23. Теперь я, прежде всего, замечу, что итог получается правильным не потому, что отброшенная величина dy была бесконечно мала, а потому, что эта ошибка была компенсирована другой ошибкой, противоположной по своему характеру, но равной ей. Во-вторых, замечу: что бы ни было отброшено, как бы мало оно ни было, если оно было действительным и, следовательно, составляло реальную ошибку в посылках, оно вызвало бы соответственную ошибку в итоге. В силу этого ваши теоремы не могут быть непогрешимо правильными, а ваши задачи – точно решёнными, так как сами посылки неточны; в логике является правилом: conclusio sequitur partem debiliorem [заключение следует за более слабой частью]. Поэтому замечу, в-третьих: когда заключение очевидно, а посылки неясны, или, когда заключение точно, а посылки неточны, мы можем совершенно свободно заявить, что такое заключение очевидно или точно не в силу упомянутых неясных и неточных посылок или принципов, а в силу некоторых иных принципов, о которых сам автор доказательства, возможно, вообще не знал и не думал.

24. Чтобы более полно проиллюстрировать это положение, я рассмотрю его в несколько ином свете и, оперируя вплоть до самого заключения конечными величинами, буду использовать тогда только одну бесконечно малую величину. Положим, что прямая MQ пересекает кривую AT в точках R и S. Положим, что LR – касательная в точке R, AN – абсцисса, NR и OS – ординаты. Продолжим AN до пересечения с О и проведём RP параллельно NO. Положим, что AN = x, NR = y, NO = v, PS = z, поднормаль (subsecant) MN = s. Пусть уравнение y = xx выражает характеристику кривой; предположив, что у и х возрастают на конечное приращение, мы получаем:

у + z = хх + 2xv + vv

отсюда, после вычитания предыдущего уравнения, остаётся z = 2xv + vv. На основании подобия треугольников PS : PR = NR : NM, то есть z : v = y : s, следовательно s = yv/z.

подставив сюда вместо z его значение, мы получаем: s = yv/(2xv + vv) = y/(2x + v).

Если предположить, что NO уменьшено до величины бесконечно малой, поднормаль NM будет в этом случае совпадать с подкасательной NL, а v, как величина бесконечно малая, может быть отброшена, отсюда s = NL = y/2x, что и является истинным значением подкасательной. И поскольку при его получении была допущена только одна ошибка, т. е. однажды отброшена только одна бесконечно малая величина, то может показаться в противоположность тому, что говорилось ранее, будто можно пренебречь бесконечно малой величиной, или дифференциалом, отбросить его, и тем не менее итог будет истинным и точным, хотя и не была допущена двойная ошибка, т. е. не было исправления одной ошибки при помощи другой, как это имело место в первом случае. Но если тщательно рассмотреть это положение, мы обнаружим, что даже в данном случае допускается двойная ошибка и одна из них компенсирует или исправляет вторую. Ибо, во-первых, мы предполагали, что, когда NO уменьшается до бесконечно малой величины или становится бесконечно малой величиной, тогда поднормаль NM становится равной подкасательной NL. Но это очевидная ошибка, ибо совершенно ясно, что, поскольку секущая не может быть касательной, поднормаль не может быть подкасательной. Пусть разность будет очень мала, всё же она будет. А если NO – бесконечно малая величина, даже тогда будет налицо бесконечно малая разность между NM и NL. В силу этого NM или s было слишком мало для вашего допущения (когда вы допускали, что оно равно NL) и эта ошибка была компенсирована второй ошибкой, состоявшей в отбрасывании v, и в результате этой последней ошибки s стало больше, чем его истинное значение, и вместо него дало значение подкасательной. Таково истинное положение вещей в нашем случае, каким бы замаскированным он ни был. И к этому он сводится в действительности и в основе своей остаётся тем же самым, даже если мы позволим себе найти подкасательную, сначала определив с помощью уравнения кривой и подобных треугольников общее выражение для всех поднормалей, а затем подведя подкасательную под это общее правило, считая её поднормалью, когда v приближается к нулю или становится равным ему.

25. По поводу всего примера в целом я замечу, во-первых, что v вообще не может быть равным нулю, поскольку имеется секущая. Во-вторых, одна и та же прямая не может быть и касательной, и секущей. В-третьих, когда v или NO приближается к нулю, PS и SR также приближаются к нулю, а с ними и пропорциональность подобных треугольников. Следовательно, все выражение, полученное с помощью этой пропорциональности и на ней основанное, приближается к нулю, когда приближается к нулю v. В-четвертых, способ нахождения секущих или их выражения, каким бы общим он ни был, не может с точки зрения здравого смысла распространяться за пределы нахождения именно всех секущих; и поскольку он необходимо предполагает наличие подобных треугольников, то в тех случаях, когда подобных треугольников нет, его применение нельзя даже предполагать. В-пятых, поднормаль всегда будет меньше подкасательной и никогда не может с ней совпадать; допускать подобное совпадение было бы абсурдно, ибо это означало бы допускать, что одна и та же прямая в одно и то же время пересекает и не пересекает другую данную линию; это представляет собой очевидное противоречие, подрывающее гипотезу и служащее доказательством ее ложности. В-шестых, если это доказательство не будет признано, я потребую, чтобы мне назвали причину, почему не это, а какое-либо иное апагогическое доказательство, или доказательство ad absurdum, признано в геометрии, или же между моим доказательством и другими подобными доказательствами должно быть найдено какое-либо реальное различие. В-седьмых, замечу: предположить, что NO или RP, PS я SR являются конечными реальными прямыми, образующими треугольник RPS, чтобы получить пропорции при помощи подобных треугольников, а затем допустить, что таких прямых (а следовательно, и подобных треугольников) не существует, но тем не менее сохранить следствие первого предположения после того, как такое предположение уничтожено прямо противоположным, – это чистая софистика. В-восьмых, хотя в данном случае при помощи несовместимых допущений можно получить истину, тем не менее такая истина не доказана; подобный метод не соответствует правилам логики и правильного мышления; каким бы полезным он ни был, его необходимо считать только предположением, ловким приемом (knack), хитростью, скорее уловкой, но не научным доказательством.

26. Изложенная выше теория может быть далее проиллюстрирована следующим простым и легким примером, в котором я использую приближающиеся к нулю приращения. Положим, АВ=х, ВС=у, BD=o, а хх равен площади ABC; предполагается найти ординату у или ВС. Когда благодаря возрастанию х становится (x+o), тогда хх становится (хх+2хо+оо); а площадь ABC становится ADH, и приращение хх будет равно BDHC, приращению площади, т. е. (BCFD+CFH). и если мы положим, что криволинейное пространство CHF равно qoo, тогда что при делении на о дает 2x+o=y+qo. и если допустить, что о исчезает, тогда 2х=у, и в этом случае АСН будет прямой, а фигуры ABC, CFH – треугольниками. Но в отношении такого хода рассуждений было уже замечено : допускать, что о приближается к нулю, т. е. равно нулю, неправомерно и нелогично, если только мы одновременно с самим приращением не отбросим все следствия такого приращения, т. е. все то, чего нельзя получить, коль скоро не допускают такого приращения. Необходимо тем не менее признать, что задача решается правильно и вывод, к которому нас привел этот метод, правилен. Поэтому могут спросить: как же получается, что отбрасывание о не сопровождается никакими ошибками в выводе? Я отвечу: подлинная причина этого очевидна: раз q составляет единицу, qo равно о; и в силу этого

поскольку qo и о, как равные величины с противоположными знаками, взаимно уничтожаются.

27. Хотя, с одной стороны, было бы абсурдным избавляться от о, заявив: «Разрешите мне противоречить самому себе. Разрешите мне опровергнуть свое собственное предположение. Разрешите мне считать доказанным, что нет никакого приращения, хотя я сохраняю величину, которую я вообще не мог бы получить, если бы не предположил наличие приращения», с другой стороны, было бы в равной мере неправильным вообразить, что в геометрическом доказательстве нам может быть позволено допускать ошибки, какими бы незначительными они ни были, или что по самой природе вещей возможно сделать правильный вывод на основе неточных принципов. Поэтому о может быть отброшено не как бесконечно малая величина и не на том основании, что бесконечно малыми величинами можно спокойно пренебрегать, а только потому, что оно уничтожается равной величиной с отрицательным знаком, отсюда (о – qo) равно нулю. и поскольку неправомерно сокращать уравнение путем вычитания из одной его части какой-либо величины, если только она не должна быть уничтожена или если из другой части уравнения не вычитается равная ей величина, то наш способ вести рассуждение необходимо признать в качестве весьма логичного и правильного и в заключение заявить, что, если из равных величин вычесть равные величины или нули, их равенство не нарушится. и это – истинная причина того, что в конечном итоге отбрасывание о не приводит к ошибке, что, следовательно, не должно быть отнесено за счет учения о дифференциалах, бесконечно малых величинах, исчезающих величинах, [механических] моментах или флюксиях.

28. Допустим, имеется самый общий пример и хn равен площади ABC; отсюда при помощи метода флюксий найдем значение ординаты – nхn-1, которое мы примем за истинное, и рассмотрим, как оно было получено. Если мы довольствуемся тем, что придем к выводу самым общим путем, предположив, что найдено отношение флюксий х и хn, равное 1: nхn-1, и что ордината упомянутой площади считается ее флюксией, мы не увидим ясно свой путь и не поймем, как обнаруживается истина, поскольку, как мы показали ранее, этот метод неясен и нелогичен. Но если мы четко обозначим площадь и ее приращение, разделим последнее на две части BCFD и CFH и будем действовать последовательно при помощи уравнений, составленных из алгебраических и геометрических величин, тогда совершенно четко выявится внутреннее обоснование всего решения. Ибо если хn равен площади ABC, то приращение хn равно приращению площади, т. е. BDHC; другими словами

И поскольку сохраняются только первые члены из каждой части уравнения, noxn-1 = BDFC. Разделив обе части на о или BD, получим noxn-1 = ВС. В силу чего допустим, что криволинейное пространство CFH равно величине ooxn-2 и т. д., которую можно отбросить, и, когда одно отброшено из одной части, а другое – из другой, ход рассуждения становится правильным, а вывод верным. и совершенно безразлично, какое значение вы придадите BD – бесконечно малого дифференциала или большого конечного приращения. Отсюда очевидно, что предположение о том, что подлежащая отбрасыванию алгебраическая величина является бесконечно малой или исчезающей и поэтому ею можно пренебречь, должно было бы привести к ошибке, если бы противостоящие ей величины не были бы равны ей и не вычитались бы одновременно из другой части уравнения, в соответствии с аксиомой: если от равных величин отнять равные, остатки будут равны. Ибо те величины, которыми, по утверждению аналитиков, следует пренебречь, или же которые следует считать исчезающими, в действительности компенсируются другими. Поэтому, чтобы вывод был верен, абсолютно необходимо, чтобы компенсирующее пространство CFH было равно отбрасываемому приращению, выраженному через аналогичное, как я сказал бы, компенсирующее конечное выражение.

29. Следовательно, какова бы ни была степень, с какой бы то ни было стороной возникнет алгебраическое выражение, а с другой – геометрическая величина, каждая из которых естественным образом подразделяется на три члена. Алгебраическое, или флюксионное, выражение – на такое, которое не включает ни выражения приращения абсциссы, ни какой-либо её степени; другое, которое включает выражение самого приращения; и третье, включающее выражение степеней приращения. Геометрическая величина, или вся увеличенная площадь, также состоит из трёх частей, или членов, – первый из которых есть данная площадь; второй – прямоугольник под ординатой и приращением абсциссы; и третий – криволинейное пространство. И, сравнивая однородные или соответственные члены с обеих сторон, мы находим, что, как первый член выражения является выражением данной площади, так второй член выражения будет выражать прямоугольник, или второй член геометрической величины, а третий, содержащий степени приращения, будет выражать криволинейное пространство, или третий член геометрической величины. Это указание, быть может, может быть далее распространено и с пользою применено теми, у кого есть досуг и любопытство для подобных предметов. Польза, которую я из него извлекаю, состоит в том, чтобы показать, что анализ справедлив не только для приращений или разностей, но он должен быть справедлив и для конечных величин, сколь бы велики они ни были, как было замечено ранее.

30. Таким образом, по-видимому, в целом можно с уверенностью утверждать, что заключение не может быть верным, если для его достижения какая-либо величина обращается в ничто, или ею пренебрегают, – за исключением того, что либо одна ошибка исправляется другой; либо, во-вторых, на одной и той же стороне уравнения равные величины уничтожаются противоположными знаками, так что величина, которую мы намерены отбросить, сначала аннулируется; или, наконец, что из противоположных сторон вычитаются равные величины. И потому избавляться от величин посредством принятых принципов флюксий или разностей не есть ни хорошая геометрия, ни хорошая логика. Когда приращения исчезают, скорости также исчезают. Говорят, что скорости, или флюксии, являются первоначальными и конечными, как приращения зарождающимися и исчезающими. Возьмите, следовательно, отношение исчезающих величин, оно то же самое, что и отношение флюксий. Оно, следовательно, будет служить всем намерениям столь же хорошо. Для чего же тогда вводятся флюксии? Не для того ли, чтобы избегнуть или, вернее, замаскировать использование бесконечно малых величин? Но у нас нет понятия, посредством которого можно было бы постигать и измерять различные степени скорости, кроме пространства и времени; или, когда времена заданы, кроме одного лишь пространства. У нас даже нет понятия о скорости, отвлечённой от времени и пространства. Когда, следовательно, предполагается, что точка движется в заданные времена, у нас нет понятия о больших или меньших скоростях, или о пропорциях между скоростями, но лишь о более длинных или коротких линиях и о пропорциях между такими линиями, порождёнными в равные части времени.

31. Точка может быть пределом линии: линия может быть пределом поверхности: момент может ограничивать время. Но как мы можем постигать скорость с помощью таких пределов? Она по необходимости подразумевает и время, и пространство и не может быть постигнута без них. И если скорости зарождающихся и исчезающих величин, то есть отвлечённые от времени и пространства, не могут быть постигнуты, как же мы можем постигать и демонстрировать их пропорции; или рассматривать их первоначальные и конечные отношения? Ибо рассматривать пропорцию, или отношение, вещей подразумевает, что такие вещи имеют величину; что эти их величины могут быть измерены и их отношения друг к другу известны. Но, поскольку нет меры скорости, кроме времени и пространства, а пропорция скоростей составляется лишь из прямой пропорции пространств и обратной пропорции времён; не следует ли из этого, что рассуждать об исследовании, получении и рассмотрении пропорций скоростей, исключая время и пространство, – значит рассуждать непонятно?

32. Но вы скажете, что в использовании и применении флюксий люди не перенапрягают свои способности для точного восприятия вышеупомянутых скоростей, приращений, бесконечно малых или каких-либо других подобных идей столь тонкой, утончённой и исчезающей природы. И потому вы, быть может, будете утверждать, что проблемы могут быть решены без этих непостижимых предположений; и что, следовательно, учение о флюксиях, что касается практической части, свободно от всех подобных трудностей. Я отвечаю, что если при использовании или применении этого метода этим трудным и тёмным пунктам не уделяется внимание, они тем не менее предполагаются. Они – основания, на которых современники строят принципы, на которых они продвигаются в решении проблем и открытии теорем. С методом флюксий дело обстоит так же, как и со всеми другими методами, которые предполагают свои соответствующие принципы и на них обоснованы; хотя правила могут применяться на практике людьми, которые ни не уделяют внимания, ни, быть может, не знают принципов. Подобным же образом, следовательно, как моряк может практически применять определённые правила, выведенные из астрономии и геометрии, принципы которых он не понимает; и как любой обычный человек может решать различные численные задачи с помощью общеупотребительных правил и операций арифметики, которые он выполняет и применяет, не зная их оснований: даже так нельзя отрицать, что вы можете применять правила флюксионного метода: вы можете сравнивать и сводить частные случаи к общим формам: вы можете действовать и вычислять и решать проблемы посредством него, не только без фактического внимания к основаниям того метода и принципам, от которых он зависит и из которых выведен, или фактического знания их, но даже без того, чтобы когда-либо рассматривать или постигать их.

33. Но тогда должно помниться, что в таком случае, хотя вы и можете сойти за искусника, вычислителя или аналитика, вы, однако, не можете по справедливости считаться человеком науки и доказательства. И ни один человек, в силу своей осведомлённости в таких тёмных аналитических приёмах, не должен воображать, что его рациональные способности более развиты, чем те способности других людей, которые упражнялись иным образом и на иных предметах; тем более возводить себя в судьи и оракула относительно вопросов, которые не имеют никакой связи с или зависимости от тех видов, символов или знаков, в управлении которыми он столь осведомлён и искусен. Как вы, будучи искусным вычислителем или аналитиком, не можете, поэтому, считаться искусным в анатомии; или, наоборот, как человек, который может искусно препарировать, может, тем не менее, быть несведущим в вашем искусстве вычисления: даже так вы оба, несмотря на ваше особое умение в ваших соответствующих искусствах, можете быть в равной степени неквалифицированны, чтобы выносить решения по вопросам логики, или метафизики, или этики, или религии. И это было бы верно, даже допуская, что вы понимаете ваши собственные принципы и можете их демонстрировать.

34. Если скажут, что флюксии можно объяснить или выразить при помощи отрезков прямых, им пропорциональных; что поскольку эти отрезки можно отчетливо воспринять, познать и на них можно основываться, то их можно подставить вместо флюксий, а их отношения, или пропорции, рассматривать как пропорции флюксий; что благодаря такому приему теория флюксий становится ясной и полезной, – на это я отвечу: для того чтобы получить эти конечные прямые, пропорциональные флюксиям, необходимо предпринять определенные неясные шаги, которые представить себе невозможно; и пусть эти конечные прямые сами по себе воспринимаются очень ясно, тем не менее необходимо признать, что ход ваших рассуждений не ясен, а ваш метод не научен. Например, положим, что АВ – абсцисса, ВС – ордината, a VCH – касательная к кривой АС; Вb или СЕ – приращение абсциссы, Еc – приращение ординаты, которая, будучи продолжена, пересекает VH в точке Т, а Сс – приращение кривой. Если прямую Сс продолжить до К, образуется три небольших треугольника – прямолинейный СЕс, треугольник со смешанными прямо- и криволинейными сторонами СЕс и прямолинейный треугольник СЕТ. Очевидно, что эти три треугольника отличаются друг от друга: прямолинейный треугольпик СЕс меньше треугольника СЕс со смешанными прямо- и криволинейными сторонами, которые представляют собой три вышеупомянутых приращения; в свою очередь последний меньше треугольника СЕТ. Допустим, что ордината bc перемещается на место ВС, так что точка с совпадает с точкой С, а прямая СК и, следовательно, кривая Сс совпадает с касательной СН. В таком случае треугольник СЕс со смешанными криво- и прямолинейными сторонами, приближающийся к исчезновению, в своей последней форме будет подобен треугольнику СЕТ, а его приближающиеся к нулю стороны СЕ, Еc, Сс будут пропорциональны СЕ, ЕТ, СТ – сторонам треугольника СЕТ. и в силу этого делается вывод, что флюксии отрезков АВ, ВС и АС, входящие в последнее отношение их исчезающих приращений, пропорциональны сторонам треугольника СЕТ, или, что одно и то же, сторонам треугольника VBC, ему подобного . Великий автор данного анализа специально замечает и особенно настаивает на том, что точки С и с не должны отстоять друг от друга ни на какой самый малейший интервал, но что для нахождения окончательных пропорций отрезков СЕ, Еc и Сс (т. е. отношения флюксий или скоростей), выраженных конечными сторонами треугольника VBC, точки Сиc должны точно совпадать друг с другом, т. е. быть одной и той же точкой. Следовательно, точка рассматривается как треугольник или же допускается, что в точке образуется треугольник. Понять это представляется совершенно невозможным. Однако находятся люди, которые недовольно морщатся, сталкиваясь с какими-либо непостижимыми тайнами у всех других, в то же время не видят ничего трудного в таких же непостижимостях у себя самих, которые подавятся комаром, но проглотят верблюда.

35. Я не знаю, стоит ли особо отметить, что, может быть, некоторые надеются оперировать символами и допущениями, дабы избежать применения флюксий, [механических] моментов и бесконечно малых величин, действуя с помощью следующею метода. Пусть х – абсцисса кривой, а z – еще одна абсцисса той же самой кривой. Положим так/не, что соответствующие площади равны ххх и zzz, что (z – х) – приращение абсциссы, a (zzz – — ххх) – приращение площади, не обращая внимания на то, насколько велики или малы пи приращения. Разделим теперь (zzz – ххх) на (z – х) и получим частое (zz+zx+-хх); если допустим, что z х, тогда это же самое частное будет равно 3 хх, что в каком случае и будет значением ординаты; таким образом, последнее можно найти независимо от флюксий и бесконечно малых величин. Но здесь прямая подтасовка: ибо, во-первых, мы полагаем, что абсциссы x и z не равны между собой, и без такого предположения нельзя было бы сделать ни одного шага; а во-вторых, мы допускаем, что те же абсциссы равны, а это явная непоследовательность, и это равнозначно тому, что уже рассматривалось ранее. И, действительно, есть основания опасаться, что все попытки поставить эту трудную для понимания и точную геометрию на верный фундамент и избежать теории скоростей, механических моментов и т. п. окажутся бесплодными до тех пор, пока предмет и цель геометрии не будут поняты лучше, чем, как представляется, понимали до сих пор. Великий автор метода флюксий чувствовал эту трудность и поэтому пустился во все эти изящные (nice) абстракции и геометрическую метафизику, без которых, как он понимал, ничего нельзя сделать на основе общепринятых принципов, и читатель сам может судить, что у него из всею этого получилось в смысле доказательства. Правда, надо признать, что он использовал флюксии, подобно лесам при строительстве здания, которые нужно было отбросить в сторону или от которых нужно было избавиться, когда уже было найдено, что конечные линии пропорциональны эгим флюксиям. Но ведь эти конечные показатели определяются с помощью флюксий. Поэтому все, что получается с помощью таких показателей и пропорций, необходимо отнести за счет флюксий, которые, следовательно, предварительно надо понять. А что такое эти флюксии? Скорости исчезающих приращений. А что такое эти самые исчезающие приращения? Они не есть ни конечные величины, ни величины бесконечно малые, но они и не нули. Разве мы не имеем права назвать их призраками исчезнувших величин?

36. Люди слишком часто внушают самим себе и другим, будто они представили себе и поняли явления, выраженные при помощи знаков, тогда как в действительности они не имеют о них ни малейшего представления, а понимают только сами знаки. и есть основания опасаться, что именно так обстоит дело в данном случае. Скорости исчезающих или же зарождающихся величин могут выражаться

как конечными отрезками определенной величины, так и алгебраическими символами, но я подозреваю, что многие, кто, вероятно, никогда не рассматривал этого положения и считает его само собой разумеющимся, при тщательном его изучении обнаружили бы, что не в состоянии составить какое-либо представление или какое-либо понятие об этих скоростях, вне выражения их такими конечными величинами и знаками.

Положим, прямая КР образуется при движении с постоянным ускорением какой-либо точки и за равные отрезки времени образуются неравные отрезки прямой KL, LM, MN, NO и т. д. [16] Положим также, что а, b, с, d, e и т. д. обозначают скорости точки, образующей прямую, в разные периоды частей или приращений, получаемых таким образом. Легко заметить, что каждое из этих приращений пропорционально сумме скоростей, которыми оно образуется; что, следовательно, полученные несколько сумм скоростей, образованных за равные отрезки времени, могут быть изображены соответственно отрезками KL, LM, MN и т. д., образованными за те же промежутки времени. В равной мере легко сказать, что последняя скорость, образованная за первую частицу времени, может быть выражена символом а, последняя за вторую – b, последняя, образованная за третью, – с и т. д.; что а – скорость LM в statu nascendi, а b, с, d, е и т. д. – скорости приращений MN, NO, OP и т. д. в соответствующих состояниях их зарождения. Можно пойти дальше и считать сами эти скорости текущими (flowing) или возрастающими величинами, взяв скорости скоростей и скорости скоростей скоростей, т. е. первые, вторые, третьи и т. д. скорости ad infinitum; этот последовательный ряд скоростей может быть выражен следующим образом:

<<1 2 3 4 5...9 >>

На страницу:

Перейти

3 из 9