Как не ошибаться. Сила математического мышления

Я видел, как люди едва не вступали в драку из-за этого вопроса[67 - По правде сказать, речь идет о подростках из летнего математического лагеря.]. По этому поводу ведутся жаркие споры на самых разных веб-сайтах, от страниц фанатов игры World of Warcraft («Вселенная Варкрафта») до форумов, посвященных творчеству Айн Рэнд. Наша естественная реакция на аргументы Зенона такова: «В конечном счете вы непременно получите свое мороженое». Но в данном случае интуиция подсказывает совсем иной ответ. Большинство людей[68 - См.:David O. Tall, Rolph L. E. Schwarzenberger. Conflicts in the Learning of Real Numbers and Limits // Mathematics Teaching, 1978, 82, p. 44–49.] (если потребовать от них однозначного ответа) скажут, что 0,9999… не равно 1. Это число даже не похоже на единицу, это уж точно. Оно меньше единицы. Однако ненамного меньше! Подобно любителю мороженого в парадоксе Зенона, оно все ближе и ближе подходит к своей цели, но похоже на то, что так и не доберется до нее.

И все-таки преподаватели математики, в том числе и я сам, скажут им: «Нет, это число равно 1».

Как мне привлечь хоть кого-нибудь на свою сторону? Один хороший способ – привести следующие доводы. Все знают, что:

0,33333… = 1/3.

Умножьте обе стороны на 3 – и получите такой результат:

0,99999… = 3/3 = 1.

Если это вас не убедило, попытайтесь умножить 0,99999… на 10, для чего нужно просто перенести десятичную запятую на одну позицию вправо.

10 ? (0,99999…) = 9,99999…

Теперь надо вычесть раздражающее десятичное число из обеих сторон равенства:

10 ? (0,99999…) ? 1 ? (0,99999…) = 9,99999… ? 0,99999…

Левая сторона равенства представляет собой просто 9 ? (0,99999…), поскольку 10 умножить на что-то минус что-то равно 9 умножить на вышеупомянутую величину. А в правой части равенства нам удалось удалить ужасное бесконечное десятичное число, после чего у нас осталось просто 9. В итоге мы получим:

9 ? (0,99999…) = 9.

Если 9 умножить на что бы то ни было равно 9, тогда это что-то должно быть равно 1, не так ли?

Как правило, чтобы убедить людей, подобных доводов вполне довольно. Но будем честны: в этой аргументации кое-чего не хватает. В действительности приведенные выше доводы не устраняют тревожную неопределенность, вызванную заявлением, что 0,99999… = 1; напротив, они представляют собой своего рода алгебраическое устрашение: «Вы верите в то, что 1/3 равно 0,3 в периоде, не так ли? Ведь вы действительно верите в это?»

Или еще хуже: скорее всего, вас убедили мои доводы, в основе которых лежало умножение на 10. Но как насчет следующего довода? Чему равно:

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …?

Здесь многоточие означает, что мы продолжаем вычислять сумму бесконечно, каждый раз прибавляя величину, которая в два раза больше предыдущей. Очевидно, что эта сумма должна быть бесконечной! Однако довод, во многом напоминающий на первый взгляд корректный аргумент в отношении 0,99999…, как будто говорит об обратном. Умножьте представленную выше сумму на 2 – и получите:

2 ? (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …) = 2 + 4 + 8 + 16 + …

Этот результат очень похож на исходную сумму; на самом деле это и есть исходная сумма (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …), но без 1 в начале, а это значит, что 2 ? (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …) меньше (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …). Другими словами:

2 ? (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …) – 1 ? (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …) = ?1.

Однако, выполнив упрощающие преобразования, левую сторону этого равенства можно привести к той самой сумме, с которой мы начали, получив при этом такой результат:

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + … = ?1.

Именно в это вы готовы поверить?[69 - Есть объект, 2-адические числа, для которых этот довод, на первый взгляд бредовый, абсолютно корректен. Кого интересует более подробная информация о теории чисел – тем я рекомендую заглянуть в «Примечания». Согласно теории Коши, сходимость ряда к пределу x означает, что когда вы суммируете все больше и больше членов этого ряда, итоговая сумма все больше приближается к значению x. Чтобы понять это, мы должны представлять, что значит «близость» двух чисел друг к другу. Оказывается, знакомое нам значение слова «близость» не единственное! В мире 2-адических чисел два числа считаются близкими друг к другу, если разность между ними представляет собой величину, кратную большой степени числа 2. Когда мы говорим, что ряд 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + … сходится к значению ?1, мы тем самым утверждаем, что частичные суммы 1, 3, 7, 15, 31… все больше приближаются к ?1. В обычном понимании «близости» это не так, однако при использовании понятия 2-адической близости ситуация обстоит совсем иначе. Разность между числами 31 и ?1 равна 32, что составляет достаточно малое 2-адическое число 2

. Просуммируйте еще несколько членов этого ряда – и получите число 511, которое отличается от ?1 на 512, еще меньшую величину (в 2-адическом смысле). Большая часть математики, которую вы знаете (анализ, логарифмы и экспоненциальные функции, геометрия), имеет аналог в мире 2-адических чисел (а также аналог в мире p-адических чисел для любого p). Взаимодействие между всеми этими концепциями близости являет собой отдельную историю – умопомрачительную и недосягаемо прекрасную.] В то, что прибавление все больших и больших чисел до бесконечности приведет вас в область отрицательных чисел?

А вот еще более бредовая идея. Чему равно значение бесконечной суммы:

1 ? 1 + 1 ? 1 + 1 ? 1 + …?

Кто-то может сразу же сделать вывод, что эта сумма составляет:

(1 ? 1) + (1 ? 1) + (1 ? 1) + … = 0 + 0 + 0 + …,

и заявит при этом, что сумма множества нолей, пусть и бесконечно большого, должна быть равной 0. С другой стороны, 1 ? 1 + 1 – это то же самое, что 1 ? (1 ? 1), поскольку отрицательное значение отрицательного числа – число положительное. Многократное применение этой операции позволяет нам переписать нашу сумму в таком виде:

1 ? (1 ? 1) ? (1 ? 1) ? (1 ? 1) ? … = 1 ? 0 ? 0 ? 0 ? …

Данный результат точно так же требует вывода, что данная сумма равна 1!

Так чему же равна эта сумма, 0 или 1? Или она в половине случаев равна 0 и еще в половине случаев – 1? Создается впечатление, что это зависит от того, где вы остановитесь, но ведь бесконечные суммы никогда не останавливаются!

Не делайте пока никаких выводов, потому что на самом деле все еще сложнее. Предположим, наша загадочная сумма имеет значение T:

T = 1 ? 1 + 1 ? 1 + 1 ? 1 + …

Умножение на ?1 обеих сторон этого уравнения дает следующий результат:

?T = ?1 + 1 ? 1 + 1 ? …

Однако сумма с правой стороны уравнения – это именно то, что вы получите, если возьмете исходную сумму, равную Т, и удалите из нее первую 1, то есть вычтете 1 из этой суммы. Другими словами:

?T = ?1 + 1 ? 1 + 1 ? … = T ? 1.

Таким образом, ?T = T – 1 – уравнение с участием Т, которое выполняется только в случае, если Т равно 1/2. Может ли сумма бесконечно большого количества целых чисел каким-то волшебным образом превратиться в дробное число? Тот, кто говорит «нет» в ответ на этот вопрос, действительно имеет право как минимум с некоторым недоверием относиться к сомнительным аргументам подобного рода. Но обратите внимание на то, что некоторые люди дают утвердительный ответ на этот вопрос, в том числе итальянский математик и священник Гвидо Гранди, именем которого обычно называют ряд 1 ? 1 + 1 ? 1 + 1 ? 1 + …. В работе, опубликованной в 1703 году, Гранди привел доводы в пользу того, что сумма данного ряда равна 1/2, а также заявил, что этот удивительный вывод символизирует сотворение Вселенной из ничего. (Не беспокойтесь, я тоже не понимаю последний пункт.) Другие выдающиеся математики того времени, такие как Лейбниц и Эйлер, были согласны со странными расчетами Гранди и даже с его интерпретацией[70 - Информация о Гранди и его ряде взята в основном из работы: Morris Kline. Euler and Infinite Series // Mathematics Magazine, 1983, Nov., vol. 56, no. 5, p. 307–314.].

Но на самом деле решение загадки с числом 0,999… (а также парадокса Зенона и ряда Гранди) кроется несколько глубже. Вы совсем не должны поддаваться давлению моих алгебраических доводов. Например, вы можете настаивать на том, что 0,999… равно не 1, а скорее 1 минус некое крохотное бесконечно малое число. Если уж на то пошло, вы можете настаивать и на том, что число 0,333… не равно в точности 1/3, а также отличается от этого числа на некую бесконечно малую величину. Для того чтобы довести данную мысль до конца, потребуется определенное упорство, но это можно сделать. Когда-то у меня был студент по имени Брайан, который изучал математический анализ. Не удовлетворившись теми определениями, которые давались на занятиях, Брайан сам разработал довольно большой фрагмент этой теории, назвав бесконечно малые величины числами Брайана.

На самом деле Брайан не был первым, кто решил заняться этим. Существует целая область математики под названием «нестандартный анализ», которая специализируется на изучении чисел такого рода. Теория, сформулированная Абрахамом Робинсоном в середине ХХ столетия, наконец позволила понять смысл «бесконечно малых приращений», которые Беркли считал такими нелепыми. Цена, которую придется за это заплатить (или, если посмотреть на это с другой стороны, награда, которую вы за это получите), – обилие новых типов чисел, причем не только бесконечно малых, но и бесконечно больших – огромное множество чисел всех форм и размеров[71 - Сюрреальные числа, которые описал Джон Конвей, – это особенно очаровательный и причудливый пример, о чем говорит само название. Этот класс чисел, глубинные аспекты которого еще не изучены, представляет собой удивительный гибрид чисел и стратегических игр. Полезную информацию об этих экзотических числах, а также многих математических методах ведения игр можно найти в труде Элвина Берлекэмпа, Джона Хортона Конвея и Ричарда Гая Winning Ways… («Выигрышные стратегии в математических играх»), см.: Elwyn R. Berlekamp, John H. Conway, Richard K. Guy. Winning Ways for Your Mathematical Plays. Natik MA: A K Peters/CRC Press. 2 ed. Vol. 1–4. 2001–2004.].

Так случилось, что Брайану повезло – у меня в Принстонском университете был коллега Эдвард Нельсон, крупный специалист в области нестандартного анализа. Я устроил им встречу, с тем чтобы Брайан мог больше узнать об этой области. Впоследствии Эд рассказывал мне, что та встреча прошла не очень хорошо. Как только Эд дал понять, что на самом деле бесконечно малые величины никто не будет называть числами Брайана, Брайан полностью потерял интерес к этой области математики.

(Мораль: люди, начинающие заниматься математикой ради славы и признания, задерживаются в науке ненадолго.)

Но мы так и не приблизились к разрешению нашего спора. Что представляет собой число 0,999… на самом деле? Это 1? Или это некое число, на бесконечно малую величину меньшее 1, – число, принадлежащее к совершенно необычному классу чисел, который даже не был открыт сотню лет назад?

Правильный ответ состоит в том, чтобы вообще не задавать такого вопроса. Что представляет собой число 0,999… на самом деле? По всей вероятности, некую сумму такого рода:

0,9 + 0,09 + 0,009 + 0,0009 + …

Но что она значит? Настоящая проблема заключается в злополучном многоточии. Не может быть никаких споров по поводу того, что значит сумма двух, трех или сотни чисел. Перед нами всего лишь математическое обозначение физического процесса, который мы прекрасно понимаем: возьмите сотню куч чего угодно, смешайте их вместе и определите, сколько и чего у вас получилось. Но бесконечно большое количество? – это совсем другая история. В реальном мире вы не можете получить бесконечно большое количество множеств. Чему равно числовое значение бесконечной суммы? Его не существует – пока мы не зададим это значение. В чем и состояла новаторская идея Огюстена Луи Коши, который в 1820-х годах ввел в математический анализ понятие предела[72 - Подобно всем математическим прорывам, теория пределов Коши имела предшественников; в частности, определение Коши было во многом созвучно с концепцией границ величины погрешности биномиального ряда Д’Аламбера. Однако нет никаких сомнений, что работа Коши представляла собой переломный момент: после него анализ стал таким, каким мы его знаем сейчас.].

Лучше всего это объясняет Годфри Гарольд Харди в книге Divergent Series («Расходящиеся ряды»), опубликованной в 1949 году:

Это замечание сейчас тривиально: современному математику и не придет в голову, что какое-либо соединение математических символов может иметь «смысл» до того, как ему придан смысл с помощью определения. Но это не было тривиальностью даже для наиболее выдающихся математиков восемнадцатого века. Определения не были в их обычае; для них не было естественно говорить: «под X мы понимаем Y». С некоторыми оговорками… верно будет сказать, что математики до Коши спрашивали не «как определить 1 ? 1 + 1 ? 1 + …?», а «что есть 1 ? 1 + 1 ? 1 + …?»; и этот склад мышления приводил их к ненужным затруднениям и спорам, зачастую носившим, по существу, чисто словесный характер[73 - Г. Г. Харди. Расходящиеся ряды / Пер. с англ. Д. А. Райкова. М.: Изд-во иностранной литературы, 1951. С. 19. Прим. ред.].

И это не просто непринужденный математический релятивизм. Тот факт, что мы можем придать какой угодно смысл той или иной последовательности математических символов, совсем не означает, что нам следует это делать. В математике, как и в жизни, есть как хороший, так и плохой выбор. В математическом контексте правильным считается выбор, позволяющий устранить ненужные затруднения, не создавая новых.