Готовимся к ЕГЭ по математике. Уравнения и неравенства с модулем

Готовимся к ЕГЭ по математике. Уравнения и неравенства с модулем
Марина Геннадиевна Семененко

В книге рассмотрено понятие модуля, методика решений уравнений и неравенств с модулем, а также особенности построения графиков функций, содержащих модуль.

Введение

Цель этой книги – помочь школьникам разобраться в решении задач, в которых используется модуль. Материал рассчитан на любой начальный уровень учащегося, в том числе «с нуля».

Книга открывает серию пособий для тех, кто готовится к ЕГЭ и не только, хочет научиться решать задачи и просто любит математику. В следующей книге будут рассмотрены различные задачи, связанные с нахождением экстремума (максимума или минимума) некоторой функции. Причем часть материала не будет связана с задачами ЕГЭ, по крайней мере, в том виде, в котором они представлены в демо-варианте 2020 г.

К сожалению, по мере внедрения ЕГЭ изучение математики (и не только) больше похоже на «натаскивание» к экзамену. О том, как я понимаю этот термин, можно прочитать на моем канале в Дзен:

https://clck.ru/Nfwau (https://clck.ru/Nfwau)

Там же можно найти и другие полезные материалы. В комментариях вы можете написать, какие еще темы были бы для вас интересны. В некоторых постах рассмотрены задачи, которые предлагались на экзаменах еще в советских вузах. Чтобы их решить, «натаскивания» было недостаточно, нужно было обладать определенным уровнем математической культуры.

Вы также можете посетить и подписаться на мой канал в You Tube:

https://cl29ck.ru/MNJvE (https://clck.ru/MNJvE)

Всем удачи и успехов на экзаменах и не только!

§1. Решение уравнений с модулем

Рассмотрим, как решаются простые уравнения с модулем.

В качестве примера возьмем следующую уравнение:

(1.1)

Вспомним определение модуля числа. По определению, модуль равен самому числу, если это число не отрицательно, и числу, взятому с обратным знаком, если число отрицательное. В символьном виде это определение можно представить следующим образом:

Поскольку в уравнении (1.1) есть знаменатель, определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение (1) будет иметь смысл, когда знаменатель не обращается в 0, то есть при x ? 0 и x ? 1.

Из определения модуля следует, что в уравнениях с модулем нужно рассматривать 2 случая: когда выражение под знаком модуля не отрицательно и когда оно отрицательно.

1) Рассмотрим случай, когда x > 1 . Условие x = 1 можно не рассматривать, поскольку в этом случае знаменатель дроби обращается в 0. Снимая знак модуля, получаем уравнение

(1.2)

Перенесем -1 влево с обратным знаком и приведем полученное выражение к общему знаменателю:

,

(1.3)

Дробь равна 0, когда ее числитель равен 0. Приравнивая 0 числитель, получаем квадратное уравнение

x

– x + 2 = 0                  (1.4)

Вычисляем дискриминант полученного уравнения:

D = (-1)

– 412 = 1 – 8 = -7.

Поскольку D < 0, действительных корней уравнение (1.4) не имеет.

2) Рассмотрим случай, когда x < 1 . Тогда получаем уравнение

Проводя вычисления, аналогичные сделанным выше, получаем:

      (1.5)

D = 1 + 8 = 9 > 0.

Поскольку D > 0, уравнение (1.5) имеет два различных действительных корня. В данном случае корни легко подобрать по теореме Виета: x

= -1, x

= 2. Если возникают трудности с применением теоремы Виета, то используем стандартную формулу вычисления корней квадратного уравнения.

Корень x

= -1 не подходит, поскольку он лежит вне рассматриваемого интервала (1; ?).

Остается единственное решение исходного уравнения x

= 2. В том, что это значение является решением исходного уравнения, можно убедиться непосредственной проверкой.

Вы можете посмотреть материал этого параграфа на моем YouTube канале:

https://youtu.be/oQELxZ8PNss (https://youtu.be/oQELxZ8PNss)

§

2.

Пример графика функции с модулем

Рассмотрим, как строить график функции, содержащей модуль.

В качестве примера возьмем следующую функцию:

Согласно определению модуля, нужно рассматривать 2 случая:

1) x + 2 0, т.е. x 2 .