Математические модели в естественнонаучном образовании. Том I

 уравнение, определяющее модель. Заметим, что в последнем равносильном преобразовании использовалось равенство

. Поскольку интересны лишь значения

, очень близкие к

, то последнее выражение очень близко к предельному значению

. Но этот предел по определению является не чем иным, как производной

, производной функции, определяющей модель. Итак, мы доказали следующую теорему.

Теорема. Если модель

 имеет равновесное значение

, то

 подразумевает, что значение

 нестабильно, а при

 , будет

 стабильным значением. Если же

, то этой информации недостаточно для определения стабильности и необходимо проводить дополнительное исследование.

Пример. Пусть

, тогда

. Вычислим

. Следовательно,

, поэтому

 стабильно.

Обратите внимание, что в этом примере значение, которое нашли для

, оказалось точно таким же, как значение, которое нашли для «коэффициента растяжения» в примере выше, без использования инструментов дифференциального исчисления. Это, конечно, должно было произойти, потому что то, что привело к производной, изначально было более тщательным исследованием «методом пристального всматривания». Таким образом, производную можно интерпретировать как меру того, насколько быстро функция меняет свои значения.

Поскольку использовался формализованный подход, то есть записывались формулы и уравнения, для иллюстрации тесной связи между понятиями производной и стабилизацией поведения модели, настоятельно рекомендуется решить задачи с 1.3.1 по 1.3.3 в конце раздела, чтобы представить обнаруженную связь графически.

Почему важны как графический, так и аналитический подходы к определению стабильности? Первый является наиболее интуитивным и делает основные идеи наиболее ясными. Что можно было наблюдать на примере. Но слабость такого подхода в том, что он действенен лишь для моделей, включающих простые алгебраические формулы. Если бы в уравнении модели присутствовали экспоненты или другие сложные функции, алгебраические средства оказались бессильны. Когда модель усложняется, математический анализ становится прекрасным подручным инструментом для профессионального исследователя.

При линеаризации для определения стабильности очень важно сосредоточиться на равновесии. Даже не пытайтесь определить является ли точка стабильным или нестабильным равновесием, пока не убедитесь в том, что это точка является равновесием в принципе. Последующий анализ предполагает, что точка

 удовлетворяет равенству

. Например, если бы попытались линеаризовать

 для

 в предыдущем примере, то не смогли бы ничего сделать, потому что 11 не является точкой равновесия.

Наконец, также важно, что проведённый анализ стабильного и неустойчивого равновесия, был локальным, а не глобальным. Эта устоявшаяся терминология означает, что рассмотрели лишь то, что происходит в очень небольших окрестностях вокруг точки равновесия. Хотя устойчивое равновесие будет притягивать все близлежащие значения, это не означает, что значения расположенные далекого тоже должны стремиться именно к нему. Точно так же, как несмотря на то нестабильность равновесие, нельзя утверждать, что далёкие от него значения не будут к нему стремиться или не окажутся вовсе ему равными.

Далее рассмотрим такие явления в динамическом моделировании как колебания, бифуркации и хаос. В задаче 1.2.4 предыдущего раздела исследовалось динамическое поведение логистической модели

 для K = 10 при множестве значений r. На самом деле, параметр

 в модели не очень важен; можно выбрать единицы, в которых измеряется численность популяции так, чтобы пропускная способность стала равна 1. Например, если пропускная способность составляет 10 000 штук, то можно использовать масштабную единицу равную 10 000, и тогда получится

. Это наблюдение позволяет подробно сосредоточиться на том, как параметр

 влияет на поведение модели.

Зафиксировав

, для любого значения

 логистическая модель имеет два равновесных значения, 0 и 1, так как это единственные значения

, которые приводят к

. Как увидите в ходе решения задач чуть позже, «коэффициент растяжения» при

 будет равен

, а при

 равен

.  Поэтому

 всегда является неустойчивым равновесием для

.

Случай

 гораздо интереснее. Во-первых, когда

, что равносильно

, модель имеет стабильное равновесие в точке