Диверсификация инвестиционного портфеля. Теория Марковица-Шарпа

В инвестициях существуют разного рода риски. Теория Марковица, это не какая-то универсальная теория, которая рассматривает все риски, какие только бывают. В портфельной теории Марковица рассматриваются только риски, связанные с волатильностью доходности инвестиционного актива (см. ранее раздел 1.1.1.). Чем выше волатильность доходности инвестиционного актива, тем выше у него риск получения убытков. И, наоборот, чем ниже волатильность доходности актива, тем инвестиции в этот актив более надежные.

Гарри Марковиц заметил, что если купить не один, а несколько активов, то их риски, понимаемые именно, как волатильность доходности, в общем случае, складываются нелинейно. И результат общего риска зависит от взаимной корреляции доходности этих активов.

Здесь уже не обойтись без небольшого введения в математику.

1.2.1. Количественные показатели

Доходностью в теории Марковица считается возврат на инвестицию:

Допустим, инвестор купил актив стоимостью P

, а вернул себе (например, продал этот актив) стоимость P

. Значит, инвестор заработал разницу P

– P

. Эту разницу надо разделить на сумму вложений, то есть на стоимость актива P

, по которой он приобрел этот актив. Эта формула и выражает определение понятия доходности инвестиции (возврата на инвестицию).

Получается, что доходность, это безразмерная величина, которая выражается в виде десятичной дроби. Но часто для удобства доходности выражают в процентах. Для этого безразмерную доходность умножают на 100 % и получают процентную доходность. Например, доходность 0.2, это то же самое, что и доходность 20 %, а доходность 2.3, это доходность 230 %. В этой книге, в основном, используется безразмерная доходность.

Рассмотрим пример. Пусть инвестор положил в банк 1000 рублей на 10 лет под 10 % годовых с ежегодной капитализацией дохода. На рис. 1 показано, как в течение 10 лет меняется величина его вклада по схеме сложных процентов. А на рис. 2 показано, какая была каждый год доходность банковского вклада.

Рис. 1. Рост вложения 1000 руб. на банковском вкладе за 10 лет по схеме сложных процентов.

Рис. 2. Поведение годовой доходности вложения 1000 руб. на банковском вкладе за 10 лет по схеме сложных процентов.

Рассмотрим случай, когда инвестор положил в банк 1000 рублей на 10 лет под 12 % годовых, но с начислением простых процентов на сумму вклада. На рис. 3 показано, как в течение 10 лет меняется величина его вклада по схеме простых процентов. А на рис. 4 показано, какая была каждый год доходность его банковского вклада.

Рис. 3. Рост вложения 1000 руб. на банковском вкладе за 10 лет по схеме простых процентов.

Рис. 4. Поведение годовой доходности вложения 1000 руб. на банковском вкладе за 10 лет по схеме простых процентов.

Пусть на каком-то интервале ежедневные цены закрытия какого-то биржевого актива в торговые дни представляют собой следующий временной ряд из M+1 цен закрытия:

Представим себе ситуацию так, что инвестор каждый раз покупает этот актив по цене закрытия текущего дня, а на следующий день продает его по цене закрытия следующего дня, и тут же снова покупает этот актив по цене закрытия этого следующего дня, чтобы послезавтра снова повторить все эти операции. Если не учитывать всякие расходы на комиссии брокера, то это в точности эквивалентно тому, как если бы инвестор купил бы этот актив по цене P

и держал бы его все эти M дней, а затем в M-й день продал бы его по цене P

. В этом можно убедиться просуммировав все доходности за каждый торговый день.

Поэтому, для анализа того, как вела себя доходность в эти M торговых дней, мы будем рассматривать временной ряд доходностей длины M для ежедневных доходностей:

Еще раз обратите внимание, хотя мы рассматриваем ежедневные доходности, это не означает, что инвестор ежедневно инвестирует и ежедневно фиксирует прибыли/убытки. Он инвестирует только в начале интервала из M дней, а прибыль/убыток фиксирует через M дней. При этом инвестор в конце интервала получает доходность равную сумме ежедневных доходностей, хотя никакой торговли ежедневно он не вел.

Понятно, что вместо дневных цен закрытия мы можем взять какой-нибудь другой временной ряд, например, временной ряд вычисленный по часовым ценам закрытия, или по недельным ценам закрытия. Но для анализа поведения биржевых активов на дистанции от одного квартала до 20 лет чаще всего используют временные ряды доходности, вычисленные именно по дневным ценам.

Недельные и месячные цены закрытия чаще используют, когда хотят проанализировать поведение активов за много десятилетий. А часовые цены закрытия чаще используют для анализа поведения активов за несколько недель или дней.

Но это не наши случаи. Данная книга предназначена для инвесторов, которые занимаются портфельными биржевыми инвестициями с горизонтом примерно 5–20 лет. Поэтому везде далее, по умолчанию, будем считать, что рассматриваются временные ряды дневных цен закрытия и соответствующие им временные ряды дневных доходностей.

Мерой рискованности вложения в актив в теории Марковица является стандартное отклонение доходности от средней доходности за период владения. То есть величина риска S, это квадратный корень из дисперсии D доходности за период владения (см. Приложение П.4):

Здесь <R>, это средняя доходность за период владения активом (см. Приложение П.2.3):

Обратите внимание, что существуют доходности в каждый конкретный день, и эти доходности могут не совпадать со средней доходностью за весь рассматриваемый интервал. В то время, как риск вычисляется только на интервале в несколько торговых дней (минимум 2 дня). Значит, риск уже сам по себе является средним на заданном интервале.

Но мы не будем здесь в формулах вместо буквы S обозначать риск в угловых скобках <S>, так как у нас нет понятия риска за один торговый день. И соответственно в данной книге не применяются обозначения, типа S

, в качестве риска в m-й день.

Это не означает, что не существует риска S

в пределах одного торгового дня. Но такой риск не вычисляется по дневным ценам закрытия. Его можно вычислить, например, по часовым ценам закрытия внутри торгового дня. Но, как уже было сказано выше, мы минимальной единицей времени в этой книге считаем торговый день.

Чтобы у читателя сложилась правильная интуиция по теории Марковица, посмотрим очень простые синтетические примеры. Начнем с портфеля, который содержит только 2 актива.

1.2.2. Пример с двумя активами

Допустим, есть какие-то 2 актива, назовем их A и B, у которых вычислили средние доходности и риски на каком-то интервале времени.

A: Более доходный с доходностью <R>

= 0.2045, но и более рискованный с риском S

= 0.083.

B: Менее доходный с доходностью <R>

= 0.0144, но и менее рискованный с риском S

= 0.061.

На графике «Риск-Доходность» эти активы на рис. 5 изображены крупными синими точками. По горизонтальной оси графика отложены риски S, а по вертикальной оси средние доходности <R>.

Рис. 5. График "Риск-Доходность для двух активов.

Оба актива на рассматриваемом интервале времени имеют свои временные ряды ежедневных доходностей:

Здесь M, это количество торговых дней, за которые анализируется поведение этих двух активов, то есть M торговых дней, это тот интервал, за который вычислены доходности и риски активов A и B.

А портфель из этих двух активов, в свою очередь, сам тоже имеет свой ряд доходностей в эти же самые M дней:

А значит, портфель, состоящий из этих активов, имеет свою среднюю доходность и свой риск на этом же интервале M дней. И мы можем на графике «Риск-Доходность» нарисовать точку, которая соответствует этому портфелю. Положение этой точки зависит от того, как инвестор распределил свои средства по активам A и B.

Если инвестор распределил свой начальный капитал по активам A и B так, что на долю своих средств W