Сопротивление материалов. Шпаргалка для студентов

Для нахождения напряженного состояния в точке тела возьмем элементарный параллелепипед с длинами сторон dx, dy, dz, при уменьшении этих длин сторон параллелепипед стягивается в точку. На грани этого параллелепипеда действуют напряжения, указанные на Рис. 4.1. (Имеется в виду, что указанные напряжения действуют на все грани). При поворотах параллелепипеда его напряжения изменяются, и можно подобрать такое положение, в котором все касательные напряжения будут равны нулю (Рис. 4.2). Площадки, на которых действуют только положительные напряжения, называют главными, соответственно, нормальные напряжения на этих площадках также называются главными и обозначают ?

, ?

, ?

. Наибольшее из напряжений обозначается ?

, наименьшее – ?

. Необходимо учитывать знаки: напряжения растяжений считаются положительными, напряжения сжатия – отрицательными. Если известны напряжения на трех взаимно перпендикулярных площадках, то напряжение в точке тоже считается известным.

Главные напряжения могут быть как положительными, так и отрицательными и действовать по всем направлениям координатных осей.

Если напряжение действует только в направлении одной из осей, то оно называется одноосным или линейным.

Если напряжение действует в двух направлениях, то оно называется двухосным, или плоским.

Если напряжение действует по всем направлениям координатной оси, то такое напряжение называют трехосным, или объемным.

Рис. 4.1

Рис. 4.2

11. Плосконапряженное состояние материалов

В сопротивлении материалов чаще всего встречаются задачи, когда напряжение действует в двух направлениях, т. е. является плоским. Рассмотрим такое состояние.

Возьмем произвольную точку тела и рассмотрим элементарный параллелепипед с длинами сторон dx, dy, dz в ее окрестности. Рассечем этот параллелепипед плоскостью, перпендикулярной плоскости zy (Рис. 5.1).

Рис. 5.1

Рис. 5.2

На Рис. 5.2 изображены напряжения на поверхности полученной призмы. Из условий равновесия треугольной призмы через проекции сил, действующих на грани, на оси y’ и z’, можно найти напряжения на наклонной грани призмы.

s

dA – ?

dA

cos? – ?

dA

sin? – ?

dA

sin? – ?

dA

cos? = 0

?

dA+ ?

dA

sin? – ?

dA

cos? – ?

dA

cos? + ?

dA

sin? = 0

Учитывая, что dA

= 1dy = dAcos?, dA

= 1dz = dAsin?, записанные отношения в результате тригонометрических преобразований примут вид:

?

= ?

cos

? + ?

sin

? + ?

sin2?

Если совместить оси координат z, y c направлениями главных напряжений, то соотношения примут вид:

Из последнего уравнения следует, что при ? = 45° касательные выражения принимают свои экстремальные значения в точке.