Мировоззренческие основы IT-индустрии. Matrix Reload

Что такое познание? Полезно вспомнить высказывания В. И. Ленина, записанные им по поводу учения о понятии в «Науке логики» Гегеля: «Познание есть отражение человеком природы. Но это не простое, не непосредственное, не цельное отражение, а процесс ряда абстракций, формирования, образования понятий, законов, каковые понятия, законы (мышление, наука = „логическая идея“) и охватывают условно, приблизительно универсальную закономерность вечно движущейся и развивающейся природы» (29, 164). Там же: «абстракции отражают природу глубже, вернее, полнее. От живого созерцания к абстрактному мышлению и от него к практике – таков диалектический путь познания истины…» (29, 152). Абстрактное мышление, создание теории, изучение свойств понятий не отрывает познание от действительного мира, а позволяет, если только они правильны, познавать его глубже, является необходимым шагом любого познания.

Согласно основным принципам диалектики, все процессы и явления актуальной реальности глубоко взаимосвязаны друг с другом (принцип взаимосвязи), причем в соответствии с принципом развития, изменения, связи эти динамические. Суть процесса познания можно определить как вскрытие, определение этих динамических связей, отражение универсальных закономерностей вечно движущейся и развивающейся природы. При этом одним из универсальных методов познания является моделирование связей при помощи определенного набора абстрактных модельных элементов (например, чисел или других знаков), далее, преобразование этих модельных структур в соответствии с законами преобразования, сохраняющими связи неразрывными, получение новых абстрактных структур, новых совокупностей связей и соотнесение этих новых связей с объективной реальностью.

В качестве одного из средств абстрактного моделирования при помощи набора символов и правил их объединения выступает математика. Математика является значительно бо?льшим, чем наука, поскольку она есть, по выражению Н. Бора, язык науки (7). Определяющим признаком каждой конкретной математической дисциплины является некоторый формальный метод, потенциально допускающий различные материальные воплощения, а следовательно, и практические применения. Может ли тот или иной предмет, то или иное явление реального мира быть исследовано с помощью данного математического метода – этот вопрос решается не природой данного предмета или явления, а их формальными структурными свойствами (20).

Каков же предмет исследований математики? Согласно Ф. Энгельсу, «чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира» (30-XX, 37). Н. Бурбаки утверждают, что «единственными математическими объектами становятся, собственно говоря, математические структуры» (9, 251). С этой группой французских математиков можно согласиться. Но откуда берутся эти структуры и какое отношение они имеют к миру действительности?

Если это абстракции некоторых сторон реального мира, то позиция Бурбаки вполне согласуется с точкой зрения Ф. Энгельса. Сами Н. Бурбаки писали, что «…основная проблема состоит во взаимодействии мира экспериментального и мира математического. То, что между материальными явлениями и математическими структурами существует тесная связь – это, как кажется, было совершенно неожиданным образом подтверждено недавними открытиями современной физики, но нам совершенно неизвестны глубокие причины этого, и быть может, мы их никогда не узнаем» (9, 258). Это пессимистический вывод, и, по мнению акад. Б. В. Гнеденко, он означает только то, что Н. Бурбаки лишь поверхностно затронули важнейший вопрос: каков объект изучения математики (17). Они не попытались выявить процесс формирования основных понятий и основных задач математики в историческом аспекте.

Подобные вопросы не могут возникнуть в связи с определением Ф. Энгельса, поскольку в нем уже содержится утверждение о том, что математические понятия являются лишьабстракциями от некоторых отношений и форм реального мира, ониберутся из реального мираи поэтомуестественным образом с ним связаны. В сущности этим объясняется поразительная применимость результатов математики к явлениям окружающего нас мира, объясняется успех того процесса, который мы сейчас наблюдаем и который называется «математизацией» знаний. Известен ряд примеров, когда абстрактно созданные математические теории намного опережали открытие соответствующих им реальных физических процессов в области естествознания. «Удивительная, непостижимая эффективность математики в естествознании, тот факт, что ее современные модели зачастую описывают довольно неплохо сложные процессы материальной действительности, говорит о том, что математика отражает не только количественную, но и в какой-то мере качественную сторону явлений объективной реальности, о чем писали еще Кант и Гегель» (20, 16).

1.7 Гипотеза «ассоциативной аналогии»

Если проанализировать состояние современной математики как области науки, как языка науки в историческом аспекте, выявить процесс формирования основных понятий, то становится очевидным, что современная математика имеет логически стройную внутреннюю структуру, элементами которой являются, в свою очередь, те самые математические структуры, поразительная применимость которых так удивляет («принцип иерархии структур» по Н. Бурбаки).

Но если математические понятия являются абстракциями отношений и форм реального мира, берутся из реального мираи естественным образом с ним связаны, то возникает вопрос – не отражает ли внутренняя структура современной математики, сложившаяся в процессе исторического абстрагирования форм и отношений реального мира, глубинную фундаментальную структуру реального мира? Не является ли внутренняя структура математики некой моделью реального мира? Если это так, то открывается уникальная возможность взглянуть на объективную реальность через призму внутренней структуры современной математики. Итак, что же лежит в основе современной математики?

В соответствии с исследованиями школы Н. Бурбаки, фундаментом современного математического знания является теория множеств. «Возможно вывести почти всю современную математику, – пишет Бурбаки, – из единого источника – теории множеств» (43, 26). В основе теории множеств, как известно, лежат два понятия – понятие «множество» и понятие «отношение». «Множество» есть совокупность элементов. Элемент множества – основная структурная единица при моделировании объективной реальности средствами математики. Понятие «отношение» отражает наличие связей между элементами множества. Совокупность элементов множества и связей, отношений между ними образуют конкретную математическую структуру (43). Таким образом, понятия «множество» и «отношение» можно рассматривать как фундамент логической структуры математики.

Рассмотрим некоторое «множество элементов». Отношение (закон композиции) между собственными элементами этого множества определяют как внутреннее (унарное, бинарное, тернарное – в зависимости от количества элементов). Простейшая математическая структура – группоид – задается как множество элементов с заданным на нем внутренним бинарным законом композиции (43, 62). Можно определить закон композиции на структурном уровне, единичным элементом которого является группоид. Для этого вводят понятие «гомоморфизм», которое отражает связи между группоидами (как разновидности – «изоморфизм», «эндоморфизм» и др.). «Группа» – частный случай группоида. Последующие уровни иерархии математических структур: «кольцо» – множество с заданными на нем двумя законами композиции (группа с дополнительными связями), «тело» – множество с заданными на нем двумя группами, «векторное пространство» – конструкция на основе группы, тела и закона композиции между ними, «тензор», «спинор», «твистор» и т. д. (43). Наблюдаем некую иерархическую последовательность математических структур, в которой новые структуры формируются путем задания отношений, связей между объектами предшествующих уровней сложности.