целостному видению мира.

Но главное свое воздействие, считает Паскаль, вдохновение оказывает на сердце – это средоточие человеческого существа, корень всех его деятельных способностей и духовной жизни, источник доброй и злой воли. Вся наша логика и все поступки обусловлены глубинным духовным чувствованием бытия и его осознанной или неосознанной оценкой, возникающей на основе этого чувствования. Все наши рассуждения вытекают из такого предубеждения и в конечном счете всегда уступают ему, как бы мы ни старались своим разумом освободиться от него: «у сердца свои доводы, которых совсем не знает разум». И это проявляется на каждом шагу, в различных жизненных ситуациях. Проявляется, как считает Паскаль, и в главном: человеческое сердце так же естественно любит себя и ожесточается против Бога, как, наоборот, любит Бога и ожесточается против себя. И не найти основания подобным чувствам, из пределов которых человек не может выйти ни в одном из своих поступков: «Вы отбросили одно и сохранили другое – разве с помощью разума вы любите?». Но именно из подобных чувств, как из невидимых подпочвенных зерен, замечает Паскаль, и возникает жизнепонимание и жизнедеятельность человека.

Только в чистом сердце, пишет Паскаль, пробуждается совершенная и истинная любовь – это последнее и абсолютное основание нашего бытия, приобретающее в личном опыте наивысшую достоверность по сравнению с наличной действительностью и доказательствами рассудка, самая мощная и неподвластная человеческим возможностям сверхприродная сила, собирающая воедино все калейдоскопические осколки нашей жизни. И бесконечное расстояние между телом и духом служит лишь слабым подобием несравненно большего расстояния между духом и любовью, которая выводит человека к новой преображенной реальности. Короли, богачи, полководцы не видят величия людей ума, которые, в свою очередь, не замечают внешнего блеска этих «великих людей плоти».

«Есть люди, которые способны удивляться только плотскому величию, как будто духовного и вовсе не существовало; другие восхищаются лишь духовным величием, как будто не было бесконечно более высокого величия Премудрости.

Все тела, небесный свод, звезды, земля с ее царствами не стоят слабейшего из умов, ибо он познает все это и самого себя, а тела ничего не познают (здесь Декарт поставил бы точку. – Б. Г.).

Все тела в совокупности, все умы вместе и все их произведения не стоят даже малейшего проявления любви. Это свойство бесконечно более высокого порядка.

Все тела в совокупности не могли бы произвести самой ничтожной мысли: это невозможно, это явление иного порядка. Из всех тел и умов нельзя было бы извлечь ни одного движения истинной любви: это невозможно, это явление иного порядка, это – выше природы».

Уже мысль, как замечал Паскаль, частично «свертывает» устрашающие космические бесконечности, любовь же окончательно преодолевает страх перед ними, «свертывая» и саму мысль с ее противоречиями. Когда же эта любовь начинает умирять духовную борьбу в сердце человека, ему, как полагает Паскаль, может послышаться голос самого Спасителя. Эту тему он развивает в знаменитом фрагменте «Таинство Иисуса», которому традиционно посвящаются многие страницы исследовательской литературы. Приведем несколько чаще всего цитируемых строк этого фрагмента:

Утешься! Ты не искал бы Меня, если бы уже не нашел.
Я думал о тебе в предсмертном борении, за тебя Я пролил кровь.
Неужели ты хочешь, чтобы Я всегда проливал свою кровь, а ты не пролил и слез?..
Врачи тебя не исцелят, и ты все-таки умрешь под конец.
Но Я исцеляю и делаю тело бессмертным.
Терпи цепи и телесное рабство, пока Я освобождаю тебя лишь от духовного рабства.
Я тебе более друг, чем кто-либо другой, ибо Я сделал для тебя больше их: они не вытерпели бы того, что Я вытерпел от тебя, и не умерли бы за тебя во время твоей неверности и жестокости, как Я это сделал, готов делать и делаю…

Вот к преддверию такого состояния, ведущего к подлинному душевному покою и духовной уверенности, и хочет Паскаль приблизить человека с помощью своей апологии.

VI. Последние годы жизни

1

Хотя в конце 1654 года Блез решительно отстранился от научного творчества, старые увлечения через несколько лет стали вновь давать о себе знать. Уже в мае 1657 года, то есть сразу после окончания изнурительной полемики Блеза с иезуитами, один из французских математиков писал Гюйгенсу, что, хотя господин Паскаль всецело предается в своем уединении благочестивым занятиям, он не потерял тем не менее из виду математику. Действительно, Блез изредка беседует с Каркави, с которым он сблизился еще во времена посещения кружка Мерсенна, об азартных играх и теории вероятностей, встречается с Робервалем. Однако более веским свидетельством того, что математика пребывает в поле зрения Паскаля, является его переписка с льежским каноником и знатоком геометрии Слюзом. Они обмениваются решениями ряда вопросов, связанных, в частности, с изучением кривых, называемых Блезом «жемчужинами». В мае 1658 года Слюз в письме к Паскалю восхищается его результатами, используя для их характеристики столь нелюбимый поборником «естественного стиля» напыщенный слог и форсированные антитезы: «…Это не весенние цветы, подверженные влияниям времен года, а скорее никогда не увядающие амаранты, собранные в самых прекрасных цветниках геометрии».

Мелкие и разрозненные исследования Паскаля этого периода не предвещали никаких новых открытий, так как были скорее данью прошлому, нежели целеустремленной деятельностью.

Кроме того, он считал теперь систематические занятия наукой совершенно бесполезными для себя (и не только для себя), а потому не собирался никогда более к ним возвращаться. Но вернуться все-таки пришлось.

Весной 1658 года здоровье тридцатипятилетнего Блеза в очередной раз резко ухудшается, начинаются невыносимые зубные боли, совсем отнимающие сон и не дающие ни минуты телесного покоя. Однажды поздно вечером, когда герцог де Роаннец покидает своего больного друга и отправляется домой, Паскалю становится совсем плохо. Пытаясь как-то приглушить страдания, он вдруг вспоминает некогда затруднившую Мерсенна задачу о циклоиде, или рулетте, и принимается решать ее.

«Рулетта, – писал Паскаль, – является линией столь обычной, что после прямой и окружности нет более часто встречающейся линии; она так часто вычерчивается перед глазами каждого, что приходится удивляться тому, как не рассмотрели ее древние… ибо это не что иное, как путь, описываемый в воздухе гвоздем колеса, когда оно катится своим привычным движением, с того момента, как гвоздь начал подниматься от земли, до того, как непрерывное качение колеса не приводит его опять к земле после окончания целого оборота, считая, что колесо – идеальный круг, гвоздь – точка его окружности, а земля – идеально плоская».

Действительно, «столь обычная» и «часто встречающаяся линия» стала широко замечаться и фигурировать в науке и технике лишь с XVII века. В настоящее же время циклоидальные кривые по своему практическому значению и использованию стоят рядом с такими популярными кривыми, как эллипс, парабола или баллистическая траектория, и их можно обнаружить в форме профилей зубьев шестерен, в очертаниях эксцентриков, кулачков и других деталей машин. «Путь, описываемый в воздухе гвоздем колеса», постепенно замечался не только учеными; например, в одном из эпизодов «Путешествий Гулливера» Свифта «на второе был подан пирог в форме циклоиды…». Хотя еще в середине XV века теолог и математик Николай Кузанский, наблюдая за движущимся экипажем, стал размышлять над особенностями этого пути, лишь в конце XVI столетия впервые основательно изучил данную кривую Галилей, который и назвал ее циклоидой (название происходит от греческого слова kykloeides – кругообразный). Галилей пытался вычислить площадь циклоиды и сравнить ее с площадью «порождающего круга». Для этого он изготовил соответствующие металлические поверхности и взвесил их: оказалось, что площадь циклоиды приблизительно в три раза больше площади круга. Сам основатель современного естествознания о своих исследованиях циклоиды ничего не писал, и о них известно лишь из упоминаний его последователей и учеников – Вивиани, Торричелли и других.

В начале XVII века над «путем, описываемым в воздухе гвоздем колеса», стал задумываться в монастырском уединении и Мерсенн. Во Франции эту кривую назвали рулеттой (от французского глагола rouler – «катиться»). Когда он сообщил о своих наблюдениях Робервалю, тот занялся тщательным исследованием кривой: по методу неделимых он определил центр тяжести и квадратуру рулетты, кубатуру тел ее вращения и решил ряд других вопросов. Мерсенн в 1638 году писал Декарту по этому поводу:

«Что касается господина Роберваля, он нашел множество новых результатов как геометрических, так и механических… Он нашел, что площадь рулетты равна трем площадям ее производящей окружности» (результат, ранее найденный Галилеем приблизительным эмпирическим методом). В ответном письме великий рационалист похвалил решение Роберваля, но тут же подковырнул своего извечного противника, заметив, что задача была довольно проста и малоинтересна. Сам Декарт также занимался вычислением площади циклоиды и построением касательной к данной кривой, что явилось поводом для традиционной полемики между ним и Робервалем по вопросу приоритета. Если установить истину в этой полемике трудно, то в случае с Торричелли, также исследовавшим циклоиду, Роберваль был явно не прав. Постоянно держа свои результаты в секрете и медля с их публикацией, последний напрасно жаловался на иностранцев, якобы набрасывавшихся на его открытия, словно трутни на мед. Торричелли вполне самостоятельно приготовил собственный «мед». (Влияние Роберваля сказалось в написанной Паскалем в октябре 1658 года «Истории рулетты», где итальянский математик незаслуженно обвиняется в плагиате.)

Хотя Декарт и недоумевал, почему так увлекаются задачами, связанными с этой кривой («Как можно поднимать такой шум по поводу открытия вещи настолько простой…»), но, как видно, циклоида была темой, чрезвычайно популярной в научной среде. Не потому ли она и пришла Паскалю сразу на ум, как только ему понадобилось «лекарство»? В бессонную мучительную ночь, заглушая острейшую боль мощной работой интеллекта, безостановочно выдвигающего цепь стройных доказательств, Блез не только решает задачу Мерсенна, но и делает ряд важных математических открытий в области изучения рулетты. «Ум» побеждает «тело», и когда на следующее утро герцог де Роаннец навещает больного, тот, к его немалому изумлению, чувствует себя гораздо лучше.

Паскаль не оказывает сейчас особого внимания своим новейшим открытиям, хотя хорошо понимает их значение. Он не собирается даже записывать полученные результаты, так как циклоида выполнила свою врачующую роль. Но хитроумный герцог де Роаннец советует Блезу, работающему в это время над «Апологией…» – центральным трудом своей жизни, опубликовать найденные решения и использовать их для… косвенного убеждения атеистов; ведь человек, сделавший такие замечательные научные открытия, не может не знать всех возможностей интеллекта, когда призывает скептиков склонить свой разум перед таинствами веры. Чтобы усилить подобный эффект, герцог предлагает Паскалю устроить конкурс среди математиков Европы, на который следует выдвинуть решенные Блезом задачи. Паскаль соглашается и начинает с того, что в течение нескольких дней напряженного труда записывает решения, связанные с определением площади и центра тяжести сегмента циклоиды, объемов и центра тяжести тел вращения сегмента, центра тяжести половин этих объемов, отсекаемых плоскостью, которая проходит через ось вращения.

Эти задачи он включает в циркулярное письмо, которое в июне 1658 года под псевдонимом Амоса Деттонвилля (анаграмма Луи де Монтальта) распространяется среди известных математиков. Большинство задач, как стало известно после выхода письма, уже решил Роберваль, и Паскаль счел необходимым подводить итоги конкурса на основании решения только двух последних вопросов.

На решение задач отводится три месяца, и закрытие конкурса назначено на 1 октября 1658 года. Для премии выделено шестьдесят пистолей, а жюри должен возглавить Каркави.

В научном мире Европы конкурс вызвал большой интерес, но проблемы, поставленные анонимом, поддавались далеко не всем; Слюз справился лишь с одной из задач. Гюйгенс – с тремя первыми и частично с последней, несмотря на то, что он был большим знатоком циклоиды. Но труды «славного Гугения», как его называл Ломоносов, не пропали даром: он изобрел циклоидальный маятник и применил его в часах, показав, что период колебаний не зависит от амплитуды в случае, когда маятник описывает циклоиду, для чего требуется специальное приспособление также циклоидальной формы.

Некоторые ученые не решились прислать свои результаты, считая их несовершенными, а другие, занимаясь поставленными задачами, пришли параллельно к интересным открытиям. Так, например, двадцатишестилетний английский профессор астрономии Рен, будущий королевский архитектор (с его именем связано создание собора святого Павла в Лондоне), хотя и не решил задач, но произвел спрямление циклоиды, то есть определил ее длину. Паскаль высоко отзывался о результате Рена, тем более что в это время сравнение кривых линий с прямыми казалось нелепым, задачи о спрямлении кривых считались необыкновенно трудными и были решены лишь для окружности, параболы и некоторых спиралей.

Письмами от 7 и 9 октября Амос Деттонвилль объявил о закрытии конкурса, а 24 ноября Каркави собрал «людей весьма сведущих в геометрии» для подведения итогов. На победу в конкурсе претендовали известный английский математик Валлис и иезуит из Тулузы Лалуэр. Валлис допустил серьезные просчеты в методе исследования и в самих вычислениях, что заставило жюри отклонить его решение. Англичанин обиделся, считая, что его работу нарочно недооценили. Недоволен он был и тем, что на его просьбы продлить столь неудобный для иностранцев срок конкурса (из-за различных задержек, связанных с почтой) следовали неминуемые отказы. Отношения между Паскалем, жюри и вторым претендентом были такими же острыми. Лалуэр решил не все задачи, и его решения были малоинтересными, тем не менее он стремился доказать обратное. Между ним и Паскалем завязалась довольно длительная и изнуряющая переписка, в которой Блез уточнял конкурсные задачи, ставил дополнительные, пытаясь выяснить реальные познания тулузского иезуита в математике. В конце концов Паскаль пришел к выводу, что результаты Лалуэра были «такими ложными, что это видно даже с первого взгляда». Тон Блеза по отношению к Лалуэру неожиданно стал весьма язвительным и напоминал интонации давнишнего письма к Ле Пайеру, в котором Паскаль, как известно, иронизировал по поводу познаний в физике другого иезуита – отца Ноэля. Предметы математики, пишет Блез в одном из трудов, посвященных истории рулетты, настолько серьезны сами по себе, что иногда полезно сделать их немного развлекательными; смехотворное непонимание поставленных на конкурсе задач и делает, по его мнению, математические сочинения Лалуэра «развлекательными».

Решения Паскаля жюри признало наилучшими, и в декабре 1658 года он сочинил «Письмо Амоса Деттонвилля к господину де Каркави», в котором изложил свои результаты и приводящие к ним методы. В следующем году оно пополнилось еще несколькими трактатами, и в печати появляются «Письма Амоса Деттонвилля, содержащие некоторые из его открытий в области геометрии».

О том, что суд жюри был действительно справедливым, свидетельствуют сами результаты и методы Паскаля, всеобщее одобрение и восхищение, которое они вызвали среди европейских ученых. Так, например, в феврале 1659 года Гюйгенс писал Блезу, что хотел бы называться его учеником в науке, где Паскаль продемонстрировал свое явное превосходство над многими. А в июне того же года, характеризуя «Письмо к Каркави», Гюйгенс сообщал Слюзу: «Работа выполнена столь тонко, что к ней нельзя ничего добавить». Действительно, отвечал Слюз знаменитому голландцу, «нельзя отрицать, что прекрасные, изобретательные и тонкие идеи, содержащиеся в этой книге, могут продвинуть вперед геометрию».

И Слюз был прав. Приемы и обобщения анализа бесконечно малых, которые Паскаль использовал в своих трудах по циклоиде, вели к изобретению дифференциального и интегрального исчисления.

Оно открыло целую эпоху в развитии естествознания и стало применяться не только во всех математических дисциплинах, но и повлияло на создание ряда новых разделов математики. Благодаря дифференциальному и интегральному исчислению математика стала гораздо шире проникать в область естественных наук и техники. Таким образом, в истории науки XVII века открытие этого исчисления было важнейшим событием, ставшим возможным на основе методов исчисления бесконечно малых.

В работах, связанных с циклоидой, Паскаль сделал шаг вперед по сравнению со своими предшественниками на пути дальнейшего совершенствования и обобщения методов интегрирования. Он преобразовал понятие совокупности Кавальери в понятие суммы. При этом, как пишет известный немецкий историк математики Вилейнтнер, Паскаль проводил отчетливое различие между неделимыми и элементарными частями и «существенно более общим образом толковал понятие равенства фигур, чем это позволяло употребительное до того определение Евклида. Именно, он считал равными две фигуры, если различие между ними меньше любой данной величины. Паскаль с полной ясностью проник в существо интеграционного процесса, заметив, что всякое интегрирование приводится к определению некоторых арифметических сумм. Паскаль подошел к определению интеграла ближе всех своих современников».

Применяя метод неделимых к различным величинам, преобразуя одни виды суммирования в другие, Паскаль в геометрической форме получил фундаментальные результаты, относящиеся к так называемым криволинейным и двойным интегралам, с помощью наглядных конкретных примеров и ясных доказательств, искусного использования приемов современной ему и античной математики упорядочил многие интеграционные проблемы, освободив их от нечетких и приблизительных решений. До прямого открытия интегрального исчисления Паскалю оставалось сделать лишь шаг – определить формальные операции интегрирования и дать его особый вычислительный алгоритм. Но Паскаль этого шага не сделал. Как и прежде, помешали его «геометризм» и антиалгебраическая настроенность, использование прямых конкретных методов. Поэтому славу первооткрывателей интегрального и дифференциального исчисления делят между собой Ньютон и Лейбниц, хотя некоторые исследователи и причисляют Паскаля к ним, исходя из возможности легкого перевода исключительно геометрических рассуждений Блеза на абстрактный язык анализа бесконечно малых.