Сопротивление материалов. Шпаргалка для студентов

??

= ??

Это и есть условие совместности деформаций; оно указывает на то, что при изменении температуры длина стержня не изменилась, он не оторвался от неподвижных опор. По закону Гука

Приравнивая обе деформации, получаем:

откуда R

= ??(t

-t

)?EF;

Напряжение, вызванное изменением температуры в стержне постоянного сечения с жестко защемленными концами, зависит лишь от материала, коэффициента линейного расширения, разности температур и не зависит от его длины и площади поперечного сечения.

9. Напряжения по наклонным сечениям при осевом растяжении и сжатии (линейное напряженное состояние)

Вычислим напряжения, действующие по какому-либо наклонному сечению. Возьмем призматический стержень, растянутый силами Р (Рис. 3.1).

Рис. 3.1

Разделим его на две части сечением mn, составляющим угол ? с поперечным сечением mk, перпендикулярным к оси. За положительное направление угла возьмем направление против часовой стрелки. Площадь сечения mk обозначим F

, площадь сечения mn обозначим F

Для определения напряжений применим метод сечений. Мысленно отбросим верхнюю часть и заменим ее действие на нижнюю напряжениями S

. Для равновесия нижней части напряжения S

должны уравновешивать силу Р и быть направлены параллельно оси стержня. Предполагая, как и раньше, что напряжения S

равномерно распределены по площади сечения, найдем: S

·F

= P, отсюда

. Но, так как

 – нормальное напряжение по площадке mk, следовательно, S

=?

cos?. Для того чтобы при любом угле наклона ? иметь дело с одними и теми же видами напряжений, разложим напряжение S

на две составляющие: в плоскости mn и перпендикулярно к ней (Рис. 3.2).

Рис. 3.2

Таким образом, напряжение S

заменяем двумя взаимно перпендикулярными напряжениями: нормальным напряжением ?

и касательным напряжением ?

. Величины этих двух напряжений будут меняться в зависимости от изменения угла ? между нормалью к площадке и направлением растягивающей силы.

Из Рис. 3.2 имеем:

?

= S

·cos? = ?

cos

?;

?

=S

· sin? = ?

sin? · cos? = ??

sin2?.

Принимаем правило знаков: растягивающие напряжения ?

, т. е. совпадающие с направлением внешней нормали, будем считать положительными; нормальные напряжения обратного направления – сжимающие – будем принимать со знаком минус. Касательное напряжение считается положительным, если оно дает момент по часовой стрелке относительно центра рассматриваемого сечения, отрицательным, если оно дает момент против часовой стрелки. Наличие этих двух видов напряжений соответствует наличию двух видов деформаций: продольной деформации и деформации сдвига. Для проверки прочности необходимо установить наибольшие значения ?

и ?

в зависимости от положения площадки mn. Из Рис. 3.2 понятно, что ?

достигает своего наибольшего значения, когда cos

? будет равен единице и угол ? = 0. Максимум ?

получится при sin 2? = 1, т. е. при 2? = 90° и ? = 45°. Величины этих наибольших напряжений будут равны:

10. Понятие о главных напряжениях. Виды напряженного состояния материалов

Чтобы рассчитать прочность бруса при деформациях, нужно определить его напряжение в поперечном сечении. Если деформация сложная, то говорят о необходимости установить напряженное состояние в точке. Чтобы найти напряжение в точке, через эту точку нужно провести сечение. Через точку можно провести бесконечное множество сечений, следовательно, и напряжений в точке бесконечно много. Совокупность всех этих напряжений называется напряженным состоянием в точке.