Организация и математическое планирование эксперимента. Учебное пособие

§3. Виды экспериментальных исследований

Экспериментальные исследования можно разделить на виды по нескольким признакам (рисунок 1.1).

По характеру получаемых результатов различают качественный и количественный эксперимент.

В результате качественного эксперимента устанавливается только сам факт наличия и направление влияния факторов на отклик, но количественные результаты исследования не приводятся и математическую модель не получают. Например, можно просто установить, что повышение скорости разливки на машине непрерывного литья заготовок приводит появлению дефекта «ромбичность», но не оценивать степень этого влияния.

Рисунок 1.1 – Виды экспериментов

Количественный эксперимент подразумевает получение математической модели связи между факторами и откликом или хотя бы количественную ее характеристику. Например, можно установить математическую зависимость между количеством металлолома в завалке дуговой электросталеплавильной печи и удельным расходом электроэнергии на плавку.

По степени контроля за процессом эксперимент делится на активный и пассивный.

Если исследователь выполняет только роль наблюдателя, то эксперимент называется пассивным. Так как отсутствует возможность (или необходимость) в управлении уровнями факторов, и выполняется только измерение их величины. Также о пассивном эксперименте можно говорить, если выполняется статистическая обработка уже имеющихся данных за какой-либо период.

Активный эксперимент производится путем прямого вмешательства исследователя в изучаемый процесс, т.е. управление уровнями факторов, которое должно выполняться по разработанному плану эксперимента.

По условиям проведения различают промышленный, лабораторный, натурный, полевой эксперименты и т. д.

По характеру взаимодействия с объектом исследования различают материальный, вычислительный и мыслительный эксперименты.

Материальный эксперимент предусматривает работу исследователя непосредственно с натурным объектом исследователя или с его физической или аналоговой моделью.

Вычислительный эксперимент предполагает работу не с самим объектом исследования, а с его математической (чаше всего компьютерной) моделью. В настоящее время для вычислительных экспериментов в технике наиболее часто используется метод конечных элементов.

Мыслительный эксперимент реализуется в сознании исследователя, и часто предполагает предварительную проработку плана реального эксперимента. Можно сказать, что мыслительный эксперимент – это наиболее часто встречающая форма эксперимента, поскольку каждый из нас пытается в уме просчитать возможные варианты последствий перед ответственными действиями. В результате мысленного эксперимента может и отпасть необходимость в проведении материального. Однако у мыслительного эксперимента отсутствует строгий план действий.

По сфере приложения эксперименты можно разделить на физический, технологический, психологический, социометрический, экономический и т. д.

Пример. Допустим необходимо найти зависимость между температурой посада металла в нагревательную печь и временем нагрева до требуемой температуры. В этом случае в качестве отклика выступит время нагрева, а в качестве факторов непосредственно температура посада металла в печь и расход газа (или электроэнергии). Данные факторы будут относиться к управляемым и контролируемым. К неуправляемым, но контролируемым факторам можно отнести, например, температуру поступающего воздуха для горения в печи, химический состав газ (или напряжение в сети). К неконтролируемым и неуправляемым – состояние кладки в печи и прочие тепловые потери.

Задание на самостоятельную работу

Для технических процессов получения чугуна, выплавки стали, внепечной обработки стали, непрерывной разливки металла, нагрева заготовок в методических печах прокатки листового и сортового металла, волочения, прессования, или отдельных элементов этих технологий:

1. Указать возможные виды эксперимента для изучения процесса.

2. Определить факторы процесса, указать к какой группе они относятся, предположить уровни и пределы варьирования.

3. Указать отклики эксперимента.

Контрольные вопросы для самопроверки

1.Дайте определения понятиям: эксперимент, объект исследования, предмет исследования, опыт, фактор, отклик, функция отклика.

2. Назовите и раскройте основные требования к факторам.

3. На какие группы делятся факторы, охарактеризуйте их.

4. По каким признакам выполняется классификация экспериментальных исследований? Назовите основные виды эксперимента и раскройте их сущность.

2. Случайная величина. Функции и законы распределения

§1. Понятие о случайной величине

Поскольку в ходе проведения эксперимента исследователю приходится иметь дело с неконтролируемыми и неуправляемыми факторами, а измерение контролируемых производится с некоторой погрешностью, то и результаты эксперимента будут иметь носить характер (как бы это странно не звучало на первый взгляд). Это приводит к необходимости объемной и строго регламентированной обработки экспериментальных данных с использованием методов теории вероятностей и математической статистики.

Случайная величина – это величина, которая в результате проведения опыта принимает то или иное возможное значение. Это значение будет лежать в определенном интервале и не известно заранее.

Случайные величины делятся на дискретные и непрерывные.

Дискретной называют случайную величину, которая может принимать счетное количество значений из конечного или бесконечного множества значений. Часто этими значениями выступают целые числа, которые показывают число наступивших случаев. В качестве примера дискретной случайной величины можно представить число людей в цеху. Оно не может быть меньше 0 и не может быть сильно больше чем число работающих в цеху по штату, (например – 200 человек). Таким образом в течении рабочего дня данная случайная величина будет принимать разные значения, но они будут целыми числами из определенного конечного множества и их можно будет посчитать. Множество значений может быть и бесконечным, например, если отсчитывать количество поступающий на стан заготовок без брака до первого его появления. В этом случае данное количество может быть бесконечным (теоретически брак может так и не появиться), но при этом сосчитать все эти заготовки до появления брака возможно.

Непрерывной называют случайную величину, значения которой полностью заполняют конечный или бесконечный числовой промежуток. Таким образом, непрерывная случайная величина может принимать бесконечное число значений. Примером может служить измерение температуры в печи. Интервал значений в этом случае будет конечным (например, 20…1250 °С), а вот число значений величины может быть бесконечным, с учетом количества знаков после запятой. Непрерывной случайной величиной будет и цена на металл, которая определяется рыночной ситуацией и постоянно колеблется, принимая разные значения. В этом случае пределы цены теоретически ничем не ограничены.

§2. Функция и закон распределения

Полученные в результате измерений значения случайной величины распределяются по определенному закону. Закон распределения случайной величины устанавливает связь между полученными значениями случайной величины и вероятностями их появления. Вид этого закона распределения является одной из характеристик случайной величины.

Допустим произведено n измерений случайной величины X и получены значения х

, х

 … х

. При этом если речь идет о дискретной случайной величине, то она примет определенные значения случайное число раз, обозначим это число m. Если речь идет о непрерывной случайной величине, то весь диапазон ее изменения разбивается на несколько интервалов и подсчитывается количество попаданий в каждый из интервалов. Вероятность того что дискретная величина примет какое-либо значение (или попадет в определенный интервал) в этом случае будет:

где m – число наблюдений, в которых дискретная случайная величина X оказалась равна x; n – общее количество наблюдений.

Сумма вероятностей всех возможных значений дискретной случайной величины (или попаданий во все интервалы для непрерывной) равна единице.

Для оценки распределения случайной величины используют функцию распределения и плотность распределения.

Функция распределенияF (x) – это интегральная функция, которая показывает вероятность того, что случайная величина Х принимает значение не больше, чем х:

Функция распределения должна иметь возрастающий характер.

Плотность распределения f (x) – это дифференциальная функция – производная функции распределения, которая определяется как:

Для правильной обработки экспериментальных данных необходимо знать закон распределения, однако для его точного определения необходимо обработать большой объем экспериментальной информации.

Пример. На предприятии выпускается проволока различных диаметров. Отдел товарного контроля производит периодические замеры диаметра готовой проволоки. Результаты измерения (всего 50) проволоки диаметром 3,6 мм находятся в таблице 2.1. Значения диаметра проволоки отличаются друг от друга из-за того, что проволока производится в пределах допусков и диаметр может отличаться как в большую, так и в меньшую сторону и это не является нарушением технологии, также на результаты может влиять погрешность измерений.

Таблица 2.1 – Результаты замеров

Дальнейшую обработку данных ведем по следующей методике.

Для удобства необходимо отсортировать данные по порядку от большего к меньшему – таблица 2.2.