Загадка падающей кошки и фундаментальная физика

Знаменитые физики и падающие кошки

В истории физики XIX в. нет, пожалуй, более уважаемого имени, чем Джеймс Клерк Максвелл. Этот физик, родившийся в Шотландии в 1831 г., к моменту своей довольно ранней смерти в 1879 г. успел внести заметный вклад во многие области науки и инженерного дела. Его величайшим достижением было теоретическое объединение электричества и магнетизма – двух типов взаимодействия, которые на протяжении тысяч лет считались независимыми силами природы, – в единое фундаментальное явление, получившее название электромагнетизм. В 1860-е гг. Максвелл собрал разнообразные наблюдения, сделанные другими физиками, вывел из них полную и непротиворечивую систему уравнений и показал, что, как следует из этих уравнений, электричество и магнетизм, объединившись, могут образовывать колеблющиеся электромагнитные волны, движущиеся в пространстве. Максвелл пошел еще дальше: он блестяще и очень убедительно доказал, что видимый свет, который долгое время считался отдельным явлением, никак не связанным с электричеством и магнетизмом, на самом деле представляет собой электромагнитную волну.

Считается, что открытие Максвелла знаменует собой начало современной эпохи в физике, когда все известные физические взаимодействия считаются проявлениями единого фундаментального взаимодействия; уравнения, составленные Максвеллом, в настоящее время называются уравнениями Максвелла в его честь.

А еще Максвелл был известен тем, что ронял кошек.

Такую необычную известность ему принесли ранние исследования, начатые в Университете Эдинбурга в 1847 г. в возрасте 16 лет. В 1850 г. Максвелл переехал в Тринити-колледж в Кембридже, где изучал математику и исследовал восприятие цвета человеком. Он отлично проявил себя и завершил обучение одним из лучших, а потом остался в университете еще на два года научным сотрудником. Именно во время работы в Тринити Максвелл посвятил некоторую часть своего свободного времени исследованию того, как именно падающая кошка умудряется всегда, кажется, приземляться на лапы.

В 1870 г. Максвелл вернулся в свою альма-матер – и обнаружил, что за время его отсутствия истории об экспериментах с кошками разрослись и умножились. В письме к своей жене Кэтрин Мэри Клерк Максвелл так объяснил эту ситуацию: «В Тринити ходит байка о том, что я, когда работал здесь, открыл способ так бросить кошку, чтобы она приземлилась не на лапы, и что я имел обыкновение бросать кошек из окон. Пришлось объяснить, что подлинной целью исследования было выяснить, как быстро кошка перевернется, а подлинным методом – уронить кошку на стол или на кровать с высоты примерно двух дюймов[1 - Вероятно, Максвелл имел в виду футы, а не дюймы, поскольку, согласно исследованиям, два фута (61 см) – это именно та высота, которая позволяет кошке перевернуться; одно из таких исследований провела Фьорелла Гэмбейл, опубликовав результаты в полусатирическом журнале Annals of Improbable Research. Поскольку приведенное утверждение Максвелла взято из неформального рукописного письма к жене, автор, вероятно, либо не заметил описку, либо не счел нужным ее исправлять. Кстати говоря, жена его была квалифицированным ученым и помогала мужу в некоторых экспериментальных исследованиях.] и что даже в этих условиях кошка умудряется приземлиться на лапы». Письмо к Кэтрин написано, кажется, извиняющимся тоном; Максвелл спешит заверить жену, что ни одна кошка не пострадала. Какими бы эксцентричными ни были эксперименты Максвелла, поразительно все же, что всего за 20 лет они успели превратиться в легенду.

Максвелл не единственный из знаменитых физиков той эпохи испытывал интерес к падающим кошкам. Примерно в то же время собственное неформальное исследование на эту тему провел ирландский физик и математик Джордж Габриэль Стокс (1819–1903). Стокс, как и его друг Максвелл, заработал авторитет уже в раннем возрасте и в 1849 г. получил престижную должность – стал Лукасовским профессором математики; в этой должности он и оставался до самой смерти. Среди других ученых, занимавших этот пост, можно назвать исследователя черных дыр Стивена Хокинга, специалиста по квантовой физике Поля Дирака, пионера компьютерных исследований Чарльза Бэббиджа и самого «отца современной физики» Исаака Ньютона. Стокс, безусловно, заслужил место в такой избранной компании, поскольку за время своей долгой научной карьеры внес заметный вклад в математику, гидродинамику и оптику. Любой математик или физик наверняка знаком с теоремой Стокса, которая нашла применение практически во всех областях физики. Кроме того, имя Стокса носят уравнения Навье – Стокса – важные математические формулы, используемые для описания движения жидкости (свойства которого до сих пор до конца не поняты). Именно Стокс, кстати, открыл, что флуоресценция – свечение объектов под ультрафиолетовым светом – связана с преобразованием невидимого света в видимый.

В дополнение к этой солидной ученой биографии Стокс посвятил некоторое время неформальному исследованию того, как кошки приземляются на лапы. Очевидно, он не оставил записей о своих экспериментах, но его дочь упоминает о них в воспоминаниях, написанных через несколько лет после смерти отца:

Его очень интересовало, как и профессора Клерка Максвелла примерно в то же время, переворачивание кошки – термин, придуманный для обозначения способа, которым кошка умудряется упасть на лапы, если взять ее за четыре лапы и уронить спиной вниз над самым полом. Глаза кошек тоже пригодились для проверки офтальмоскопа, как и глаза моей собаки по кличке Перл: но Перл не мог сравниться с псом профессора Клерка Максвелла, который, кажется, положительно наслаждался, когда хозяин рассматривал его глаза[2 - Stokes, Memoir and Scientific Correspondence, p. 32.].

Поразительно, что два видных физика столь увлеченно исследовали такое обыденное, на первый взгляд, явление, как падающая кошка. Что могли блестящие умы увидеть в задаче о падающей кошке такого, чего множество других людей не замечали? Они видели в ней тайну.

Кошки издавна известны как волшебные хранительницы тайн; на примере задачи о падающей кошке мы увидим, насколько точна такая оценка:

Cфинкс моего тихого очага, удостоивший своим присутствием!
Товарищ моих трудов, спутник моего отдыха,
Хранитель традиции Ра и Рамзеса;
Ты хорошо помнишь то, что человек забывает,
Размышляешь, сидя недвижно и уставив в пространство
Непроницаемый взгляд цвета морской волны[3 - Tomson G. R., excerpt from “To My Cat”, in Tomson, Concerning Cats.].

2

(Разгаданная?) Загадка падающей кошки

Если Максвелл и Стокс видели в задаче о падающей кошке нечто интересное и необычное, то они при этом оказывались в очень и очень сильном меньшинстве. Как видно из литературы той эпохи, большинство людей находило эту задачу довольно тривиальной, причем считали, что она давно уже нашла себе адекватное объяснение. Традиционное объяснение, однако, было неверным, и эта ошибка, судя по всему, на протяжении почти 200 лет сдерживала всякое серьезное исследование способности кошки переворачиваться в правильное положение. Неверное объяснение, о котором идет речь, тесно связано с зарождением физики как строгой научной дисциплины.

Во второй половине XIX в. объяснения способности кошки переворачиваться появлялись не в научных журналах, а в книгах о кошках, написанных их любителями и поклонниками. Тогда выходило много подобных книг, направленных против устоявшегося традиционно негативного восприятия кошачьих. На протяжении многих столетий жители Западной Европы из-за суеверий и незнания кошачьей психологии недолюбливали кошек. Многие из этих верований живы и сегодня. Кошек считали (а где-то и до сих пор считают) самовлюбленными, безэмоциональными и безразличными к людям, в домах которых они обитают. Кошки, особенно черные, непременные участницы историй о колдовстве; жестокость по отношению к кошкам долгое время считалась допустимой и даже разумной, а люди, защищавшие кошек, часто становились объектом насмешек. Чарльз Генри Росс в предисловии к своей «Книге кошек» 1893 г. сетовал:

Однажды, в незапамятные времена, мне вдруг пришло в голову, что я с удовольствием попытался бы написать книгу о Кошках. Я рассказал об этой идее кое-кому из своих друзей. Первый расхохотался, не дослушав и первой моей фразы, так что я не стал вдаваться в дальнейшие детали. Второй сказал, что о Кошках уже написана сотня книг. Третий сказал: «Никто не будет ее читать, – и добавил: – И кстати, много ли ты о них знаешь?» Не дав мне времени для ответа, он заявил, что, по его мнению, я знаю о них очень мало. «Почему не о собаках?» – спросил один из моих приятелей с таким видом, как будто мысль об этом его только что осенила. «Или о лошадях, – сказал кто-то еще. – Или о свиньях; или, послушай-ка, вот самая лучшая идея:

“КНИГА ОБ ОСЛАХ, НАПИСАННАЯ ПРЕДСТАВИТЕЛЕМ РОДА!”»[4 - Ross, The Book of Cats.].

Несмотря на такое пренебрежительное отношение общества, Росс и многие другие защищали кошек как домашних любимцев, друзей и объект невероятной притягательности. Одному из кошкозащитников, судя по всему, просто не было дела до того, как другие могут отнестись к его писаниям. Уильям Гордон Стейблс, родившийся в Банфшире в Шотландии около 1840 г., прожил независимую жизнь, полную приключений[5 - Биографические данные здесь взяты в основном из: Woods, “Stables, William Gordon”.]. Девятнадцатилетним студентом-медиком колледжа Маришаль в шотландском Абердине он отправился в Арктику на гренландском китобойном судне, и это путешествие стало лишь началом его странствий. После окончания колледжа в статусе доктора медицины и магистра хирургии в 1862 г. он получил место помощника хирурга в Королевском военно-морском флоте и служил сначала на корабле «Нарцисс» у мыса Доброй Надежды, а затем на корабле «Пингвин», охотившемся на суда работорговцев у побережья Мозамбика. После пары лет африканской службы он прослужил еще несколько в Средиземном море и Великобритании. Состояние здоровья в 1871 г. вынудило его оставить военный флот, но не положило конец странствиям: еще два года Стейблс ходил на торговом судне вокруг Южной Америки в Африку, Индию и Южные моря. В 1975 г. он наконец осел в английском Туайфорде и начал невероятно продуктивную писательскую карьеру, опубликовав более 130 книг. Большинство среди них составляли приключенческие романы для мальчишек, материал для которых Стейблс брал из собственного богатого опыта, но помимо таких романов он написал немало книг про животных и уход за ними.

Сегодня из всех работ Стейблса лучше всего помнят, пожалуй, его справочник «Кошки: их экстерьер и характеристики, с забавными историями из кошачьей жизни и главой о болезнях кошек», впервые вышедший из печати примерно в 1875 г. Эта книга – обширное собрание всего, что имеет отношение к кошкам: в ней можно найти смешные и ужасающие анекдоты о кошках, рассуждения о происхождении домашних кошек, справочник по болезням кошек, советы по обучению кошек различным трюкам, похвалы британским законам, запрещающим жестокость по отношению к кошкам, и, что нам интереснее всего, некоторое объяснение способности кошек всегда приземляться на лапы.

«Почему кошки всегда падают на лапы? На этот вопрос на самом деле совсем не сложно ответить. В начале падения с высоты внизу находится спина кошки, выгнутая полукругом. Если бы кошка так и упала, то перелом позвоночника и смерть стали бы неизбежным результатом падения. Но природный инстинкт побуждает ее, после того как она пролетела один-два фута, внезапно сократить мускулы спины и вытянуть лапы; теперь уже живот ее выгибается, а спина становится вогнутой, что меняет центр тяжести и переворачивает тело; после этого кошке, чтобы приземлиться на лапы, остается только удерживать себя в этом положении»[6 - Stables, “Cats”, p. 391.].

Такое объяснение звучит вроде бы разумно и, очевидно, устраивало большинство любознательных людей XIX в.

Представьте себе кошку, подвешенную за передние и задние лапы к двум неподвижным опорам. С виду в этом положении она напоминает изогнутую ручку выдвижного ящика – вариант (a) на рисунке. Ее центр тяжести – точка, в которой сила тяжести как бы действует на кошку как целое, – располагается ниже опор. Когда кошка выгибает спину, как в варианте (b), ее центр тяжести поднимается выше опор. Это неустойчивое положение. Пока кошка держит спину выгнутой, любое небольшое возмущение приведет к тому, что она перевернется, а центр тяжести вновь окажется ниже опор, как в варианте (c). Кошка, находившаяся первоначально кверху лапами, перевернулась!

Рассуждения Стейблса просты, убедительны и физически правдоподобны, но при этом ошибочны. Они применимы лишь в том случае, когда кошка подвешена на неподвижных опорах, как показано на рисунке, что позволяет ей смещать свой центр тяжести так, что он оказывается то выше, то ниже точек подвеса. Кошка в свободном падении ни на чем не висит; перемена положения ее тела никак не влияет на его устойчивость.

Стейблс, кажется, считает, что его объяснение очевидно. Возможно, сам он позаимствовал его у физика Джеймса Клерка Максвелла, с которым мы уже встречались. Максвелл защитил свою первую профессорскую университетскую должность в Маришале в 1856 г., всего за год до того, как Стейблс начал там же изучать медицину. Судя по всему, они встречались, и молодой Максвелл произвел на Стейблса сильное впечатление. В своем наполовину автобиографическом романе «От плуга к кафедре: История жизненной борьбы», опубликованном в 1895 г., Стейблс рассказывает историю молодого человека, выросшего на ферме, который приезжает учиться в колледж Маришаль. Среди характеристик разных профессоров мы находим в нем следующее описание Максвелла, про которого автор пишет, даже не меняя имени:

Еще там был бедняга Максвелл, так хорошо известный в ученом мире, – симпатичный шатен, вдумчивый и мудрый; за завтраком всегда находил какое-нибудь научное чудо, о котором можно рассказать студентам. Он всегда улыбался, но никогда много не смеялся. Полагаю, Максвелл придерживался мнения, что крепкий чай вреден молодым людям, ибо сам ученый неизменно, прежде чем налить в чашку приготовленный напиток, наполнял ее наполовину густыми вкуснейшими сливками. Максвелла давно нет, и его смерть – огромная потеря для мира»[7 - Stables, From Ploughshare to Pulpit, pp. 126–127.].

В других книгах, многие из которых написаны раньше, чем Максвелл начал проявлять интерес к переворачиванию кошек, можно найти похожие объяснения этого явления. К примеру, нечто подобное содержится в книге М. Баттеля «Первые уроки естественной истории: Домашние животные», изданной в 1836 г.

Всегда замечаешь с немалым изумлением, что кошку, упавшую с большой высоты, каждый раз находишь на лапах, даже если казалось, что она падает на спину. Нередко случается, что Кошка, сброшенная с самой высокой точки высокого здания, падает так легко, что бросается бежать в самый момент падения. Этот замечательный эффект определяется тем фактом, что в момент падения эти животные изгибают свое тело и производят такое движение, будто пытаются вырваться: в результате получается что-то вроде полупереворота, который заставляет их падать на лапы, что почти всегда спасает им жизнь»[8 - Battelle, Premi?re Lesons d’Histoir Naturelle, p. 48. Перевод на английский автора.].

Описание центра масс здесь отсутствует, но по существу это, несомненно, то же самое объяснение, которое использовал и Стейблс. На самом деле это объяснение еще старше. Оно уже присутствует в сборнике экзаменационных задач Ж. Ф. Дефью, изданном в 1758 г.

Вопрос 94: у кошки, сброшенной с третьего этажа на улицу, в первый миг падения все четыре лапы смотрят вверх, но падает она на лапы и остается невредимой. Почему?

Ответ: кошка, охваченная внезапно своеобразным природным страхом, изгибает спинной хребет, выпячивает живот и вытягивает лапы и голову, как будто пытаясь вернуться назад, в то место, откуда падает, что обеспечивает лапам и голове больший рычаг. При этом необычайном движении центр тяжести кошки поднимается выше геометрического центра фигуры, но, поскольку его там ничто не удерживает, вскоре опускается вновь. Опускаясь, центр тяжести переворачивает кошку животом, головой и лапами к земле. Таким образом, в конце своего падения кошка оказывается на земле на четырех лапах и становится, короче говоря, еще более самодовольной[9 - Defieu, Manuel Physique, pp. 69–70. Перевод на английский автора.].

Самую полную информацию о рассуждениях Стейблса можно найти во французском «Словаре пословиц, их происхождения, истории и анекдотов, связанных с ними» 1842 г. Там приведена пословица «Он как кошка, которая всегда приземляется на лапы»[10 - Quitard, Dictionnaire Еtymologique, Historique et Anecdotique des Proverbes, p. 211. Перевод на английский автора.]. В книге пословиц приведено имя настоящего автора рассуждений о переворачивании кошки: это Антуан Паран, почти забытый французский математик. Именно он в 1700 г. опубликовал первое в мире физическое объяснение кошачьей загадки.

Антуан Паран родился в Париже в 1666 г. и уже в раннем детстве проявил себя как математический вундеркинд. В три года мальчика отправили в деревню, где он должен был жить с дядей Антуаном Малле, приходским священником, известным как хороший богослов и талантливый натуралист. Малле обнаружил в юном Паране ненасытное любопытство ко всему, что связано с математикой, и снабдил мальчика всеми книгами по этому предмету, какие только сумел достать. Паран изучил эти книги и сумел самостоятельно разобраться в них и освоить многие математические доказательства. К 13 годам он успел заполнить поля многих книг заметками и комментариями.

Вскоре Антуана принял в ученики друг семьи, преподававший риторику в Шартре. У этого учителя в комнате имелась модель, на которой показывалось, как следует проектировать солнечные часы в разных местах земного шара и чем такие часы должны отличаться друг от друга. Модель имела форму додекаэдра – правильного геометрического многогранника с 12 гранями. На каждой грани додекаэдра были изображены солнечные часы, пригодные для соответствующего региона Земли. Паран, завороженный тонкостью и изяществом конструкции, попытался вывести для них собственные математические закономерности. Попытка не удалась – что не удивительно в 14 лет, – но учитель объяснил юноше, что правильная конструкция солнечных часов определяется сферической геометрией Земли. После этого бесстрашный Паран задумал написать собственное любительское пособие по искусству изготовления солнечных часов, или гномонике.

Парана, хотя страстью его была математика, ждала судьба многих блестящих художников и ученых: друзья убедили его отправиться в Париж учиться на юриста, поскольку юридическое поприще тогда, как и сейчас, было куда более прибыльным, чем математика. Однако сразу же по окончании обучения на юриста Паран заперся в своей комнате в колледже Дорман-Бовэ в Париже и, кое-как сводя концы с концами на нищенский доход, отдался изучению математики. За пределы учебного заведения он выходил только с целью посещения Королевского колледжа Парижа, где можно было пообщаться с коллегами и послушать лекции видных ученых, таких как математик Жозеф Совёр, изучавший геометрию и теорию звука.

Паран был предприимчив, и начало Девятилетней войны между Францией и Аугсбургской лигой европейских государств дало ему возможность пополнить свой бюджет доходами от преподавания. Конфликт породил высокий спрос на солдат и ученых людей, способных разобраться в математике и машинерии военного дела, и Паран набрал учеников, чтобы преподавать им теорию строительства оборонительных сооружений. Сам он, правда, не имел опыта в этом деле; Паран, несомненно, привлек к делу некоторое количество старых книг на эту тему, таких как «Искусство фортификационных сооружений» (La Fortification Dеmonstrеe et Rеduicte en Art Жана Эррара выпуска 1600 г.)[11 - Errard, La Fortification Dеmonstrеe et Rеduicte en Art.].

Позже, однако, Паран начал испытывать угрызения совести по поводу преподавания предмета, в котором не имел никакого практического опыта. Он рассказал о своей тревоге Жозефу Совёру, и тот предложил молодому человеку помощь в виде рекомендации для устройства на работу. При посредничестве Совёра Паран был представлен маркизу д’Алигру – аристократу, принимавшему участие в Девятилетней войне и как раз нуждавшемуся в услугах математика. Под началом д’Алигра Паран побывал в двух военных кампаниях, что принесло ему репутацию блестящего ученого, математика и мыслителя.

В 1699 г. Паран смог воспользоваться собственной репутацией к немалой своей пользе. В том году математик Жиль Фийо дес Бийет был принят в Королевскую академию наук в Париже в завидной роли «механика», и он взял себе учеником Парана, заработавшего к тому времени широкую известность и авторитет. Паран, получивший таким образом стабильное положение в академическом мире, начал в свое удовольствие заниматься ошеломляюще разнообразными исследованиями в самых разных областях, включая анатомию, ботанику, химию, математику и физику. Однако неиссякаемый энтузиазм и неуемная натура теперь стали работать против него.

Но эта широта знаний вкупе с природной горячностью и порывистостью нрава породили в нем дух противоречия, которому он неизменно следовал, иногда с поспешностью, заслуживавшей величайшего осуждения, и часто почти без оглядки на благопристойность. На самом деле к себе он стал встречать такое же отношение, и труды, которые он представлял ученому миру, часто ждал суровый прием. Его произведения обвиняли в непонятности; мало того, этот недостаток был настолько известен, что он и сам его видел и никак не мог уклониться от исправления.

Этот отрывок, взятый из математического словаря 1795 г., представляет собой, по существу, перевод посвященной Парану памятной записки, составленной его коллегами – членами Парижской академии после смерти ученого[12 - Hutton, A Mathematical and Philosophical Dictionary, vol. 2, pp. 200–201; “Еloge de M. Parent”.]. Коллеги считали отношение Парана к окружающим настолько возмутительным, что сочли нужным увековечить его ни много ни мало в некрологе.

Тем не менее Паран регулярно докладывал о своих результатах ученому сообществу, которое вплоть до его смерти столь же регулярно публиковало их изложение в своем журнале Histoire de l’Acadеmie Royale. Одно из первых подобных сообщений – то, которое повлекло за собой чуть ли не 200 лет объяснений (неверных) феномена падающей кошки, – было напечатано в 1700 г. и озаглавлено Sur le corps qui nagent dans des liqueurs, что можно перевести как «О телах, плавающих в жидкостях»[13 - Parent, “Sur les corps qui nagent dans des liqueurs”.]. На первый взгляд тема сообщения никак не связана с физикой падающих кошек, но первое впечатление может быть обманчивым, особенно если в деле замешан такой эклектик, как Паран.

В статье Парана речь идет о плавучести объектов, погруженных в воду. Еще в 250 г. до н. э. греческий философ и математик Архимед первым объявил, что выталкивающая сила, действующая на погруженный объект, равна весу воды, вытесненной этим объектом. Таким образом, на любое погруженное тело действуют две силы: сила тяготения, тянущая его вниз, и сила выталкивания, толкающая его вверх. Если объект тяжелее той воды, которую он вытесняет, он утонет; если легче, будет плавать.

Плотность воды в глубоком водоеме увеличивается с глубиной, а значит, вес фиксированного объема воды тем больше, чем глубже этот объем находится. Поэтому деревянный шар, который весит меньше, чем эквивалентный ему сферический объем воды на поверхности водоема, будет вытолкнут наверх и закачается на поверхности; свинцовый шар, весящий больше, чем эквивалентный ему сферический объем воды вблизи дна водоема, утонет и опустится на дно. Но если мы изготовим шар, представляющий собой небольшой свинцовый сердечник в деревянной оболочке, как показано на рисунке слева, то можно так подобрать размер сердечника, чтобы объект в целом погрузился в воду и «завис» на некоторой глубине под поверхностью воды; он там «парит», говоря словами Парана.

Но что, если шар сделать асимметричным: вставить свинцовый сердечник в стороне от геометрического центра деревянного шара, как показано на правом рисунке? Тогда центр тяжести комбинированного шара окажется не в его центре, а ближе к свинцовому сердечнику. Каким будет поведение этого шара в сравнении с поведением шара с центральным сердечником?

Данный вопрос на тот момент был уже рассмотрен: сделал это за несколько десятилетий до Парана итальянский физик Джованни Альфонсо Борелли в своем двухтомном труде 1685 г. De Motu Animalium – «Движение животных». Борелли интересовался изучением различных движений животных и составляющих их мышц средствами математики и физики. Благодаря важным исследованиям в этой области и твердому убеждению, что животных можно рассматривать как сложные автоматы, Борелли сегодня часто называют «отцом биомеханики».

К исследованию задачи плавания шара в жидкости Борелли подтолкнул интерес к тому, как двигаются в воде животные. Рассматривая случай неравномерно плотного шара, Борелли утверждал, что если такой шар будет падать с высоты в толщу воды тяжелой стороной кверху, то сначала он опустится до уровня, где силы плавучести и тяготения уравновешивают друг друга, и только потом повернется вокруг собственного центра, пока центр тяжести – свинцовый сердечник – не окажется в самом низу.

Паран считал, что движение в этом случае происходит по более сложной схеме. У него было преимущество: за прошедшие годы появилась более продвинутая физика, при помощи которой он мог обосновать свои выводы. Основополагающая книга Исаака Ньютона «Математические начала натуральной философии» (Philosophiae Naturalis Principia Mathematica), которую часто называют просто «Начала», была опубликована в 1687 г., через пару лет после работы Борелли, и в ней впервые была представлена единая математическая теория движения массивных тел. Воспользовавшись некоторыми откровениями Ньютона, Паран заметил, что сила тяжести и сила плавучести должны действовать на разные точки шара. Выталкивающая сила должна тянуть вверх и действовать в геометрическом центре шара, а сила тяжести – тянуть вниз и действовать в центре тяжести. Из-за того что силы приложены в разных местах, рассуждал Паран, шар неизбежно будет поворачиваться вокруг некоторой точки, расположенной между двумя этими центрами, а сам поворот будет происходить еще в процессе спуска шара к равновесной глубине.