Можно даже сказать, что точные науки имеют своей задачей избавить нас от необходимости таких прямых проверок.
III
Итак, посмотрим на математика за его делом и постараемся объяснить себе успешность его приемов. Задача эта не лишена трудностей; недостаточно открыть случайно попавшееся сочинение и проанализировать там какое-нибудь доказательство.
Мы должны прежде всего исключить геометрию, где вопрос усложняется трудными задачами, относящимися к роли постулатов, к природе и к происхождению понятия пространства. По аналогичным основаниям мы не можем обращаться и к анализу бесконечно малых. Нам надо искать математическую мысль там, где она осталась чистой, т. е. в арифметике.
Надо еще продолжить отбор; в высших отделах теории чисел первоначальные математические понятия подверглись столь глубокой разработке, что становится трудно их анализировать.
Следовательно, именно в началах арифметики мы должны надеяться найти искомое объяснение; но как раз в доказательстве наиболее элементарных теорем авторы классических сочинений обнаружили меньше всего точности и строгости. Не надо ставить им это в вину; они подчинялись необходимости; начинающие не подготовлены к настоящей математической строгости; они усмотрели бы в ней только пустые и скучные тонкости; было бы бесполезной тратой времени пытаться скорее внушить им большую требовательность; надо, чтобы они быстро, без остановок, прошли путь, который некогда медленно проходили основатели науки.
Почему же нужна столь продолжительная подготовка, чтобы привыкнуть к этой совершенной строгости, которая, кажется, должна была бы быть от природы присущей всякому нормальному уму? Это логическая и психологическая проблема, которая достойна обсуждения.
Но мы не будем останавливаться на ней; она является посторонней для нашего предмета. Я буду лишь помнить, что нам надо, из опасения не достигнуть цели, привести заново доказательства наиболее элементарных теорем и вместо той грубой формы, которую им придают, чтобы не утомить начинающих, придать такую, которая может удовлетворить ученого-математика.
Определение сложения. Я предполагаю, что предварительно была определена операция x + 1, состоящая в прибавлении числа 1 к данному числу x. Это определение, каково бы оно ни было, не будет играть никакой роли в последующих рассуждениях.
Дело идет теперь об определении операции x + a, состоящей в прибавлении числа a к данному числу x.
Предположим, что определена операция
x + (а ? 1).
Тогда операция x + а будет определена равенством
x + а = [x + (а ? 1)] + 1. (1)
Таким образом, мы узнаем, что такое x + а, когда будем знать, что такое x + (а ? 1); а так как я вначале предположил, что известно, что такое x + 1, то можно определить последовательными «рекурренциями» операции x + 2, x + 3 и т. д.[2 - Термином «рекурренция» (recurrence) обозначается логическая операция возврата к своему началу. – Прим. ред.]
Это определение заслуживает некоторого внимания, так как оно имеет особенную природу, отличающую его от определения чисто логического; в самом деле, равенство (1) содержит бесчисленное множество различных определений, и каждое из них имеет смысл только тогда, когда известно другое, ему предшествующее.
Свойства сложения. Ассоциативность. Я утверждаю, что
а + (b + с) = (а + b) + с.
В самом деле, теорема справедлива для c = 1; в этом случае она изображается равенством
а + (b + 1) = (a + b) + 1.
А это – помимо различия в обозначениях – есть не что иное, как равенство (1), при помощи которого я только что определял сложение.
Предположим, что теорема будет справедлива для с = ?; я говорю, что она будет справедлива и для c = ? + 1; пусть, в самом деле,
(а + b) + ? = а + (b + ?);
отсюда следует
[(a + b) + ?] + l = [a + (b + ?)] + l
или в силу определения (1)
(а + b) + (? + l) = a + (b + ? + 1) = a + [b + (? + 1)],
а это показывает с помощью ряда чисто аналитических выводов, что теорема верна для ? + 1.
Но так как она верна для с = 1, то последовательно усматриваем, что она верна для с = 2, для с = 3 и т. д.
Коммутативность. 1. Я утверждаю, что
a + 1 = 1 + a.
Теорема, очевидно, справедлива для а = 1 путем чисто аналитических рассуждений можно проверить, что если она справедлива для а = ?, то она будет справедлива для а = ? + 1; но раз она справедлива для а = 1, то она будет справедлива и для а = 2, для а = 3 и т. д.; это выражают, говоря, что высказанное предложение доказано путем рекурренции.
2. Я утверждаю, что
a + b = b + a.
Теорема только что была доказана для b = 1; можно аналитически проверить, что если она справедлива для b = ?, то она будет справедлива для b = ? + 1.
Таким образом, предложение доказано путем рекурренции.
Определение умножения. Мы определим умножение при помощи равенств
a ? 1 = a
a ? b = [a ? (b ? 1)] + a. (2)
Равенство (2), как и равенство (1), заключает в себе бесчисленное множество определений; после того как дано определение а ? 1, оно позволяет определить по следовательно а ? 2, а ? 3 и т. д.
Свойства умножения. Дистрибутивность. Я утверждаю, что
(а + b) ? с = (а ? с) + (b ? с).
Мы проверяем аналитически справедливость этого равенства для с = 1; а потом проверяем, что если теорема справедлива для с = ?, то она будет справедлива и для с = ? + 1.
Предложение опять доказано рекурренцией.
Коммутативность. 1. Я утверждаю, что
a ? 1 = 1 ? a.
Теорема очевидна для а = 1.
Проверяем аналитически, что если она справедлива для а = ?, то она будет справедлива и для а = ? + 1.
2. Я утверждаю, что
a ? b = b ? a.