Сказки дедушки Амира по геометрии

Одна любопытная квадратная Плитка решила вырасти в высоту, то есть кроме длины и ширины у ней появилась высота и она стала похожа на куб. Но куб теперь стал сплошным, без пустоты. По краям этого куба появились квадратные Плитки (грани), по границам появились Отрезки (ребра), по углам появились Точки (вершины). И теперь у него появилось имя Кубик.

Треугольная Плитка тоже стала расти в толщину, но не расчитала силы и на какой-то высоте сузилась до точки. Теперь она стала похожа на треугольную сплошную пирамиду. По краям этой пирамиды появились треугольные плитки, по границам появились ребра, а по углам появились вершины. Теперь ее стали называть Пирамидкой.

Прыжок в четвертое измерение

Точки, Отрезки, Плитки подружились с Кубиком и Пирамидкой и решили пойти уже в четырехмерное пространство. У Кубика получился прыжок в четырехмерное пространство, то есть он как бы переместился по координате четырехмерного пространства.

А что за координата? Давайте представим, что Кубик переместился во времени, то есть вчера он был там, а сегодня оказался здесь. Причем эти моменты совпали, то есть мы видим Кубик вчерашний и сегодняшний одновременно. Аналогично и Пирамидка прыгнула в четырехмерное пространство.

У Станислава Лема, польского фантаста в путешествиях Йона Тихого описано одновременное появление вчерашнего и сегодняшнего космонавта в космическом корабле при пересечении спиралей времени.

Корабль попал в центр вихря около полуночи, вибрируя и постанывая всеми сочленениями. Я испугался, что он развалится, но он вышел из испытания с честью, а когда снова попал в объятия мертвой космической тишины, я покинул реакторный отсек и увидел самого себя сладко спящим на кровати. Я сразу понял, что это я из предыдущих суток, то есть из ночи понедельника. 

Учения о многомерных пространствах начали появляться в середине XIX века. Идею четырехмерного пространства у ученых позаимствовали фантасты. В своих произведениях они поведали миру об удивительных чудесах четвертого измерения.

Герои их произведений, используя свойства четырехмерного пространства, могли съесть содержимое яйца, не повредив скорлупы, выпить напиток, не вскрывая пробку бутылки. Похитители извлекали сокровища из сейфа через четвертое измерение. Хирурги выполняли операции над внутренними органами, не разрезая ткани тела пациента.

На этом рисунке показан четырехмерный куб – тессеракт

3-куб состоит из: 8 вершин (точек), 12 ребер (отрезков), 6 плиток (квадратов), 1 – куба (кубика).

4-куб-Тессеракт состоит из: 16 вершин, 32 отрезков, 24 квадратов, 8 кубов.

Отрезок (https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%B7%D0%BE%D0%BA) прямой имеет две граничные точки, квадрат (https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82) – четыре вершины, куб (https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D1%83%D0%B1) – восемь вершин. В четырёхмерном гиперкубе, таким образом, окажется 16 вершин: 8 вершин исходного куба и 8 сдвинутого в четвёртом измерении. Он имеет 32 ребра – по 12 дают начальное и конечное положения исходного куба, и ещё 8 рёбер «нарисуют» восемь его вершин, переместившихся в четвёртое измерение. Те же рассуждения можно проделать и для граней гиперкуба. В двумерном пространстве она одна (сам квадрат), у куба их 6 (по две грани от переместившегося квадрата и ещё четыре опишут его стороны). Четырёхмерный гиперкуб имеет 24 квадратные грани – 12 квадратов исходного куба в двух положениях и 12 квадратов от двенадцати его рёбер.

Точки, Отрезки, Плитки, Кубики подружились с Тессерактом.

Как сторонами квадрата являются 4 одномерных Отрезка, а сторонами (гранями) куба являются 6 двухмерных квадратов, так и для «четырёхмерного куба» (тессеракта) сторонами являются 8 трёхмерных кубов. Пространства противоположных пар кубов тессеракта (то есть трёхмерные пространства, которым эти кубы принадлежат) параллельны.

Для того, чтобы представить немного этот четырехмерный куб, на нижнем рисунке даны его стереометрические проекции. Чтобы возникло его изображение надо приближать и отдалять этот рисунок к глазам.

Как видно из этого стереометрического изображения и в четырехмерном пространстве есть Точки, Отрезки, многоугольники и многогранники. Еще нагляднее Тессеракт смотреть в голографическом изображении, когда Тессеракт вращается.

Поучительный рассказ

Профессор, стоя в аудитории перед студентами, взял пятилитровую стеклянную банку и наполнил ее камнями по 3-4 см в диаметре. Спросил студентов.

– Полна ли банка?

– Да – ответили ему.

Тогда он достал банку с горошком и высыпал в банку. Горошек занял промежутки между камнями. И снова спросил.

– Полна ли банка?

– Да – ответили ему.

Тогда он достал мешок с песком, высыпал в банку, потряс и спросил.

– Полна ли банка?

– Да, теперь полна – ответили ему студенты, смеясь.

Но профессор достал кружку с водой и вылил в банку.

Студенты смеялись.

И тогда он сказал, что камни – это важнейшие вещи в жизни: семья, здоровье, дети, родственники, друзья; горошек – это важные лично для вас вещи: работа, образование, хобби, автомобиль; песок – это разные мелочи жизни, на которые иногда уходит много времени.

– А вода? – спросили студенты.

– Это время на праздное времяпровождение. Надо ведь отдыхать!

Последнее тоже важно, ведь без этого банка не будет полной.

Как видно из рассказа камней в банке было конечное число, например, 20 камней. Горошка в банке было тоже конечное число, например, 400 горошин. Песчинок в банке тоже было конечное число, например, 10000 песчинок. А воды сколько было? Можно подсчитать? Например, сколько молекул воды в банке? Вот тут мы сталкиваемся с бесконечностью.

Сколько точек в отрезке, плитке и кубике?

Теперь скажите, а сколько точек в отрезке? Подумали?

А там тоже бесконечное число точек. Сколько точек в отрезке в 1 миллиметр и сколько точек в отрезке 1 метр? Можно сказать, что в одном метре больше точек, чем в одном миллиметре? Нет, а все потому, что точка не имеет размеров.

Здесь, конечно, говорится о математической точке, о нульмерном пространстве. Теперь можем уверенно сказать, что на плоской сплошной фигуре тоже бесконечное число точек, и в сплошном кубе или пирамиде тоже бесконечное число точек.

На всей бесконечной прямой не больше точек, чем на отрезке. Потому что между точками прямой и отрезком можно установить взаимно однозначное соответствие.

Проводим из каждой точки отрезка, как показано на рисунке лучи к окружности. Через точки пересечения лучей с окружностью радиусы до пересечения с прямой. Таким образом, устанавливается однозначное соответствие (называемое биекцией) между точками отрезка и точками прямой

Через точку можно провести бесконечное число отрезков, а через отрезок можно провести бесконечное число плоскостей. Вот такая она бесконечность. Дальше мы столкнемся с целыми числами и дробными. Есть целые числа: 0, 1, 2, 3, …, а есть дробные числа 1/2, 1/5, 1/10, 1/100, 1/1000, и т.д. Все эти дробные числа находятся между 0 и 1 и их бесконечное число. То же бесконечное число дробных чисел находится между двумя любыми целыми числами. Но рассказ о числах – это тема другой сказки.