Последний отзыв
Так получилось, что книга ко мне попала в тяжелый эмоциональный кризис и многое мне дала. Написано актуально, тут многих полезных вещей, никакого злоу...
Далее
По всем вопросам обращайтесь на: info@litportal.ru
(©) 2003-2024.
✖
Математические модели в естественнонаучном образовании. Том I
Настройки чтения
Размер шрифта
Высота строк
Поля
Не будем доказывать здесь, но можно показать, что для квадратных матриц если
, то
. Таким образом, если
является обратной для
, то
обратная для
.
Прежде чем научиться вычислить обратную матрицу, проанализируем, всегда ли такая матрица будет существовать. Например,
, поэтому
. С другой стороны, если
, то
необратима. Чтобы понять это, посмотрите на
. Невозможно заполнить пропущенные места в верхней строке левой матрицы так, чтобы верхняя левый элемент первой строки в произведении оказался равен 1. Из-за нулевого столбца в
верхний левый элемент произведения всегда будет равным 0. Этот пример показывает, что некоторые матрицы необратимы.
Попытка найти обратную матрицу в общем случае даст больше понимания проблемы. Зададимся вопросом, чем заполнить матрицу в уравнении
.
Сосредоточившись на правом верхнем элементе произведения, легко получить там ноль, поместив
и
в верхнюю строку искомой матрицы. Чтобы получить ноль в нижнем левом элементе произведения, можно поставить
и
в нижнем ряду. Это приводит нас к равенству
. Теперь, чтобы получить 1 по диагонали, достаточно просто нужно разделить каждый элемент левой матрицы на
. Таким образом,
. Число
имеет специальное название:
Определение. Детерминантом (или определителем) квадратной матрицы
второго порядка называется число
, которое обозначается как
или
.
Формула для обращения квадратной матрицы второго порядка теперь выглядит следующим образом: если
, то
.
В общем случае обращение матрицы происходит по формуле
, то есть на определитель делится матрица, транспонированная к присоединённой. Транспонирование осуществляется путём замены строк матрицы её столбцами, а для нахождения
-элемента
-й строки
-го столбца в присоединённой матрице вычисляется алгебраическое дополнение к элементу
-й строки
-го столбца исходной матрицы. Алгебраическим дополнением элемента матрицы называется его минор, взятый со знаком
. А минором называется определитель матрицы, получаемой из исходной путём вычёркивания из неё
-й строки и
-го столбца.
Пример.
.
Поскольку не каждая матрица имеет обратную, невозможно найти универсальную формулу для обращение любой матрицы. Иногда что-то будет мешать. Глядя на формулу, видим, что она не имеет смысла, при
. На самом деле, не будем доказывать это, но если
, то
не имеет обратной. Другими словами, чтобы найти обратную матрицу 2 ? 2, можем просто попытаться использовать вышеописанную формулу. Если формула неприменима, то матрица не имеет обратного. Резюмируем сказанное следующей теоремой.
Теорема. Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда ее определитель не равен нулю.
Другие электронные книги автора Денис Владимирович Соломатин
Последний отзыв
Так получилось, что книга ко мне попала в тяжелый эмоциональный кризис и многое мне дала. Написано актуально, тут многих полезных вещей, никакого злоу...
Далее