Можно назвать их первыми, вторыми, третьими, четвертыми флюксиями. А с целью более удобного выражения можно обозначить переменную текущую прямую KL, KM, KN и т. д. буквой х, а первые флюксиивторые – третьи – и т. д. ad infinitum.

37. Нет ничего легче, как указать названия, символы или выражения для этих флюксий, не трудно также высчитывать и производить действия с помощью таких знаков. Но гораздо более трудным оказывается опустить эти знаки и тем не менее сохранить в наших умах то, что, по нашему предположению, они означают. Рассматривать показатели, будь то геометрические, алгебраические или флюксионные, не трудно. Но, например, составить точное представление о скорости третьего порядка, самой по себе и при помощи ее самой, – Hoc opus, hic labor [17]. Нелегко также составить ясное и четкое представление вообще о любой скорости вне связи со всякой протяженностью во времени и пространстве и в отрыве от нее, а также от всех обозначений, знаков и символов; если же мне позволят судить о других по себе, это просто невозможно. Мне представляется очевидным, что измерения и знаки абсолютно необходимы для того, чтобы понять скорости и рассуждать о них, и что, следовательно, когда мы хотим представить себе скорости просто и сами по себе, нас вводят в заблуждение пустые абстракции.

38. Может быть, некоторые люди вообразят, что было бы легче понимать флюксии, если предположить, что они являются скоростями, с помощью которых образуются бесконечно малые приращения, так что первые флюксии будут скоростями первых приращений, вторые флюксии будут скоростями вторых приращений, третьи флюксии – скоростями третьих приращений и т. д. ad infinitum. Но, не говоря уже о непреодолимой трудности признания или понимания бесконечно малых величин и бесконечно малых взятых от бесконечно малых величин и т. д., ясно, что такое понятие о флюксиях не будет соответствовать точке зрения великого автора, который полагал, что нельзя пренебрегать ни наималейшей величиной, что, в силу этого, теория бесконечно малых приращений не может быть допущена в геометрии, и который совершенно очевидно ввел использование скоростей или флюксий с целью исключить бесконечно малые или же обойтись без них.

39. Позможио, некоторым другим покажется, что у нас будет более правильное представление о флюксиях, если мы допустим конечные неравные изохронные приращения KL, LM, АГХ и т. д. и будем считать и их, и их приращения – в statu nasendli, а также и зарождающиеся приращения тех приращений и т. д., полагая, что первые зарождающиеся приращения пропорциональны первым флюксиям или скоростям, зарождающиеся приращения этих приращений пропорциональны вторым флюксиям, третьи зарождающиеся приращения пропорциональны третьим флюксиям и т. д. А так как первые флюксии являются скоростями первых зарождающихся приращений, то вторые флюксии можно скорее считать скоростями вторых зарождающихся приращений, а не скоростями скоростей. Может показаться, что благодаря такому приему аналогия флюксий может быть лучше сохранена, а само понятие сделано более вразумительным.

40. И, действительно, должно бы казаться, что для получения второй или третьей флюксии уравнения данные флюксии рассматривались скорее не как скорости, а как приращения. Однако представляется, что рассмотрение их иногда в одном смысле, а иногда в другом, то в их собственном виде, то в виде их показателей, в значительной мере вызвало ту путаницу и неясность, которую мы обнаруживаем в теории флюксий. Поэтому может показаться, что это понятие еще можно как-то улучшить и что вместо флюксий флюксий или флюксий флюксий флюксий и вместо вторых, третьих, четвертых и т. д. флюксий данной величины было бы более последовательно и менее вызывало бы возражения, если говорить: флюксия первого зарождающегося приращения, т. е. вторая флюксия; флюксия второго зарождающегося приращения, т. е. третья флюксия; флюксия третьего зарождающегося приращения, т. е. четвертая флюксия, причем имеется в виду, что каждая из этих флюксий соответственно пропорциональна зарождающемуся началу приращения, следующего за тем, флюксией которого она является.

41. Для более четкого понимания всего этого можно принять во внимание, что если конечное приращение LM разделить на изохронные части Lm, mn, по, оМ, а приращение MN – на части Мр, pq, qr, rN, изохронные предыдущим, то, так как приращения LM, MN пропорциональны суммам их образующих скоростей, соответствующие им части Lm, Мр также пропорциональны соответствующим увеличенным скоростям, которые их образуют. А так как скорость, с которой образуется Мр, превышает ту, с которой была образована Lm, то и часть Мр больше части Lm. и вообще, раз изохронные скорости, образующие отрезки MN, превышают изохронные скорости, образующие отрезки LM, то и отрезки первой больше соответствующих им отрезков второй. и это будет справедливо, какими бы малыми ни были упомянутые отрезки. Следовательно, если LM и MN обе взяты в их зарождающемся состоянии, MN будет больше LM, притом на величину, пропорциональную превышению скорости b над скоростью а. Отсюда мы можем видеть, что в конечном итоге это последнее объяснение флюксий приводит к тому же, что и первое .

42. Но независимо от всего сказанного надо все же признать, что конечные части Lm или Мр, даже если их взять совсем малыми, пропорциональны не скоростям а и Ь, а каждая – ряду скоростей, меняющихся каждое мгновение, или, что одно и то же, всевозрастающей скорости, с помощью которой эта часть образуется в течение определенной мельчайшей частицы времени; что только зарождающиеся начала или исчезающие окончания конечных величин, которые образуются в мгновение или в течение бесконечно малых отрезков времени, пропорциональны данным скоростям; что, следовательно, для того чтобы представить себе первые флюксии, мы должны представить себе время, разделенное на мгновения, приращения, образованные в течение этих мгновений, и скорости, пропорциональные этим приращениям; для того чтобы представить себе вторые и третьи флюксии, мы должны допустить, что зарождающиеся начала или мгновенные приращения сами имеют также другие мгновенные приращения, пропорциональные соответствующим образующим их скоростям; что скорости этих вторых мгновенных приращений являются вторыми флюксиями, а скорости их зарождающихся мгновенных приращений – третьими флюксиями. и т. д. ad infinitum.

43. Вычтя приращение, образованное за первое мгновение, из приращения, образованного в течение второго мгновения, мы получим приращение приращения. А вычтя скорость, образующую отрезок прямой в первое мгновение, из скорости, образующей отрезок прямой во второе мгновение, получим флюксию флюксии. Подобным же образом, вычтя разность скоростей, образующих отрезок прямой в первые два мгновения, из превышения скорости в третье мгновение над скоростью во второе мгновение, получим третью флюксию. И, действуя аналогичным образом, мы можем перейти к четвертой, пятой, шестой и т. д. флюксиям. А если мы обозначим скорости первого, второго, третьего, четвертого мгновений а, b, с, d, то ряд флюксий будет такой же, какой приводился выше: а.b – а.с – 2b+a.d – 3с+3b – a, ad infinitum, т. е. ad infinitum.

44. Таким образом, флюксии можно рассматривать в разном свете и в различных видах, но, представляется, все они в равной мере трудны для понимания. И, действительно, раз невозможно представить себе скорость без пространства и времени, без конечного значения длины и продолжительности , то понять даже первые флюксии, должно быть, выше человеческих возможностей. А если первые непостижимы, то что же мы должны сказать в отношении вторых, третьих и т. д. флюксий? Возможно, тот, кто в состоянии представить себе начало начала или конец конца несколько раньше первого или позже второго, будет достаточно проницателен, чтобы понять эти вещи. Но я полагаю, что большинство людей считает невозможным понять их в каком бы то ни было смысле.

45. Можно было бы подумать, что люди должны выражаться как можно точнее о столь тонком предмете. И тем не менее, как уже отмечалось, мы часто наблюдаем, что показатели флюксий или символы, их обозначающие, ошибочно принимаются за сами флюксии. Разве не так происходит, когда сразу после объявления флюксий флюент скоростями их возрастания, а вторых флюксий – изменениями этих первых скоростей, нам говорят, что ряд `x, ẋ, ẍ, ⃛x…` представляет собой последовательность величин, где каждая последующая является флюксией предыдущей, а каждая предыдущая – флюентой для следующей?

46. Нетрудно вообразить различные ряды величин и выражений – геометрических и алгебраических, в виде линий, поверхностей, образов, – которые можно продолжать бесконечно. Но гораздо сложнее представить себе ряд, состоящий лишь из одних скоростей или лишь из одних зарождающихся приращений, взятых отдельно от соответствующих им величин. Возможно, кому-то пришло бы в голову, что автор имел в виду ряд ординат, где каждая ордината была флюксией предыдущей и флюентой последующей; то есть что флюксия одной ординаты сама была ординатой другой кривой, флюксия этой последней – ординатой третьей кривой и так далее до бесконечности. Но кто способен представить, как флюксия (будь то скорость или нарождающееся приращение) ординаты может сама быть ординатой? Или, более того, – что каждая предыдущая величина (флюента) относится к последующей (флюксии) как площадь криволинейной фигуры к своей ординате, в связи с чем автор замечает, что каждая величина в таком ряду является площадью фигуры с абсциссой `z` и ординатой, равной следующей величине?

47. В целом создаётся впечатление, что скорости исключены из рассмотрения и заменены площадями и ординатами. Но сколь бы целесообразны ни были такие аналогии или выражения для облегчения современных методов квадратур, они всё же не проливают свет на изначальную природу флюксий и не позволяют сформировать о них ясное представление, если рассматривать их самих по себе. Конечная цель автора здесь вполне ясна, но его принципы остаются туманными. Впрочем, его последователи, возможно, не слишком углубляются в анализ теорий великого автора. Как уже отмечалось, они более склонны применять его идеи на практике, нежели вникать в их суть. Их больше интересует использование правил и формул, чем понимание принципов и замысла автора. Тем не менее, несомненно, что для следования его методам в квадратурах они должны уметь находить флюэнты по флюксиям; а для этого – находить флюксии по флюэнтам; а для этого, в свою очередь, необходимо прежде всего понимать, что такое флюксии. В противном случае их действия лишены ясности и научного основания. Таким образом, прямой метод предшествует обратному, и знание принципов предполагается в обоих случаях. Но оперирование правилами и общими формулами, первоосновы которых не поняты, следует считать не более чем техническим навыком. Следовательно, какими бы глубокими и метафизическими ни были эти принципы, они должны быть изучены всяким, кто желает постичь учение о флюксиях. И ни один геометр не вправе применять правила великого автора, не поразмыслив предварительно над теми метафизическими идеями, из которых они выведены. Эти идеи, сколь бы ни были они необходимы для обретения подлинного знания (которое невозможно без точного, ясного и строгого понимания принципов), тем не менее, зачастую легкомысленно игнорируются; в то время как всё внимание сосредотачивается на выражениях, которыми оперируют с большим искусством, извлекая из них другие выражения методами, которые, если рассматривать их сами по себе, являются, мягко говоря, сомнительными и непрямыми – как бы они ни были рекомендованы Индукцией и Авторитетом, двумя мотивами, достаточными для порождения разумной веры и моральной убеждённости, но не более того.

48. Вы, возможно, попытаетесь уклониться от силы этих доводов под предлогом, что все эти возражения и замечания являются «метафизическими». Но это тщётная уловка. Что касается простого смысла и истинности сказанного, я апеллирую к пониманию всякого непредвзятого и разумного читателя. К нему же я взываю и для того, чтобы решить, являются ли отмеченные моменты самой что ни на есть непостижимой метафизикой. И замечу, что это метафизика не моя, а ваша собственная. Я не хочу, чтобы меня поняли так, будто я считаю ваши идеи ложными или тщетными лишь потому, что они метафизичны. Ничто не является истинным или ложным по этой причине. Мало помогает и то, называется ли некий пункт метафизическим или нет. Вопрос в том, ясен он или туманен, правилен или ошибочен, хорошо или плохо обоснован?

49. Хотя мгновенные приращения, нарождающиеся и исчезающие величины, флюксии и бесконечно малые всех порядков суть на деле столь призрачные сущности, столь трудные для отчётливого представления или постижения, что (мягко говоря) они не могут быть допущены в качестве принципов ясной и строгой науки; и хотя одна эта туманность и непостижимость вашей метафизики сама по себе достаточна, чтобы ослабить ваши притязания на очевидность; тем не менее, если я не ошибаюсь, было также показано, что ваши умозаключения не более справедливы, чем ваши концепции ясны, и что ваша логика так же уязвима, как и ваша метафизика. Таким образом, по всей видимости, в целом ваши выводы не достигаются путём правильного рассуждения от ясных принципов: следовательно, деятельность современных аналитиков, сколь бы полезна она ни была, не приучает ум ясно мыслить и справедливо рассуждать; и, значит, вы не имеете права в силу таких занятий поучать других за пределами вашей собственной сферы, где ваше суждение должно значить не более, чем суждение любого другого человека [[1]].

___________

[[1] Неэффективность современного математического анализа как упражнения для ума и, как следствие, односторонность формируемой им культуры – общее место в педагогической и философской критике. Узкие специалисты-математики доводят до атрофии способности, необходимые для решения конечных проблем конкретной реальности. Беркли осуждает одновременно и метафизическую непоследовательность, и математическую необоснованность некоторых вольнодумцев от математики.]

50. Уже долгое время я подозревал, что эти современные аналитические методы не являются подлинно научными, и высказывал некоторые намёки на этот счёт около двадцати пяти лет назад. С тех пор я был отвлечён другими занятиями и полагал, что могу употребить своё время лучше, чем на выведение и систематизацию мыслей по столь тонкому предмету. И хотя недавно от меня потребовали подтвердить мои предположения, тем не менее, поскольку лицо, бросившее этот вызов, не кажется способным понять ни ту метафизику, которую оно хочет опровергнуть, ни ту математику, которую желает защищать, я должен был бы избавить себя от труда писать для его вразумления. И я не стал бы утруждать теперь ни вас, ни себя этим обращением после столь долгого перерыва, если бы не желание предотвратить, насколько это в моих силах, ваше навязывание ложных идей самим себе и другим в вопросах гораздо более высокого значения и важности. И для того чтобы вы могли яснее постичь силу и замысел предыдущих замечаний и продолжить их самостоятельно в своих размышлениях, я присовокуплю следующие Вопросы:

Вопрос 1. Не являются ли объектом геометрии пропорции определяемых протяжений? И есть ли какая-либо необходимость рассматривать величины либо бесконечно большие, либо бесконечно малые?

Вопрос 2. Не заключается ли цель геометрии в измерении определяемых конечных протяжений? И не этот ли практический взгляд первоначально побудил людей к изучению геометрии?

Вопрос 3. Не породило ли смешение объекта и цели геометрии излишние трудности и ошибочные направления исследований в этой науке?

Вопрос 4. Можно ли правомерно сказать, что люди действуют научным методом, не отчётливо понимая объект, с которым они имеют дело, поставленную цель и метод, которым она достигается?

Вопрос 5. Не достаточно ли того, что всякое определяемое число частей может содержаться в некоторой определяемой величине? И не является ли излишним, равно как и абсурдным, предположение, что конечное протяжение бесконечно делимо?

__________________

[1 См. «Принципы человеческого знания», разделы 123—134, с которыми, равно как и с рассуждениями в том же трактате и в «De Motu» против абсолютного пространства, времени и движения и об устранении бесконечности, можно сравнить следующие Вопросы; также «Опыт о зрении», разделы 121—126; 149—160. Самые ранние публикации Беркли (в 1707 году) являются математическими.]

– — – — —

Вопрос 6. Не следует ли рассматривать диаграммы в геометрическом доказательстве как знаки всех возможных конечных фигур, всех чувственно воспринимаемых и вообразимых протяжений или величин того же рода?

Вопрос 7. Возможно ли освободить геометрию от непреодолимых трудностей и абсурдностей, до тех пор пока её истинным объектом предполагается либо абстрактная общая идея протяжения, либо абсолютное внешнее протяжение?

Вопрос 8. Не являются ли понятия абсолютного времени, абсолютного места и абсолютного движения наиболее отвлечённо метафизическими? Возможно ли для нас измерять, вычислять или познавать их?

Вопрос 9. Не вступают ли математики в споры и парадоксы относительно того, что они ни постигают, ни могут постичь? И не является ли учение [о силах] достаточным тому доказательством [1]?

Вопрос 10. Не достаточно ли в геометрии рассматривать определяемые конечные величины, не заботясь о бесконечности? И не правильнее ли было бы измерять большие многоугольники с конечными сторонами вместо кривых, чем предполагать, что кривые суть многоугольники с бесконечно малыми сторонами – предположение ни истинное, ни постижимое?

Вопрос 11. Не относятся ли многие положения, на которые не readily дают согласие, к числу тем не менее истинных? И не могут ли таковыми быть положения двух следующих вопросов?

Вопрос 12. Возможно ли, чтобы у нас была идея или понятие о протяжении прежде движения? Или, если бы человек никогда не воспринимал движения, узнал бы или представил бы он ever, что одна вещь удалена от другой [2]?

_________

[1. [См. латинский трактат «De Motu», опубликованный в Лондоне в 1721 году.] – Автор.]

[2 Сравните «Опыт о зрении» с этими двумя содержательными Вопросами, касающимися отношения данного в чувственном восприятии движения к тройному протяжению.]

– — – — – —

Вопрос 13. Имеет ли геометрическая величина сосуществующие части? И не находится ли всякая величина в потоке, так же как время и движение?

Вопрос 14. Может ли протяжение предполагаться атрибутом Существа неизменного и вечного?

Вопрос 15. Не показало бы это известного фанатизма со стороны математиков, если бы они отказались исследовать принципы и распутывать методы, используемые в математике?

Вопрос 16. Не бытуют ли среди аналитиков некоторые максимы, которые шокируют здравый смысл? И не относится ли к их числу обычное допущение, что конечная величина, делённая на ничто, бесконечна?

Вопрос 17. Не является ли главной причиной предположения о бесконечной делимости конечного протяжения, и всех последующих трудностей и абсурдностей, рассмотрение геометрических диаграмм абсолютно или самих по себе, а не как представителей всех определяемых величин или фигур того же рода?

Вопрос 18. Не следует ли из того, что геометрические предложения являются общими, и линии на диаграммах, следовательно, суть общие заместители или представители, что мы не можем ограничивать или рассматривать число частей, на которые делимы такие частные линии?

Вопрос 19. Когда говорится или подразумевается, что некая определённая линия, изображённая на бумаге, содержит более любого определяемого числа частей, не должно ли в действительности понимать под этим более того, что она является знаком, безразлично представляющим все конечные линии, сколь бы велики они ни были. В которой относительной способности она содержит, т.е. обозначает более любого определяемого числа частей? И не является ли в целом абсурдным предположение, что конечная линия, рассматриваемая сама по себе или в своей собственной положительной природе, должна содержать бесконечное число частей?

Вопрос 20. Не предполагают ли и не подразумевают ли все аргументы в пользу бесконечной делимости конечного протяжения, что объектом геометрии являются либо общие абстрактные идеи, либо абсолютное внешнее протяжение? И, следовательно, не прекращаются ли и не исчезают ли такие аргументы вместе с этими предположениями?

Вопрос 21. Не стала ли предполагаемая бесконечная делимость конечного протяжения западнёй для математиков и тернием в боку их? И не являются ли величина, бесконечно уменьшенная, и величина, бесконечно малая, одним и тем же?

Вопрос 22. Необходимо ли рассматривать скорости нарождающихся или исчезающих величин, или моменты, или бесконечно малые? И не является ли введение столь непостижимых вещей упрёком математике?

Вопрос 23. Могут ли противоречия быть истинами? Допустимы ли точки, неприемлемые и абсурдные, в каких-либо предметах или в какой-либо науке? И должно ли позволять использование бесконечностей в качестве достаточного предлога и оправдания для допущения таких точек в геометрии?

Вопрос 24. Не говорится ли правомерно, что величина известна, когда мы знаем её пропорцию к данным величинам? И может ли эта пропорция быть известна иначе, как через выражения или показатели, будь то геометрические, алгебраические или арифметические? И могут ли выражения в линиях или в виде [алгебраических] символов быть полезными далее лишь поскольку они сводимы к числам?

Вопрос 25. Не является ли отыскание правильных выражений или обозначений количества самой общей характеристикой и направленностью математики? А арифметические операции – тем, что ограничивает и определяет их употребление?

Вопрос 26. Достаточно ли математики рассмотрели аналогию и употребление знаков? И насколько специфическая ограниченная природа вещей соответствует им?

Вопрос 27. Не потому ли, что, формулируя общий случай чистой алгебры, мы в полной мере вольны позволить знаку обозначать либо положительную, либо отрицательную величину, либо ничто вообще, мы можем, следовательно, в геометрическом случае, ограниченном гипотезами и рассуждениями о частных свойствах и отношениях фигур, требовать той же вольности?

Вопрос 28. Не является ли подмена гипотезы, или (как мы можем её назвать) fallacia suppositionis, софизмом, который повсеместно заражает современные рассуждения, как в механической философии, так и в запутанной и утончённой геометрии?

Вопрос 29. Можем ли мы сформировать идею или понятие скорости, отличное от и исключающее её меру, подобно тому как мы можем [сформировать идею] тепла, отличную от и исключающую градусы на термометре, которым оно измеряется? И не предполагается ли это в рассуждениях современных аналитиков?

Вопрос 30. Можно ли представить себе движение в точке пространства? И если движение нельзя, то можно ли представить себе скорость? А если нет, то можно ли представить себе первую или последнюю скорость в пределе лишь, будь то начальном или конечном, описанного пространства?

Вопрос 31. Где нет приращений, может ли быть какое-либо отношение приращений? Могут ли ничто рассматриваться как пропорциональные реальным величинам? Или не является ли разговор об их пропорциях бессмыслицей? Также, в каком смысле мы должны понимать пропорцию поверхности к линии, площади к ординате? И могут ли [алгебраические] символы или числа, хотя и правильно выражающие величины, которые не являются однородными, тем не менее, считаться выражающими их пропорцию друг к другу?

Вопрос 32. Если все определяемые круги могут быть квадратированы, не является ли круг, для всех намерений и целей, квадратированным так же, как и парабола? Или может ли параболическая площадь фактически быть измерена более точно, чем круговая?

Вопрос 33. Не было ли бы правильнее честно приближаться [к решению], чем стремиться к точности посредством софизмов?

Вопрос 34. Не было бы более приличествующим действовать путём проб и индукций, чем притворяться, что доказываешь ложными принципами?

Вопрос 35. Нет ли пути к достижению истины, хотя принципы и не научны, и рассуждение не справедливо? И следует ли называть такой путь сноровкой или наукой?

Вопрос 36. Может ли быть наука о заключении, где нет науки о принципах? И может ли человек иметь науку о принципах, не понимая их? И, следовательно, действуют ли математики нынешнего века как люди науки, прилагая столь больше усилий к применению своих принципов, чем к их пониманию?

Вопрос 37. Не может ли величайший гений, борющийся с ложными принципами, потерпеть поражение? И могут ли быть получены точные квадратуры без новых постулатов или допущений? И если нет, не следует ли предпочесть те из них, которые понятны и последовательны, противоположным? См. разделы 28 и 29.

Вопрос 38. Являются ли утомительные вычисления в алгебре и методе флюксий наиболее вероятным методом для совершенствования ума? И не приводит ли привычка людей рассуждать исключительно о математических знаках и фигурах к тому, что они оказываются в затруднении, как рассуждать без них?

<<1 2 3 4 5 6...9 >>

На страницу:

Перейти

4 из 9