Математические модели в естественнонаучном образовании. Том II

.3           .4           .5

.5           .4

.7

5.3.3. Рассмотрим данные о расстояниях в таблице 5.13, которые точно соответствуют дереву с рисунка 5.15, при

 и

.

а. Используйте UPGMA для восстановления дерева на основе этих данных. Применим ли этот метод?

б. Используйте метод присоединения соседей, чтобы восстановить дерево из этих данных. Применим ли этот метод?

5.3.4. Выполните алгоритм присоединения соседей на данных о расстояниях, используемых в примерах из раздела 5.2. Чтобы использовать MATLAB для этого в первом примере, введите массив расстояний D=[0 .45 .27 .53; 0 0 .40 .50; 0 0 0 .62; 0 0 0 0] и названия таксонов Taxa={'S1','S2','S3','S4'}, затем запрограммируйте функцию nj, реализующую построение дерева методом присоединения соседей, чтобы можно было её использовать nj(D,Taxa{:}).

а. Построит ли метод присоединения соседей на примере с 4 таксонами то же самое дерево, что и метод UPGMA?

б. Производит ли метод присоединения соседей на примере с 5 таксонами то же самое дерево, что и FM-алгоритм?

5.3.5. Используйте расстояние Джукса-Кантора и программу построения деревьев методом присоединения соседей из предыдущей задачи для смоделированных данных последовательности ранее сохранённых в seqdata.mat. Сравните полученные результаты с результатами, полученными другими методами в задачах 5.2.9-5.2.12 предыдущего раздела. Как повлияли на результаты молекулярные часы, работающие в симуляции?

а. Данные a1, a2, a3 и a4 смоделируйте в предположении с молекулярными часами

б. Данные b1, b2, b3, b4 и b5 смоделируйте без молекулярных часов.

5.3.6. Сгенерируйте с использованием 2-параметической модели Кимуры последовательности c1, c2, c3, c4, c5 и сохраните их в seqdata.mat.

а. Даже не зная заранее, какая именно модель была использована, как сравнение некоторых из этих последовательностей поможет определить, что именно 2-параметрическое расстояние Кимуры было бы хорошим выбором для моделирования этих последовательностей?

б. Постройте дерево методом присоединения соседей, используя значение расстояния вычисляемого 2-параметрическим методом Кимуры.

в. Соответствует ли полученное дерево гипотезе молекулярных часов хотя бы приближенно? Обоснуйте свою точку зрения.

5.3.7. Сохраните последовательности d1, d2, d3, d4, d5 и d6 в файл seqdata.mat.

а. Выберите формулу расстояния для использования на этих последовательностях и объясните, почему сделанный выбор оптимален.

б. Постройте дерево методом присоединения соседей из имеющихся данных.

в. Один из этих 6 таксонов является внешней группой, которая была включена для того, чтобы получить корневое дерево на оставшихся 5. Какая именно из них является внешней группой? Нарисуйте корневое метрическое дерево, относящее к оставшимся таксонам.

5.4. Построение дерева методом максимальной экономии

Одним из критических недостатков дистанционных методов построения дерева заключается в том, что, поскольку они начинаются со сведения полных данных о последовательности ДНК к набору попарных расстояний между таксонами, то они могут не использовать всю информацию об исходных последовательностях.

Метод максимальной экономии предполагает несколько иной подход к построению дерева, использующий целые последовательности. Среди всех возможных деревьев, которые могут связывать таксоны, он ищет то, которое потребовало бы наименьшего количества возможных мутаций. Чтобы оценить количество мутаций никогда не вычисляются расстояния, а вместо этого рассматривается, как мутации происходят в имеющихся последовательностях на каждом отдельном участке.

Общий план таков: для данного дерева каким-то образом подсчитывается наименьшее количество мутаций, которое потребовалось бы, если бы последовательности возникли от общего предка в соответствии с этим деревом. Это число называется скупой оценкой дерева. Далее одно за другим рассматриваются все деревья, которые могут связать интересующие таксоны, и вычисляется оценку экономии для каждого из них. Затем выбирается дерево, которое имеет наименьшую оценку экономии. Это дерево, самое экономное, является тем, которое метод считает оптимальным для имеющихся данных о мутирующей последовательности.

В качестве первого шага реализации намеченного плана понадобится найти способ вычисления оценки экономии для определенного дерева и последовательностей. Предположим, что смотрим на один участок в ДНК для каждого из таксонов и видим, например,

: A,

 : T,

 : T,

 : G,

 : A.

Если представить, что они были связаны деревом, показанным на рисунке 5.18, то можно пройти обратно вверх по дереву, чтобы определить, какое основание могло быть на этом на каждой внутренней вершине, предполагая наименьшее количество возможных мутаций.

Рисунок 5.18. Вычисление оценки экономии для дерева на одном сайте.

Например, выше

 и

 мог быть либо A, либо T, но не C или G, и, по крайней мере, должна была произойти 1 мутация. Обозначаем эту вершину двумя возможностями {A, T}, но до сих пор имеем количество мутаций равное 1. Однако, учитывая то, что в

 появляется T, на вершине, соединяющей

 с

 и

 должно быть T; никакой дополнительной мутации не требуется, кроме той, которую уже посчитали. Теперь обозначили две внутренние вершины и по-прежнему имеем одну мутацию.

Продолжая продвигаться вверх по дереву, помещаем основание или набор возможных оснований на каждой вершине. Если под вершиной находятся два разных основания (или множества оснований, которые не пересекаются), нужно будет увеличить количество мутаций на 1 и объединить два основания (или взять объединение множеств) в один больший набор возможных оснований на более высокой вершине. Если два низших основания согласуются (или множества имеют общие элементы), то обозначаем высшую вершину этим основанием (или пересечением двух множеств). В этом случае не нужно подсчитывать дополнительную мутацию. Когда все вершины дерева помечены, конечное значение количества мутаций дает минимальное количество мутаций, необходимое для того, чтобы это дерево правильно описало эволюцию таксонов. Таким образом, дерево на рисунке 5.18 будет иметь минимальное количество мутаций, или показатель экономии, равный 3.

На самом деле есть несколько важных фактов, которые здесь использовались без доказательства. Во-первых, не совсем очевидно, что изложенный метод дает минимально возможное количество мутаций, необходимые для построения дерева. Хотя это должно казаться очевидным и на самом деле верно, что нет возможности назначать основания внутренним вершинам таким способом, который потребует меньшего количества мутаций, но не будем углубляться в строгое доказательство этого средствами комбинаторной теории графов. Как увидите в упражнениях, могут существовать такие разметки оснований на внутренних вершинах, которые не согласуются с разметками, производимыми данным методом, но при этом достигается то же самое минимальное количество мутаций. Это означает, что невозможно интерпретировать изложенный метод вычисления показателя экономичности как однозначную «реконструкцию» последовательности предков таксонов.

Во-вторых, показатель экономии дерева не зависит от расположения корня. Если используется одно и то же дерево, но корень перемещается, то данный метод подсчета может привести к тому, что поставим разные основания или наборы оснований в каждой из вершин. Тем не менее, можно доказать, что будет получен тот же коэффициент экономии. Таким образом, в то время как процедура подсчета требует временной вставки корня, в действительности можно говорить о пригодности некорневого дерева. Однако всегда можно добавить внешнюю вершину, как обсуждалось в предыдущих разделах, если требуется такое расположение корня.

Наконец, поскольку метод не позволяет однозначно восстановить последовательности на внутренних вершинах, то нет возможности узнать, вдоль каких ребер происходили мутации. Это означает, что не получится определить точную длину ребра, используя количество мутаций, происходящих при переходе вдоль него. Таким образом, метод максимальной экономии – это метод, который фокусируется только вокруг использования некорневых топологических деревьев для отыскания связей таксонов.

Теперь, когда получили оценку экономии дерева на рисунке 5.18, давайте рассмотрим другое дерево, на рисунке 5.19, которое может относиться к тем же 1-базовым последовательностям. Имейте в виду, дерево рисуется с корнем только для удобства. Применяя предыдущий метод для получения маркировки на внутренних вершинах, приходим к тому, что это дерево имеет оценку экономии 2; то есть необходимы только две мутации. Таким образом, дерево на рисунке 5.19 является более экономным, чем на рисунке 5.18.

Рисунок 5.19. Более экономное дерево.

Чтобы найти наиболее экономное дерево для этих таксонов, нужно было бы рассмотреть все 15 возможных топологий некорневых деревьев с 5 таксонами и вычислить минимальное количество мутаций для каждой. Вместо того, чтобы перебирать 13 оставшихся деревьев, давайте попробуем подумать о том, какие деревья, вероятно, будут иметь низкие показатели экономии. Если оценка низкая, то

 и

, вероятно, будут рядом друг с другом, как