Математические модели в естественнонаучном образовании. Том I

.

При небольших значениях

 темпы роста на человека должны быть большими, можно представить себе небольшой элитарный клуб интеллектуалов с большим количеством ресурсов, доступных в его среде для поддержки дальнейшего роста численности. Однако для больших значений

 дальнейшая скорость роста численности должна быть намного меньше, поскольку люди конкурируют как за идеи, так и за финансы в сфере их профессиональных интересов. Для еще больших значений

 темпы роста должны быть отрицательными, это будет означать, что численность сократится. Тогда разумно предположить, что искомая величина

, как функция от

, имеет график, представленный на рисунке 1.1.

Рисунок 1.1. Темпы роста численности

 в зависимости от текущего значения численности

.

Конечно, нельзя предугадать, как выглядит график

 без сбора дополнительной информации. Возможно, график должен быть вогнутым или выпуклым, например. Тем не менее, это лишь первая попытка создать новую модель.

Вопросы для самопроверки:

– Постройте график темпов роста значений численности по мальтузианской модели. Чем тот график отличается от изображенного на рисунке 1.1?

Для мальтузианской модели

, поэтому тот график темпов роста представляет собой горизонтальную линию и снижения

 по мере увеличения

 не происходит. С другой стороны, наклонная линия рисунка 1.1 улучшенной модели приводит к формуле

, для некоторых

 и

. В конечном итоге закономерность проявится яснее если записать уравнение прямой как

 , где

 – абсцисса точки пересечения горизонтальный оси,

 – ордината пересечения вертикальной. Заметим, что

  и

 должны быть положительными. Через алгебраические выкладки получим новое разностное уравнение

. Эта модель обычно называется «дискретной логистической моделью» или «дискретным логистическим уравнением», хотя, к сожалению, многие модели называются также.

Параметры

 и

 в этой модели имеют физические и биологические интерпретации. Во-первых, если

, то

. При положительных темпах роста на душу населения население будет увеличиваться. С другой стороны, если

, то

. При отрицательных темпах роста на душу населения численность населения будет сокращаться.  Поэтому

 называют несущей способностью окружающей среды, потому что она представляет собой максимальное количество особей, которые могут поддерживаться в течение длительного периода. Однако, когда население незначительно (т.е.

 намного меньше, чем

), множитель

 устремляется в 1. Поэтому для малых значений

 модель аппроксимируется приближенными значениями

.

Другими словами,

 играет роль

, в вышеописанной линейной модели. Параметр

 просто отражает то, как популяция будет расти или уменьшаться в отсутствие факторов, зависящих от плотности, когда численность намного ниже предельного значения. Как правило

 называют конечной внутренней скоростью роста. Термин «внутренний» относится к отсутствию внешнего воздействия, зависящего от плотности, а термин «конечный» подчеркивает тот факту, что используются временные шаги конечного размера, а не бесконечно малые временные шаги дифференциального уравнения.

Вопросы для самопроверки:

– Какие значения можно ожидать от

 и

 в случае, когда захотите смоделировать численность ежегодно поступающих на физико-математические факультеты омских ВУЗов?

Как вы увидите в задачах ниже, существует много способов, которыми разные авторы формируют логистические модели, в зависимости от того, смотрят ли на