Математические игры с дурацкими рисунками: 75¼ простых, но требующих сообразительности игр, в которые можно играть где угодно

В-четвертых, в разделе «Почему эта игра важна?» я рассказываю, почему игра выявляет лучшее в человеческом мышлении. Возможно, она воспроизводит квантовую структуру материи. Возможно, обнажает строгую красоту топологии или циничную логику предвыборных махинаций. Возможно, пробуждает вашего внутреннего гения или, того лучше, шимпанзе. Так или иначе, на мой взгляд, это суть главы и главная цель всей книги.

Наконец, в разделе «Вариации и родственные игры» я показываю заманчивые ответвления, которые вы можете исследовать. Иногда это незначительные видоизменения правил, иногда – совершенно новые игры, связанные с оригиналом исторически, концептуально или по духу.

5. Под занавес приведены сводные таблицы, обобщающие игры и общедоступная библиография, изложенная в форме ответов на часто задаваемые вопросы.

Да, и еще там я объясняю, откуда же взялось странное число 75

/

. Если вас мучает вопрос «Что такое четверть игры?», то не сомневайтесь, все не так просто.

ЗАМЕТКИ ДЕГУСТАТОРА ОБ ЭТОЙ КНИГЕ

Вы вольны читать эту книгу как любую другую. Переворачивайте страницы. Вежливо улыбайтесь шуткам. Мурлычьте под нос: «Вау, ничего себе рисунки. Я не прогадал, что раскошелился». Двигаясь от главы к главе, от начала к концу, от игры к игре, вы прекрасно проведете время.

Но лишитесь настоящего удовольствия.

Эта книга предназначена для того, чтобы с ней играли. Человек, играющий с математикой, похож на слона, получающего удовольствие от своего хобота, птицу, получающую удовольствие от своих крыльев, или Бэтмена, который получает удовольствие от своего навороченного автомобиля. Ради этого они и родились. Ваша способность к математическому мышлению – дар такого масштаба, что ему нет аналогов в животном мире (его превосходит разве что кошачье искусство презрения). Пожалуйста, не оставляйте этот подарок эволюции нераспакованным. Достаньте его. Поиграйте с ним. Или по крайней мере уподобьтесь кошке и поиграйте с оберточной бумагой.

Большинство игр предназначено для нескольких игроков. Надеюсь, вы найдете компаньона, который разделит ваше любопытство и попробует вместе с вами освоить их. «Там, где царит соперничество, можно преподавать лишь мертвую математику, – сказала математик Мэри Эверест Буль. – Живая математика должна быть общим достоянием». На мой взгляд, даже состязательные игры – это совместные проекты, в которых умы объединяются, чтобы выстраивать необычные логические и стратегические цепочки. Давид Бронштейн называл это «мышлением на двоих». Карл Меннингер – «прогрессивной диффузией умов». Я предпочитаю говорить проще: «игра».

Как бы то ни было, это книга, и я очень надеюсь, что вы ее прочтете. Каждая игра высвечивает ту или иную истину о математике, от комбинаторного взрыва до теории информации. А эти математические истины проливают свет на игры. Кажется, что света слишком много? Не пугайтесь. Ваши глаза скоро привыкнут. Как однажды написал преподобный Чарльз Калеб Колтон, «изучение математики, подобно Нилу, начинается с малого и кончается великим».

ГЕНЕАЛОГИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ИГР

Игры, о которых я рассказываю в этой книге, рождались в парижских университетах, японских школьных дворах, шумных игорных залах, редакциях аргентинских журналов, их авторы – скромные энтузиасты и бессовестные выскочки, подвыпившие профессора и озорные дети. Эти игры многогранны, ибо многогранна математика; несерьезны, ибо несерьезна математика. И они общедоступны, ибо математика общедоступна, что бы там ни говорили устрашающие формулы и язвительные профи.

Грубо говоря, я позаимствовал игры из четырех областей:

1. Традиционные детские игры, например «Морской бой», «Китайские палочки», «Точки-клеточки».

2. Игры для приятного времяпрепровождения, например «Тико», «Бокс на бумаге» и «Амазонки».

3. Концептуальные игры, придуманные математиками, например «Сим», «Ростки» и «Доминирование».

4. Необычные школьные игры, например «Соседи», «Из ряда вон», «101 – и тебе крышка».

Как появляются игры? Что зажигает математический огонь? Я сам придумал девять игр, и мне бы следовало знать. Но нет единого пути, нет общей родословной. Индия подарила нам шахматы, Китай – го, Мадагаскар – фанорону, а мой двухлетний племянник Скандер – пляски возле пазла с воплем «мовавававава».

Почему математические игры настолько универсальны? Честно говоря, не знаю. Возможно, потому что универсум настолько математичен.

Показательный пример: в 1974 году генетик Марша Джин Фалько начала рисовать символы на каталожных карточках. Это был инструмент исследования: каждая карточка означала собаку, а каждый символ – генетическую комбинацию. Но после перетасовки и перегруппировки карточек все детали отпали. Она увидела чистые комбинации, абстрактные модели. Игру логики. Логику игры. «Материя не привлекает внимания [математиков], – писал Анри Пуанкаре, – их интересует только форма». Ветеринар, заглядывая через плечо Марши, стал задавать вопросы и натолкнул ее на идею игры.

Так родилось любимое развлечение Стивена Хокинга, любимая тема исследований ведущих математиков и одна из популярнейших карточных игр XX века: «Сет».

В том же самом, 1974, году один венгерский архитектор поставил перед собой конструкторскую задачу: можно ли сделать большой куб из маленьких кубиков, которые двигаются независимо друг от друга? Он попытался. И у него получилось. А потом ему взбрело в голову приклеить цветную бумагу на грани кубиков и покрутить их. Это был поворотный момент его жизни. «Парад красок приятно ласкал взгляд, – вспоминал он позже, – но в конце концов я решил, что настала пора возвращаться, как после отменной обзорной экскурсии… и привести кубики в порядок».

Он попытался. Но не тут-то было. Как азартный человек, он увлекся. Спустя месяц куб удалось, наконец, вернуть в исходное состояние. Так Эрнё Рубик стал создателем самой продаваемой игрушки в истории человечества.

«Сет» и кубик Рубика демонстрируют нам два фундаментальных пути математической мысли. Вы можете начать с реальности, как Марша, и отыскивать ее абстрактную структуру или начать с абстрактной структуры, как сделал Эрнё, и искать ее смысл в реальности. В этом плане «Сет» и кубик Рубика не просто позволяют играть другим; они сами являются плодами игры воображения, праздного искусства гениальных приматов, которые никогда не перестают учиться.

ПОЧЕМУ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИГРЫ ВАЖНЫ

Потому что они выявляют лучшее в человеческом мышлении.

В 1654 году некий азартный игрок написал двум математикам с просьбой решить головоломку. Представьте, что двое играют в орлянку. Первый, кто наберет семь очков, выигрывает сотню долларов. Но когда счет был 6:4, игра прервалась. Как честно разделить приз?

Два математика, Блез Паскаль и Пьер Ферма, решили задачу[4 - Спойлер: единственный шанс отстающего игрока на победу – выиграть три раунда подряд. Таким образом, его шансы 1:8. Следовательно, он получит одну восьмую приза ($12,5), а второй игрок – $87,5.], более того, благодаря их решению началось математическое изучение неопределенности, которое мы сейчас называем теорией вероятностей.

Это фундаментальное орудие современности появилось на свет благодаря простой головоломке, связанной с игрой случая.

А вот еще одна история из жизни. Воскресными днями в 1700-е годы жители Кёнигсберга (ныне Калининград), прогуливаясь по четырем районам родного города, пытались пройти по всем семи мостам (Кузнечному, Рабочему, Зеленому, Лавочному, Деревянному, Высокому и Медовому), но только один раз. Успеха не добился никто. А в 1735 году математик Леонард Эйлер доказал, что это невозможно. Такого маршрута попросту не существовало. Его доказательство легло в основу теории графов – исследования сетей, охватывающего все на свете, от соцсетей и поисковых алгоритмов в интернете до эпидемиологии. Google и битва против COVID-19 берут свое начало в праздном времяпрепровождении пруссаков XVIII века.

Хотите еще пример? Почтим память Джона Хортона Конвея, великого математика, – он покинул наш мир, когда я работал над этой книгой. Конвей исследовал самые разные области математики, от клеточных автоматов до абстрактной алгебры. А кроме того, он вновь и вновь возвращался к играм. Его любимым открытием были сюрреальные числа, которые кодировали структуру игр для двух игроков в числовую систему. Его самое известное (и, следовательно, наименее любимое) открытие показало, как вселенская сложность может возникнуть из нескольких простых правил; он придумал игру под названием «Жизнь».

«Я был поражен тем, какую роль его идеи об играх сыграли в работе над решетками, кодами и упаковками… Какие шансы у математика, который любит игры, обнаружить, что игры подспудно лежат в основе других областей, которые он изучает?» – пишет математик и поклонник этой игры Джим Пропп.

Я мог бы и продолжить – например, еженедельная вечерняя партия в покер вдохновила Джона фон Неймана на создание теории игр, чьи стратегические выводы сейчас пронизывают экологию, дипломатию и экономику, – но в мои планы не входит воспевание пользы математики для народного хозяйства. По правде говоря, мне дела нет до того, что математическая игра помогла кому-то заработать миллиарды или сколотить триллионы долларов. По-моему, это случайный побочный продукт математической игры.

Когда вы отрываетесь от игры и обнаруживаете, что невольно изменили ход человеческой истории, то понимаете – это игра с огнем, причем с особым.

«Все хорошие идеи – это игра», – пишет Мейсон Хартман. Она имеет в виду, что наш разум исследует идеи так, как детеныш шимпанзе исследует лес, свободно и самозабвенно. Это не игра в «Парчизи», где каждый ход направлен на победу; скорее, это игра воображения, игра «а что, если…», эстафета поколений, неугасимый факел. «Игра, имеющая конец, ведется ради победы, – писал Джеймс Карс, – бесконечная игра – ради самой игры».

Мы часто воспринимаем математику как набор игр, имеющих конец, – вопросов, требующих ответа; головоломок, которые предстоит решить; теорем, которые необходимо доказать. Но все вместе они образуют необозримую и нескончаемую игру, захватывающую мысли любой разумной обезьяны. «Я люблю математику, – сказала математик Роза Петер, – потому что человек вдохнул в нее дух игры, и она дала ему его величайшую игру – умопостижение бесконечности».

По моему скромному мнению, величайшая игра человечества – «Пол – это лава!», но время от времени я все же приобщаюсь к умопостижению бесконечности. Сердечно приглашаю и вас присоединиться к этому.

I

Геометрические игры

Здесь вы познакомитесь с пятью играми, действие которых разворачивается в непохожих пространствах. Надеюсь, вы вынесете отсюда как минимум то, что есть разные виды пространства.

Игра в «Точки-клеточки» напоминает вычерчивание градостроительного плана на миллиметровке. «Ростки» расползаются по змеящемуся, зыбкому пейзажу. «Супер-крестики-нолики» представляют собой фрактальный мир микрокосмов, макрокосмов, повторов. «Одуванчики» – игра продуваемых ветрами равнин и суровых векторов. Наконец, «Квантовые крестики-нолики» обитают в сверхъестественном пространстве, которое и на пространство-то почти не похоже. Охватите эти игры взглядом, и вы поймете, почему математики полагают, что геометрий много, что есть совершенно разные способы концептуализации пространства и его содержимого. «Одна геометрия не может быть более истинной, чем другая, – писал математик Анри Пуанкаре, – она может быть лишь удобнее».

Тем не менее у всех этих игр есть одна общая черта: они разворачиваются на плоскости. Приключения в двумерном мире позволяют пролить свет на трехмерный, словно в театре теней наоборот.

Быть современным человеком здорово. Наши предки, словно Тарзан, перепрыгивали с ветку на ветку, а я, словно Джейн[5 - Джейн Портер – девушка, в которую влюбляется Тарзан. – Прим. пер.], перепрыгиваю из книги в книгу, со страницы на страницу, с одного листа бумаги на другой. Мой мозг создан для трехмерного мира, в котором есть глубина и объем, а я нацелился на мир двумерных документов и экранов, тонких ломтиков толстенной реальности.

Что ж, если нельзя вернуть обезьяну в джунгли, то геометрические игры позволяют сделать кое-что покруче: вернуть джунгли обезьяне. Они придают плоскости глубину, превращают двумерное в трехмерное.

Объясню, что я имею в виду, на примере трех быстрых игр.

Первая: классическая аркада 1979 года «Астероиды», где вы управляете стреловидным космическим кораблем, бороздящим просторы экрана. Этот экран – целая вселенная: долетев до края, выныриваешь с противоположной стороны. Вы будто бы живете на поверхности шара: куда ни двигайся, вернешься в исходную точку.

Однако на самом-то деле это не сфера. Вначале, «склеив» левую и правую стороны экрана, разработчики игры создали своего рода цилиндрический мир. Затем, «склеив» верхний и нижний края экрана, они соединили торцы цилиндра. В результате получилась не сфера, а бублик. Любители математики знают, что по-научному его называют тор[6 - В книге «Новые правила для классических игр» Уэйн Шмитбергер предлагает применить пространственную логику «Астероидов» к «Скраблу», чтобы слово могло уходить вниз, за пределы игрового поля, и выныривать сверху или заезжать за правый край поля и продолжаться слева. «Один из забавных результатов игры в тороидальный "Скрабл", – пишет он, – заключается в том, что на игровом поле возникают комбинации, которые выглядят не просто жульническими, но и совершенно нелепыми с точки зрения общепринятых правил "Скрабла". Фрагмент слова или одинокая буква висят у края поля, казалось бы, сами по себе, хотя на самом деле это составная часть слова на противоположном краю поля. Отличный способ разозлить кибитцеров». Попробуйте применить ту же тороидальную логику к другим играм в этой книге: «Росткам», «Числовым цепочкам» и «Амазонкам».].

Астероиды заполонили тороидальную вселенную. Эй, кто-нибудь, оповестите NASA!