Математические модели в естественнонаучном образовании. Том I

Пример. Матрица

 необратима, так как её определитель равен

.

Для матриц размерности 3 ? 3 и выше, ручное вычисление обратной матрицы (если она существует) через детерминант очень громоздко. Несмотря на то, что задача алгоритмически разрешима и хорошо распараллеливается процесс вычисления по формулам обращения любой квадратной матрицы, они слишком сложны, чтобы быть полезными с практической точки зрения. Поэтому обратные матрицы обычно вычисляются с помощью другого метода, называемого методом Гаусса-Джордана, который преподается на курсах линейной алгебры. Для нужд математического моделирования громоздкие операции с большими матрицами выполняются средствами программного обеспечения, такого как MATLAB, чтобы ускорить вычисления.

Однако важно помнить, что не каждая матрица будет иметь обратную. Если попытаетесь вычислить значение, когда его не существует, MATLAB сообщит об этом. К счастью, большинство квадратных матриц обратимы. По этой причине необратимые матрицы называются особенными, сингулярными или вырожденными.

Вернемся к первоначальной проблеме нахождения обратной матрицы.

Пример. Для леса, моделируемого в разделе 2.1, предположим, что в момент времени

 численность деревьев двух видов составляла

. Какова была их численность в момент времени

? Чтобы ответить на этот вопрос, зная о соотношении

, просто умножаем обе части равенства слева на

, чтобы найти

.

Задачи для самостоятельного решения:

2.2.1. Первый раздел настоящей главы начинается с двух примеров моделей популяции. Является ли каждая из них моделью Лесли? Является ли каждая из них моделью Ашера? Объясните, почему, описав форму матриц перехода для них.

2.2.2. В MATLAB создайте матрицу Лесли для модели численности населения, описанной с помощью команд

sd=[0.9966, 0.9983, 0.9979, 0.9968, 0.9961, …

0.9947, 0.9923, 0.9987, 0.9831]

P=diag(sd,-1)

P(1,:)=[0.0000, 0.0010, 0.0878, 0.3487, 0.4761, …

0.3377, 0.1833, 0.0761, 0.0174, 0.0010]

Для нескольких вариантов начальных значений популяции постройте графики популяции в течение следующих 10 временных шагов. Опишите свои наблюдения.

2.2.3. Без помощи компьютера найдите определители и обратные матрицы для следующих матриц  

,

,

 при условии, что они существуют. Затем проверьте свои ответы с помощью компьютера. В MATLAB для поиска обратной матрицы и определителя матрицы

 используются команды

inv(A)

det(A)

2.2.4. При помощи компьютера найдите определители и обратные матрицы для

 и

 при условии, что они существуют. Убедитесь, что обратная матрица найдена верно, путём её умножения на исходную матрицу и получением в результате единичной матрицы.

2.2.5. Простая модель Ашера в пройденном параграфе описывает незрелые и зрелые группы, задаётся матрицей

.

а. Сколько рождений в среднем доступно каждому члену зрелой группы за один временной интервал?

б. На сколько процентов уменьшается численность каждой группы в каждом временном интервале?

в. Предполагая, что незрелые не способны размножаться с течением времени, каково значение верхнего левого элемента матрицы

?

г. Что означает левый нижний элемент матрицы

?

2.2.6. Для модели из предыдущей задачи:

а. Найдите

.

б. Пусть

, найдите

 и

.

2.2.7. Предположим, что структурированная популяционная модель имеет матрицу перехода

, которая обратима.

а. В чем смысл матрицы