Уникальная формула и алгоритм в квантовых вычислениях. Открытие новой парадигмы

2. Для получения произведения оператор Адамара применяется к каждому кубиту в системе.

Оператор Адамара $H^ {n} $ может быть записан следующим образом:

$$H^ {n} = \frac {1} {\sqrt {2^ {n}}} \sum_ {\boldsymbol {y}} (-1) ^ {\boldsymbol {x} \cdot \boldsymbol {y}} |\boldsymbol {y} \rangle,$$

где:

– $\boldsymbol {y} $ – битовые строки длины $n$,

– $\boldsymbol {x} \cdot \boldsymbol {y} $ – скалярное произведение битовых строк $\boldsymbol {x} $ и $\boldsymbol {y} $,

– $|\boldsymbol {y} \rangle$ – состояние кубитов, соответствующее битовой строке $\boldsymbol {y} $.

Применение оператора Адамара $H^ {n} $ в формуле $\mathcal {F} (\boldsymbol {x}, \boldsymbol {\theta}) $ приводит каждый кубит в суперпозицию состояний $|0\rangle$ и $|1\rangle$, равновероятных состояний. Это означает, что каждый кубит имеет вероятности $1/2$ быть измеренным в состоянии $|0\rangle$ и $|1\rangle$.

Применение оператора Адамара является ключевым шагом в формуле $\mathcal {F} (\boldsymbol {x}, \boldsymbol {\theta}) $, поскольку он подготавливает систему кубитов в равновероятное суперпозиционное состояние, подготавливая её для последующей операции сложения по модулю 2 и повторного применения оператора Адамара.

Описание действия оператора Адамара на каждый кубит системы

Оператор Адамара $H^ {n} $ применяется к каждому кубиту в системе и выполняет следующие действия:

1. Каждый кубит приводится в суперпозицию состояний $|0\rangle$ и $|1\rangle$.

2. Применяется оператор Адамара к каждому кубиту в системе.

После применения оператора Адамара к каждому кубиту, каждый кубит находится в равновероятной суперпозиции состояний $|0\rangle$ и $|1\rangle$. Это означает, что вероятности нахождения каждого кубита в состоянии $|0\rangle$ и $|1\rangle$ равны $1/2$.

Действие оператора Адамара на каждый кубит является важной частью формулы $\mathcal {F} (\boldsymbol {x}, \boldsymbol {\theta}) $. Оно создает начальное состояние системы кубитов, обеспечивает равномерную вероятность состояний и подготавливает систему к последующим операциям сложения по модулю 2 и повторному применению оператора Адамара. Это позволяет формуле $\mathcal {F} (\boldsymbol {x}, \boldsymbol {\theta}) $ эффективно обрабатывать и изменять состояние каждого кубита на основе входных данных $\boldsymbol {x} $ и набора параметров $\boldsymbol {\theta} $.

Действие оператора Адамара на каждый кубит является одним из ключевых шагов в квантовых алгоритмах. Оно позволяет использовать суперпозицию состояний кубитов и межкубитные взаимодействия для решения определенных задач, которые классические алгоритмы могут решать намного медленнее или вообще не могут решить. Благодаря этому действию оператора Адамара, формула $\mathcal {F} (\boldsymbol {x}, \boldsymbol {\theta}) $ может быть эффективно применена в различных квантовых алгоритмах, позволяя достигать значительного ускорения и расширения возможностей вычислений.

Выполнение операции сложения по модулю 2

Операция сложения по модулю 2, $ (\boldsymbol {x} + \boldsymbol {p}) \bmod 2$, выполняется над битовыми последовательностями $\boldsymbol {x} $ и $\boldsymbol {p} $. Здесь $\boldsymbol {x} $ – входная последовательность, а $\boldsymbol {p} $ – заданная последовательность параметров. Операция сложения по модулю 2 выполняется над каждым битом входной последовательности $\boldsymbol {x} $ и соответствующим битом вектора параметров $\boldsymbol {p} $.

При выполнении операции сложения по модулю 2, каждый бит входной последовательности $\boldsymbol {x} $ складывается (по модулю 2) с соответствующим битом вектора параметров $\boldsymbol {p} $. Для двух битов $x$ и $p$, результат сложения будет определяться следующей таблицей:

|x|p|Result|

|-|-| – — – |

|0|0| 0 |

|0|1| 1 |

|1|0| 1 |

|1|1| 0 |

Сложении по модулю 2, результат каждого бита равен 0, если сумма соответствующих битов входной последовательности и вектора параметров четна, и равен 1 в противном случае.

Операция сложения по модулю 2 в формуле $\mathcal {F} (\boldsymbol {x}, \boldsymbol {\theta}) $ используется для изменения состояния каждого кубита в системе на основе входных данных $\boldsymbol {x} $ и заданного набора параметров $\boldsymbol {p} $. Это позволяет формуле $\mathcal {F} (\boldsymbol {x}, \boldsymbol {\theta}) $ эффективно обрабатывать информацию и выполнять специфические операции с битами входных данных.

Описание операции $ (\boldsymbol {x} + \boldsymbol {p}) \bmod 2$

Операция $ (\boldsymbol {x} + \boldsymbol {p}) \bmod 2$ представляет собой операцию сложения по модулю 2 между битовой последовательностью входных данных $\boldsymbol {x} $ и заданным набором параметров $\boldsymbol {p} $. В этой операции каждый бит входных данных $\boldsymbol {x} $ складывается с соответствующим битом параметров $\boldsymbol {p} $, а затем полученная сумма берется по модулю 2.

Для выполнения операции сложения по модулю 2 между двумя битами $x$ и $p$, используется таблица истинности следующего вида:

|x|p|Result|

|-|-|–|

|0|0|  0   |

|0|1|  1   |

|1|0|  1   |

|1|1|  0   |

Результат операции сложения по модулю 2 будет равен 0, если сумма соответствующих битов входных данных и параметров является четной (т.е., имеет четное количество единиц), и будет равен 1 в противном случае.

Например, для двух битовых последовательностей $\boldsymbol {x} = [1, 0, 1, 1] $ и $\boldsymbol {p} = [0, 1, 0, 1] $, результат операции $ (\boldsymbol {x} + \boldsymbol {p}) \bmod 2$ будет равен $ [1, 1, 1, 0] $, так как $1+0=1$, $0+1=1$, $1+0=1$, $1+1=0$.

Операция $ (\boldsymbol {x} + \boldsymbol {p}) \bmod 2$ в формуле $\mathcal {F} (\boldsymbol {x}, \boldsymbol {\theta}) $ позволяет изменять состояние каждого бита входных данных $\boldsymbol {x} $ на основе соответствующего бита вектора параметров $\boldsymbol {p} $. Это позволяет формуле $\mathcal {F} (\boldsymbol {x}, \boldsymbol {\theta}) $ эффективно преобразовывать информацию и выполнять определенные операции с битами входных данных для достижения нужных результатов.

Повторное применение оператора Адамара ($H^ {n} $)

Повторное применение оператора Адамара $H^ {n} $ осуществляется после выполнения операции сложения по модулю 2 $ (\boldsymbol {x} + \boldsymbol {p}) \bmod 2$ в формуле $\mathcal {F} (\boldsymbol {x}, \boldsymbol {\theta}) $. После применения операции сложения по модулю 2, результат используется в качестве нового набора данных $\boldsymbol {x} $ для повторного применения оператора Адамара.

Повторное применение оператора Адамара $H^ {n} $ к системе кубитов выполняется точно так же, как и первоначальное применение. Каждый кубит в системе подвергается операции Адамара, которая приводит его в суперпозицию состояний $|0\rangle$ и $|1\rangle$.