Математические модели в естественнонаучном образовании. Том I

a. Часто химические реакции протекают со скоростью, пропорциональной количеству участвующего в реакции вещества. Предположим, что используется очень малый временной интервал, чтобы смоделировать такое действие разностным уравнением. Пусть общее количество химических веществ участвующих в реакции равно

, и то первое химическое вещество, которое изначально имеется в количестве

, преобразуется во второе химическое вещество, которое получается в количестве

 в момент времени

. Опираясь на свои школьные знания, объясните, почему

. Какие значения

 являются допустимыми? Какой смысл имеет

? Как выглядит график функции

 от

?

b. Химические реакции называются автокаталитическими, если скорость, с которой они происходят, пропорциональна как количеству сырья, так и количеству продукта, тот есть продукт реакции отказывается её катализатором. Модно снова использовать очень малый интервал времени для моделирования такого действия, но уже с помощью другого уравнения. Пусть общее количество химических веществ участвующих в реакции равно

 и то одно химическое вещество преобразуется в другое химическое вещество, которое получается в количестве

.  Объясните, почему в данном случае

.  Если

 мало, но не равно нулю, то как будет выглядеть график функции

 от

? Если

, то как будет выглядеть график функции

 от

? Можете ли интуитивно объяснить форму полученного графика? Обратите внимание на тот факт, что

 будет очень маленьким, потому что используется небольшой интервал времени. Модель логистического роста в таких случаях иногда также называют автокаталитической моделью.

Заметим, что пришедшая из химии автокаталитическая модель применима, среди прочего, для моделирования динамики трудовой миграции в сфере математического образования.

1.3. Анализ нелинейных моделей

В отличие от простой линейной модели, описывающей экспоненциальный рост, нелинейные модели, такие как дискретная логистическая, могут описывать достаточно сложную динамику поведения. Без сомнения, это стало заметным в ходе выполнения некоторые упражнений из предыдущего раздела.

В этом разделе рассмотрим несколько конкретных типов поведения и разработаем простые инструменты для их изучения.

Начнём с моделирования таких явлений, как переходные процессы, равновесие и стабилизация. Полезно выделить несколько аспектов, связанных с поведением динамической модели. Иногда, несмотря на первоначальную уникальность, после того как прошло много шагов, поведение модели становится шаблонным. Первые несколько шагов итерации, однако, могут не указывать на то, что подобное произойдет в долгосрочной перспективе. Например, с дискретной логистической моделью

 и большинство начальных значений

, первые несколько итераций модели производят относительно большие изменения в

 по мере дальнейшего приближения к 10. Таким образом, подобное поведение на ранней стадии называется переходным, потому что оно в конечном итоге сменяется другим поведением. Однако это не означает, что переходные процессы не вызывают интереса, поскольку реальные популяции вполне могут переживать кризисные ситуации, которые продолжают возвращать популяцию обратно на переходный этап.

Как правило, исследователей интересует долгосрочное поведение модели. Причина этого заключается в том, что изучаемая система не должна быть разрушена раньше, чем прекратятся переходные процессы. Часто, но далеко не всегда, долгосрочное поведение не зависит от точной численности исходной популяции. В модели

, долгосрочное поведение для большинства начальных значений заключается в том, что популяция становится очень близкой к

. Заметим, что если

, то

, следовательно в дальнейшем численность популяции никогда не поменяется. Таким образом,

 является равновесием (или стационарной, фиксированной точкой) модели.

Определение.   Равновесным значением для модели

 является значение

 такое, что

. Это эквивалентно тому, что для модели

 существует значение

 такое, что

.

Нахождение равновесных значений сводится к решению уравнения равновесия. Для модели

, решив уравнение

 видим, что существует ровно два равновесных значения:

 и  

.

Вопросы для самопроверки:

– Графически тоже можно найти равновесия, выполнив поиск пересечения кривой

 с диагональной прямой. Почему это так?