Теорема века. Мир с точки зрения математики

Однако зрение позволяет нам оценивать расстояния и, следовательно, воспринимать третье измерение. Но всякий знает, что это восприятие третьего измерения сводится к ощущению усилия, сопровождающему аккомодацию, которую надо выполнить, и к ощущению, сопровождающему то схождение обеих глазных осей, которое необходимо для отчетливого восприятия предмета.

Мы имеем здесь мускульные ощущения, совершенно отличные от ощущений зрительных, которые дали нам познание первых двух измерений. Таким образом, третье измерение выступит перед нами не в той же роли, какую играют два других. А следовательно, то, что можно назвать полным визуальным пространством, не есть пространство изотропное.

Правда, оно имеет как раз три измерения, т. е. элементы наших зрительных ощущений (по крайней мере те из них, которые, слагаясь, образуют представление протяженности) будут вполне определены, когда известны три из них; выражаясь математическим языком, они будут функциями трех независимых переменных.

Но исследуем предмет несколько ближе. Третье измерение открывается нам двумя различными способами: благодаря усилию при аккомодации и вследствие схождения глазных осей.

Эти два рода показаний, без сомнения, всегда согласованы друг с другом. Между ними существует постоянное соотношение; выражаясь математически, две переменные, измеряющие оба типа мускульного ощущения, не выступают перед нами в качестве независимых, или еще, – чтобы не прибегать к математическим понятиям достаточно высокой сложности, – мы можем снова воспользоваться языком предыдущей главы и выразить тот же факт следующим образом: если два ощущения схождения осей A и В неразличимы, то и два соответственно сопровождающих их ощущения аккомодации А’ и В’ будут также неразличимы.

Но такое соотношение ощущений – это, так сказать, опытный факт; ничто не мешает a priori допустить обратное, и если окажется, что это обратное действительно имеет место, если эти два типа мускульных ощущений изменяются независимо один от другого, то мы должны будем ввести новую независимую переменную, и «полное визуальное пространство» выступит перед нами как физическая непрерывность четырех измерений.

Я даже прибавлю, что это представляет собою факт внешнего опыта. Ничто не мешает предположить, что существо, имеющее ум, подобный нашему, и такие же органы чувств, как и мы, помещено в мире, куда свет достигает, только пройдя через преломляющие среды сложной формы. Тогда два показания, служащие нам для оценки расстояний, перестали бы быть связанными постоянным соотношением. Существо, которое получило бы в подобном мире воспитание своих чувств, без сомнения, приписало бы полному визуальному пространству четыре измерения.

Пространство тактильное и пространство моторное. «Тактильное пространство» еще более сложно, чем визуальное, и еще более, чем оно, удаляется от пространства геометрического. Бесполезно было бы повторять для осязания анализ, проведенный мною относительно зрения.

Но вне данных зрения и осязания существуют другие ощущения, которые так же, как и эти ощущения, и даже более способствуют образованию понятия пространства. Это – те всем известные ощущения, которыми сопровождаются все наши движения и которые обыкновенно называются мускульными.

Соответствующий им кадр (le cadre) образует то, что можно назвать моторным пространством.

Каждый мускул дает происхождение особому ощущению, способному делаться больше или меньше, так что совокупность наших мускульных ощущений будет зависеть от стольких переменных, сколько у нас мускулов. С этой точки зрения моторное пространство имело бы столько измерений, сколько мы имеем мускулов.

Я знаю, мне тотчас скажут, что если мускульные ощущения способствуют образованию понятия пространства, то это потому, что мы имеем чувство направления каждого движения, и оно является составной частью ощущения. Если бы это было так, если бы мускульное ощущение не могло зародиться иначе, как сопутствуемое геометрическим чувством направления, то геометрическое пространство было бы формой, присущей нашей способности к ощущению. Но когда я анализирую свои ощущения, я этого совершенно не замечаю. Я вижу, что ощущения, соответствующие движениям того же направления, связаны в моем уме простой ассоциацией идей. К этой ассоциации идей и сводится то, что мы называем «чувством направления». Следовательно, этого чувства нельзя было бы найти в единичном ощущении.

Эта ассоциация крайне сложна, так как сокращение того же мускула может отвечать, смотря по положению членов, движениям самых различных направлений.

Она, кроме того, очевидно, является приобретенной; как все ассоциации идей, она есть результат привычки; эта привычка сама вытекает из крайне многочисленных опытов; не подлежит никакому сомнению, что если бы воспитание наших чувств происходило в иной среде, где мы получали иные впечатления, то возникли бы иные привычки, и наши мускульные ощущения были бы ассоциированы по иным законам.

Характерные черты пространства представлений. Таким образом, пространство представлений в своих трех формах – визуального, тактильного и моторного пространства – существенно отличается от геометрического пространства.

Оно ни однородно, ни изотропно; нельзя даже сказать, что оно имеет три измерения.

Часто говорят, что мы «проектируем» в геометрическое пространство предметы наших внешних восприятий, что мы «локализуем» их. Имеет ли это смысл и какой? Должно ли это обозначать, что мы представляем себе внешние предметы в геометрическом пространстве?

Наши представления суть только воспроизведение наших ощущений, поэтому они могут разместиться только в том же кадре, в каком и последние, т. е. в пространстве представлений.

Нам так же невозможно представить себе внешние тела в геометрическом пространстве, как невозможно художнику рисовать на плоской картине предметы с их тремя измерениями.

Пространство представлений есть только образ геометрического пространства – образ, видоизмененный некоторым родом перспективы; мы не можем представить себе предметы иначе, как подчиняя их законам этой перспективы.

Мы не представляем себе, следовательно, внешних тел в геометрическом пространстве, но мы рассуждаем об этих телах, как если бы они были помещены в геометрическом пространстве.

С другой стороны, когда говорят, что мы «локализуем» данный предмет в данной точке пространства, что хотят этим сказать?

Это просто означает, что мы представляем себе движения, которые надо совершить, чтобы достигнуть этого предмета.

И пусть не говорят, что для того, чтобы представить себе эти движения, их надо проектировать сначала в пространство и что понятие пространства должно, следовательно, существовать раньше.

Когда я говорю, что мы представляем себе эти движения, я хочу сказать только, что мы представляем себе мускульные ощущения, которые сопровождают их и которые вовсе не имеют геометрического характера, а следовательно, отнюдь не предполагают предсуществования понятия пространства.

Изменения состояния и изменения положения. Но скажут, если идея геометрического пространства не присуща нашему уму и, с другой стороны, если никакое из наших ощущений не может нам доставить ее, то как она могла возникнуть?

Это – тема нашего ближайшего исследования. Оно потребует у нас некоторого времени; но я могу резюмировать в нескольких словах конечную цель рассуждения, которое мне предстоит развить.

Никакое из наших ощущений, взятое в отдельности, не могло бы привести нас к идее пространства; мы пришли к ней, только изучая законы, по которым эти ощущения следуют друг за другом. Мы видим прежде всего, что наши впечатления подвержены изменению; но между изменениями, которые мы констатируем, мы скоро бываем вынуждены делать различие.

Мы говорим, или что некоторые предметы, вызывающие эти впечатления, изменили свое состояние, или что они изменили свое положение – что они просто переместились.

Меняет ли предмет свое состояние или только положение, это передается нам всегда одним и тем же способом: изменением во всем составе впечатлений.

Каким же образом мы могли прийти к различию обоих изменений? Если произошло только изменение положения, то мы можем восстановить прежнюю совокупность впечатлений, совершая движения, ставящие нас в то же относительное положение к подвижному предмету. Мы компенсируем таким образом происшедшее изменение, восстанавливая начальное состояние обратным изменением.

Так, если речь идет о зрении и если предмет перемещается перед нашими глазами, мы можем за ним «следить глазами» и удерживать его изображение в той же точке сетчатки посредством соответственных движений глазного яблока.

Эти движения мы сознаем, так как они являются волевыми и сопровождаются мускульными ощущениями; но это не значит, что мы представляем их происходящими в геометрическом пространстве.

Именно этим характеризуется изменение положения, и оно отличается от изменения состояния тем, что всегда может быть компенсировано указанным способом.

Следовательно, может случиться, что мы переходим от системы впечатлений А к системе В двумя различными способами: 1) непроизвольно и без каких-либо мускульных ощущений – когда перемещается предмет; 2) произвольно и при наличии мускульных ощущений – когда предмет неподвижен, но перемещаемся мы таким образом, что предмет имеет по отношению к нам относительное движение.

Если дело происходит указанным образом, то переход от системы впечатлений А к системе В есть только изменение положения.

Отсюда следует, что зрение и осязание не могли бы нам дать понятие пространства без помощи «мускульного чувства».

Это понятие не могло бы образоваться не только из единичного ощущения, но даже из ряда ощущений; кроме того, существо неподвижное никогда не могло бы приобрести его, так как, если бы оно не имело возможности компенсировать своими движениями эффектов, зависящих от изменений положения внешних предметов, оно не имело бы никакого основания отличать их от изменений состояния. Оно не могло бы также приобрести это понятие, если бы движения его не были произвольными или если бы они не сопровождались некоторыми ощущениями.

Условия компенсации. Каким образом возможно явление такого рода, что два изменения, не зависящие друг от друга, взаимно компенсируются?

Ум, знакомый уже с геометрией, рассуждал бы так. Для того чтобы произошла компенсация, очевидно, нужно, чтобы различные части внешнего предмета, с одной стороны, и различные органы наших чувств, с другой, приходили после двойного изменения опять в то же относительное положение. А для этого надо, чтобы различные части внешнего предмета равным образом сохранили друг к другу то же самое относительное положение и чтобы то же имело место для взаимного расположения различных частей нашего тела.

Другими словами, при первом изменении внешний предмет должен перемещаться как неизменное твердое тело; то же самое должно произойти с системой нашего тела при втором изменении, компенсирующем первое.

При этих условиях компенсация может произойти. Но мы, не будучи еще знакомы с геометрией, – потому что у нас еще не образовалось понятие пространства, – не можем рассуждать таким образом; мы не можем предвидеть a priori, возможна ли компенсация. Но опыт учит нас, что она иногда имеет место, и это – тот опытный факт, из которого мы исходим для различения изменений состояния от изменений положения.

Твердые тела и геометрия. Среди окружающих нас предметов есть такие, которые часто испытывают перемещения, способные быть компенсированными соответственным (коррелятивным) движением нашего собственного тела. Это – тела твердые.

Другие предметы, форма которых способна изменяться, испытывают подобные перемещения (изменения положения без изменения формы) только в исключительных случаях. Когда тело перемещается, изменяя форму, мы уже не можем соответственными движениями привести органы наших чувств в то же относительное положение к этому телу; следовательно, мы более не в состоянии восстановить начальную совокупность впечатлений.

Только позднее и вследствие новых опытов мы научаемся разлагать тела переменной формы на меньшие элементы такого рода, что каждый из них перемещается почти по тем же законам, что и твердые тела. Мы таким образом отличаем «деформации» от других изменений состояния; при таких деформациях каждый элемент испытывает простое изменение положения, которое может быть компенсировано, но изменение, испытываемое всей совокупностью элементов, более глубоко и уже не способно компенсироваться коррелятивным движением[5 - То есть коррелятивным движением нашего собственного тела (см. выше). – Прим. ред.].

Подобное понятие, будучи уже очень сложным, могло явиться только относительно поздно; кроме того, оно не могло бы зародиться, если бы наблюдение твердых тел уже не научило нас отличать изменения положения.

Следовательно, если бы не было твердых тел в природе, не было бы и геометрии.

Другое замечание также заслуживает того, чтобы на нем остановиться. Вообразим твердое тело, занимающее сначала положение ? и затем переходящее в положение ?; в первом своем положении оно произведет на нас систему впечатлений А и во втором – систему впечатлений В. Пусть имеется теперь второе твердое тело, качественно вполне отличное от первого, например, иного цвета. Предположим еще, что оно переходит от положения ?’, в котором оно производит на нас систему впечатлений А’, к положению ?’, в котором оно вызывает в нас систему впечатлений В’.

Вообще, ни система А не будет иметь ничего общего с системой А’, ни система В с системой В’. Переход от системы А к системе В и переход от системы А’ к системе В’ суть, следовательно, два изменения, которые сами по себе, вообще говоря, ничего общего не имеют. Между тем и то и другое изменение мы рассматриваем как перемещения; более того, мы рассматриваем их как то же самое перемещение. Каким образом это происходит?

Это – просто потому, что и то и другое перемещение может быть компенсировано одним и тем же коррелятивным движением нашего тела.