Свободная воля и законы природы

6.4.

––

Невозможность двусторонней бесконечности

––

Всякая реальная бесконечность есть некоторое воплощение бесконечного множества натуральных чисел, т.е. по крайней мере начало у нее всегда можно найти. Взять хоть, например, бесконечное прошедшее время: за его начало условно можно принять текущий момент, и отсчитывать в прошлое.

Вроде бы очевидный пример двусторонней бесконечности: множество всех целых чисел – положительных, отрицательных и ноля. Но эта двусторонность фиктивная. Множество целых чисел создано искусственным соединением 3-х разных множеств: множества натуральных чисел, множества натуральных чисел со знаком "минус", и множества из одного элемента, числа "ноль".

Я думаю, что в реальном мире не может быть двусторонней бесконечности. Т.е. бесконечность мира не может быть и экстенсивной (внешней), и интенсивной (внутренней, проистекающей из бесконечной делимости времени, пространства и субстанции). Чтобы двигаться в экстенсивную, внешнюю бесконечность, нужно иметь твердую опору под ногами, а такой опорой могут быть только неделимые частицы субстанции в дискретном времени и дискретном пространстве. Если бы под ногами у человечества была разверзтая бездна бесконечно делимой субстанции в бесконечно делимом времени и пространстве, прорыв человека во внешнюю, экстенсивную бесконечность был бы невозможен.

––

Глава 7.

––

МАТЕМАТИКА

––

Математика теснейшим образом связана с физикой. Физика – древнейшая из наук. Вся наука началась с наблюдений за предметами, их положением, их движением, их действием друг на друга, и т.п. Уже позже человек начал считать предметы, количественно оценивать их размеры и интенсивность их качеств. Но с другой стороны, физика давно уже не может обходиться без математики. Я бы сказал так: физика и математика по отношению ко всем остальным наукам – как Адам и Ева по отношению ко всему человечеству. Математика прекрасна и совершенна, физика глубока и возвышенна.

Один из фантастических персонажей Станислава Лема говорит примерно следующее: "Мне всегда было жаль людей, не способных чувствовать красоту математики. Мужчины, обладающие женщинами с заурядной внешностью, могут завидовать тем, которые обладают красавицами, но женщина есть женщина. А математическая красота – этого нельзя заменить ничем".

Приведу еще цитату из книги А.Бергсона (1859-1941) "Творческая эволюция" (1907):

"Появление круга, нарисованного мелом на доске, – нечто, нуждающееся в объяснении: это вполне физическое существование само по себе не обладает ничем, чтобы победить несуществование. Но "логическая сущность" круга, то есть возможность начертить его по известному закону, другими словами, его определение, есть нечто такое, что кажется мне вечным; у него нет ни места, ни даты, ибо нигде ни в какой момент возможность начертить круг не имела начала."

Иногда утверждают, что математика – всего лишь обобщение опыта производимых человеком измерений. Это неверно. Никогда не бывает, чтобы два разных математика, правильно решив одну и ту же математическую задачу, пришли к двум разным формулам, которые отличались бы друг от друга даже на самую малость, гораздо меньшую возможной погрешности измерений. Каким способом ни вычислять число "пи", всегда получится один и тот же бесконечный ряд десятичных знаков: 3,1415926…, вычисляй хоть до миллионного знака. Хотя длины реальных окружностей и их диаметров можно измерить как правило только до 4-го знака после запятой, максимум до 6-го знака. Между тем если два разных человека будут исследовать какое-то одно физическое тело, они неизбежно в каких-то подробностях разойдутся и по своим чувственным восприятиям от этого тела, и в результатах физических измерений. Выходит, математические формулы – это не есть порождение человеческого ума. Человек их находит, но он их не создает. Математика – это вполне устойчивая объективная реальность, гораздо более устойчивая, объективная и реальная, чем наблюдаемый нами текучий мир явлений. Можно при желании представить в воображении сотворение или уничтожение каких угодно физических вещей, но совершенно невозможно представить возникновение истинных математических формул (или той же бергсоновской "логической сущности круга"), и тем более их исчезновение. Т.е. представить такое время, когда эти формулы не были истинными, или такое время, когда они перестанут быть истинными.

Кант пишет: "В любом частном учении о природе можно найти науки в собственном смысле лишь столько, сколько имеется в нем математики".

Для понимания самого Канта обязательна некоторая математическая подготовка.

а.) Хотя бы самое общее представление о теории многомерных пространств.

b.) Хотя бы элементарное понимание сущности математической аксиоматики и математической логики, т.е. принципах доказательства математических предложений.

7.1.

––

Многомерные пространства

––

Главное отличие N-мерного пространства от нашего 3-х мерного в том, что для определения положения точки такого пространства нужно не 3 числа (т.е. координаты: длина, ширина и высота), а N чисел, т.е. координат: (х1, х2, х3, … , хN). Поверхность в нашем 3-х мерном пространстве – понятие наглядное. Примером может служить поверхность любого предмета: шкафа, дома, Земли, и т.п. Поверхность может быть и бесконечной.

В N-мерном пространстве поверхность (иногда говорят "гиперповерхность") – это непрерывное многообразие точек, имеющее размерность меньше N, т.е. меньше, чем размерность самого пространства (как правило размерность N-1). В принципе это аналогично поверхности в нашем пространстве, но приходится напрягать воображение.

7.2.

––

Аксиоматика

––

С аксиоматикой и математической логикой в определенной степени знаком каждый, кто учил в школе математику. Но общее знакомство не гарантирует от полного недоумения в конкретных случаях.

Главное правило доказательства математических утверждений – это "Аксиома силлогизма":

"Если из A следует B, а из B следует C, то из A следует C".

Обычно какое-нибудь сложное математическое утверждение доказывается так: устанавливают, что его истинность логически следует из истинности некоторых других, более простых утверждений:

_____________________________А

_________________|________________________|

__________________а1_а2_а3_............_аk

Каждое из утверждений {а} выводится из утверждений {b}, каждое из утверждений {b} выводится из утверждений {c} и т.д. Эти утверждения а,b,c… образуют то, что Кант называет "регрессивным рядом". Получается что-то вроде перевернутого дерева:

_________________________А

___________/_____________|______________________\

_________а1_____________а2______________________аk

___/___/_____\_______/___|_____\_____________/___|______\

_b11_b12_____b1i___b21__b22_____b2p________bk1__bk2_____bkm

____________________________________________________________

Каждое промежуточное утверждение (х) тоже является вершиной своего дерева. Для каждого утверждения (х) справедливо требование: в его дереве не должно встречаться утверждения (х) или равносильного ему. Если такое случится, нужно сразу же исправлять доказательство, чтобы этого не было. Такая ситуация называется "порочный круг", т.е. при доказательстве утверждения (х) используется, прямо или замаскированно, это же утверждение (х) (получается, что истинность (х) следует из истинности самого (х),а это логическая ошибка).Вот простейший пример ложного рассуждения, основанного на порочном круге:

– Я куплю себе дом.

– Но у тебя нет денег.

– Я займу у Р.

– Но у Р. тоже нет денег.