Разумные финансовые стратегии в ставках на спорт

Пусть R – это перевес игрока на коэффициенте 2 (3-5%). Тогда на других коэффициентах он будет равен

Ниже приведена таблица зависимости перевеса от коэффициента ставки при условии, что на ставках с коэффициентом 2 мы имеем 5% перевес.

То есть, по этой модели следует, что если игрок способен добиться перевеса в 5% на ставках с коэффициентом 2, то на коэффициенте 1.2 у него, скорее всего, будет перевес в 2.24%.

Подставляя перевес

на коэффициенте k в формулу оптимальной (по Келли) суммы ставки, мы получаем искомую зависимость суммы ставки от коэффициента. Она будет такой:

где S – сумма ставки на коэффициенте 2. Если считать ее равной 5%, то значения суммы ставки для остальных коэффициентов можно получить из таблицы:

В соответствии с рассматриваемой модель сумма ставки на коэффициенте 1.1 увеличится не в 10 раз (как в модели фиксированной прибыли), а всего лишь чуть больше чем в три раза.

Третьим возможным вариантом зависимости перевеса от коэффициента чисто формально может быть, например, такая:

Это более ‘сильная’ зависимость. Но для оптимальных по Келли сумм она приводит к постоянным, не зависимо от коэффициентов, ставкам, что очевидным образом неверно.

Таким образом, два других, крайних, варианта в отличие от варианта, приведенного в таблицах, приводят к ‘непрактичным’ результатам. Это позволяет считать рассмотренную модель неплохим приближением к реальности. Тем более, что она построена на основе некоторого содержательного предположения.

Что лучше ординар или экспресс

Этот вопрос очень часто задают друг другу игроки на форумах и неоднократно по этому поводу разгорались дискуссии. Предпочтение отдается иногда ординарным ставкам, иногда экспрессу, так как если две ставки обе имеют перевес, то перевес экспресса чуть выше, чем даже сумма перевесов двух ставок. В самом деле, перевес экспресса равен

а перевесы ставок равны

Из этих соотношений следует, что

Например, если перевес обеих ставок равен 5%, то перевес экспресса будет равен 10.25%. То есть, перевес экспресса чуть больше чем сумма перевесов двух ставок. Правда сам перевес определяет возможную прибыль только вместе с оборотом. Коэффициент экспресса существенно больше коэффициентов ординаров. Поэтому, для того, чтобы риск просадки банка оставался приемлемым, мы должны уменьшить сумму ставки экспресса и оборот будет меньше. То есть, сравнить просто по перевесу не удастся.

Далее будет написано достаточно много формул для тех, кому интересны выкладки, которые привели меня к некоторым выводам, сделанным в конце раздела. Те, кто не хочет разбираться во внутренностях обоснования выводов, могут сразу идти в конец раздела для ознакомления с самими выводами.

Так что же все-таки лучше, как это все оценить? Можно попытаться привлечь для оценки критерий Келли. Он добавляет необходимую связь между перевесом и суммой ставки. Мы сравним как среднюю прибыль со ставок в различных вариантах, так и экспоненциальную скорость роста банка, которая, собственно говоря, максимизируется при оптимизации по Келли.

Сначала рассмотрим две ставки с одинаковыми коэффициентами, равными 2 и одинаковыми перевесами r Принципиально это не играет роли – то есть основные свойства ситуации удастся определить. Вот формула зависимости средней ожидаемой (МО) прибыли от перевеса

для одной ставки, где r – перевес, k– коэффициент ставки, w – мат. ожидание прибыли. Эта зависимость рассмотрена в одной из предыдущих статей серии Разумные финансовые стратегии в ставках на спорт. У нас k будет пока равно 2, поэтому формула упрощается :

Мы рассматриваем два случая, где сумма ставок не произвольна, а определяется критерием оптимальности, то есть мы не можем ее менять. Поэтому нужно сравнивать не прибыль с оборота, а прибыль со ставок. В самом деле, зачем нам сравнивать прибыль с оборота, если мы не можем его увеличить.

Если мы сделаем две ординарные ставки с коэффициентом 2 и одинаковым перевесом последовательно и оптимально по Келли, то средняя прибыль на двух ставках будет равна

Если мы сделаем ставку экспресс, то его перевес будет

(см. формулу 1), то средняя прибыль от нее будет равна

Из сравнения формул (2) и (3), следует, что в первом (достаточном) приближении средняя прибыль с двух ординарных ставок будет равна

То есть средняя прибыль с экспресса будет меньше, чем с двух ординаров, при оптимальных по Келли ставках, где– то на 30%.

Теперь сравним экспоненциальную скорость роста. Пусть перевес каждой ставки будет 5%. Для двух последовательных ординаров экспоненциальная скорость роста равна

Для одного экспресса оптимальная экспоненциальная скорость роста равна

То есть, по экспоненциальной скорости роста один экспресс тоже хуже двух последовательных ординаров.

Есть еще вариант, когда мы делаем ординары не последовательно, а параллельно. В этом случае сумма одновременных ставок будет равна не r а

То есть, чуть меньше. Соответственно и прибыль с двух ставок будет чуть меньше, на тот же делитель, или прибыль будет равна

Этот результат объясним логически. Прибыль уменьшилась потому, что

Вторая ставка в первом случае делается при большем в (среднем)

раз банке.

Сумма каждой ставки во втором случае меньше, так как риск при двух одновременных ставка больше и требуется его слегка 'погасить'.

Теперь вычислим для примера экспоненциальную скорость роста для этого случая. Она будет равна

То есть, две одновременные ставки лучше экспресса, как по средней прибыли со ставок, так и по экспоненциальной скорости роста.

Этого еще недостаточно, чтобы сравнить два варианта: последовательные и одновременные ставки. Чтобы вынести окончательный вердикт, можно было бы посмотреть на вероятности просадки. Но это бы ничего, в сущности, не доказало в отношении сравнения ординаров с экспрессом. Вероятности просадки были бы разными в разных диапазонах перевесов и/или коэффициентов. И однозначное мнение было бы, скорее всего, невозможно определить. Поэтому мы поступим по-другому. В предыдущих абзацах мы коротко рассмотрели результаты двух последовательных ставок ординаров, двух одновременных ставок-ординаров и экcпресса из двух ставок ординаров. А попробуем мы сделать три одновременных ставки : два ординара и их экспресс. Так делается в финансовом менеджере Stake Wizard программы Odds Wizard.

Итак, мы имеем два ординара с коэффициентом 2 и одинаковым перевесом r. Ищем оптимальные суммы трех одновременных ставок : два ординара и их экспресс. Цель: проверить основную теорему Stake Wizard и определить имеет ли смысл для увеличения экспоненциальной скорости роста игрового банка добавлять к двум одновременным ставкам-ординарам еще и их экспресс. Точнее, какая комбинация из трех ставок будет оптимальной (по Келли). Это может нам показать еще одну грань отношений между ординарами с их экспрессом в плане их сравнительной эффективности.

Я намеренно взял для проверки простой и одинаковый для двух ставок коэффициент 2, и одинаковые перевесы r обеих ставок. Это значительно упрощает выкладки, но должно сохранить основные свойства решения, например, решение должно удовлетворять основной теореме Stake Wizard.

Поскольку оба ординара имеют одинаковый коэффициент и одинаковый перевес, то оптимальные доли для двух ординаров в решении должны быть одинаковыми, в силу симметрии. Поэтому оптимизируемая функция примет вид:

где

– сумма каждого из двух ординаров, как доля банка,

– сумма экспресса, как доля банка (коэффициент экспресса равен 4),

Ищем оптимальное решение. Для этого приравниваем нулю частные производные от максимизируемой функции по искомым суммам (долям )ставок.

Решение этой системы получается из несложных, но длинных выкладок и будет таким, весьма просто выглядящим:

где r – это перевес обеих ставок.

При перевесе в 5% суммы ставок ординаров будут равны по 4.75% от банка, а сумма, которую нужно проставить на их экспресс будет равна 0.25% от банка. В случае одиночного оптимального использования экспресса, его сумма была бы равна около 3.3% от банка.

В основной теореме финансового менеджера Stake Wizard для всех возможных вариантов ставок-ординаров и соответствующих им экспрессов приводится значение максимально возможного (оптимального) роста игрового банка. Мы приведем его выражение не в авторской нотации, а явно обозначив в нем перевес ставок.

Это выражение из теоремы дает максимальный возможный (экспоненциальный) рост банка при одновременном использовании N ставок ординаров, каждая с коэффициентом

и перевесом