Нейронные сети. Эволюция

Запись с? – означает что берется производная по функции.

Во второй примере, когда изменение скорости автомобиля проходило линейно, с постоянным изменением, найти производную функции (s = 0,2t + 1,5), не зная правил дифференцирования сложных функций, мы пока не сможем, поэтому отложим этот пример на потом.

Продолжим с решения третьего примера, когда изменение скорости автомобиля проходило не линейно:

s = t?

Приращение функции и производная:

s(t) = t?

?s = s(t+?t) – s(t) = (t+?t) ? – t? = t? + 2t?t + ?t? – t? = ?t(2t+?t)

Вот мы и решили наш третий пример! Нашли формулу точного изменения скорость от времени. Вычислим производную, в всё той же точки t = 3.

s(t) = t?

s?(t) = 2*3 = 6

Точный ответ, в пределах небольшой погрешности, почти сошелся с вычисленном до этого приближенным ответом.

Попробуем усложнить пример. Предположим, что скорость движения автомобиля описывается кубической функцией времени:

s(t) = t?

Приращение и производная:

s(t) = t?

?s = s(t+?t) – s(t) = t? + 3 t??t+ 3t? t? + ? t? – t? = ?t(3 t? + 3t?t + ?t?)

Из двух последних примеров (с производными функций s(t) = t? и s(t) =t?) следует, что показатель степени числа, становится его произведением, а степень уменьшается на единицу:

s(t) = t?

А чему равна производная от аргумента функции? Давайте узнаем…

s(t) = t

Приращение:

?s = s(t+?t) – s(t) = t + ?t – t = ?t

Производная:

Получается, что производная от переменной:

t? = 0

Правила дифференцирования и дифференцирование сложных функций

Дифференцирование суммы

(u+v)? = u? + v?, где u и v – функции.

Пусть f(x) = u(x) + v(x). Тогда:

?f = f(x+?x) – f(x) = u(x+?x) + v(x+?x) – u(x) – v(x) = u(x) + ?u + v(x) + ?v – u(x) – v(x) = ?u + ?v

Тогда имеем:

Дроби ?u/?х и ?v/?х при ?х->0 стремятся соответственно к u?(x) и v? (x). Сумма этих дробей стремится к сумме u?(x) + v? (x).

f?(x)= u? (x) + v? (x)

Дифференцирование произведения

(u*v)? = u? v + v?u, где u и v – функции

Разберем, почему это так. Обозначим f(x) = u(x) * v(x). Тогда:

?f = f(x+?x) – f(x) = u(x+?x) * v(x+?x) – u(x) * v(x) = (u(x) + ?u) * (v(x) + ?v) – u(x) * v(x) = u(x)v(x) + v(x)?u + u(x)?v + ?u?v – u(x)v(x) = v(x)?u + u(x)?v + ?u?v

Далее имеем:

Первое слагаемое стремиться к u?(x) v(x). Второе слагаемое стремиться к v?(x)* u(x). А третье, в дроби ?u/?x, в пределе даст число u?(x), а поскольку множитель ?v стремиться к нулю, то и вся эта дробь обратится в ноль. А следовательно, в результате получаем:

f?(x)= u? (x) v(x) + v? (x) u(x)

Из этого правила, легко убедиться, что:

(c*u)? = c? u + cu? = cu?

Поскольку, с – константа, поэтому ее производная равна нулю (c? = 0).

Зная это правило мы без труда, найдем изменение скорости второго примера.

Применим к выражению правило дифференцирование суммы:

s? (t) = (0,2t) ? + (1,5) ?

Теперь по порядку, возьмём выражение – (0,2t) ?. Как брать производную произведения константы и переменной мы знаем:

(0,2t) ? = 0,2

А производная самой константы равна нулю – (1,5) ? = 0.

Следовательно, скорость изменения скорости, второго примера: