Супермастерство. 12 принципов усиления навыков и знания

Кроме снижения стандартов, есть и другой способ убавить трудность задачи: использовать знания так, чтобы направить поиск в более плодотворном направлении. При этом апогеем может стать то, что задача вообще не потребует решения: например, мне не нужно проводить поиски в задачном пространстве, чтобы решить пример 5 + 7 – я просто помню, что ответ – 12. Именно поэтому наша повседневная жизнь по большей части свободна от проблем, ведь ключи к ним мы храним в памяти. Вождение машины, запись к врачу или стирка белья не составляют труда для большинства взрослых людей, потому что они отлично помнят, какой путь ведет к решению. Однако вы, возможно, еще помните те времена, когда запуск стиральной машины казался для вас настоящей загадкой: куда класть порошок? Какую одежду можно стирать вместе, а какую – ни в коем случае? Опыт превращает задачи в рутину.

В некоторых случаях память может подсказать метод, даже если не даст точного ответа. Например, я не помню, сколько будет 128 + 47, однако, следуя правилам сложения многозначных чисел, которым научился в начальной школе, легко найду ответ – 175. Но не у всех задач алгоритмы настолько удобны, и когда-то это стало для математиков большим сюрпризом. В 1900 году ученый Давид Гильберт составил список из двадцати трех проблем, которые, как он надеялся, должны были разрешиться в ближайшие сто лет. Одной из них как раз был поиск алгоритма, который смог бы определить, имеют ли уравнения, подобные Великой теореме Ферма, целочисленные решения[45]. И вот спустя семьдесят лет математики доказали, что такого алгоритма быть не может![46] Для других задач есть метод, который гарантированно найдет решение, но он не сильно лучше, чем перебор абсолютно всех возможностей. Именно к такому классу принадлежат судоку, шахматы и даже «Тетрис»[47]. Таким образом, наш опыт обучения в школе может быть обманчив, потому что подавляющее большинство задач в реальной жизни не имеют метода решения, гарантирующего правильный ответ.

Однако даже если метод не может обещать решения, он все равно способен уменьшить объем поисков. Эвристика не дает гарантий, но во многих случаях работает неплохо. Например, при технических проблемах один из возможных эвристических методов – выключить устройство и снова включить его. Он не всегда дает нужный результат, но в удивительно многих случаях в самом деле помогает. Так, у Уайлса не было никакого готового алгоритма, который он мог бы применить: опровержение десятой задачи Хильберта показало, что его не существует, – но у него было достаточно эвристических методов, которые он изучил за время учебы и математической практики. Например, применение доказательства по индукции – это довольно общая математическая стратегия для подтверждения того, что некое свойство имеется у бесконечного количества элементов. Все, что для этого нужно сделать, – показать, что первый элемент обладает этим свойством, а затем, что оно не меняется при переходе к следующему. Этот трюк похож на сбивание ряда из костяшек домино: вы доказываете, что некая гипотеза истинна для бесконечного количества элементов, не проводя бесконечного числа проверок. Такой эвристический метод оказался для Уайлса ценнейшим способом связать каждый элемент эллиптической кривой с каждым элементом модулярной формы.

Еще один популярный математический эвристический метод – поиск инвариантов. Если вы находите в задаче что-то, что не меняется, как ни меняй условий, то можете избежать длительных поисков в задачном пространстве. Рассмотрим, например, загадку с подпиленной шахматной доской: в ней спрашивается, можно ли полностью замостить костяшками домино шахматную доску, у которой отпилены верхнее левое и правое нижнее поля[48].

Рис. 3. Можно ли полностью замостить подпиленную шахматную доску костяшками домино?

Учитывая, что на доске остается 62 поля, а каждая костяшка домино покрывает 2, на первый взгляд кажется, что решение задачи потребует длительных поисков. Можно перепробовать самые разные комбинации из 31 костяшки домино, чтобы проверить, выйдет ли их разместить на шахматной доске или нет. Однако если вы достаточно умны, то можете для начала поискать инвариант. Один из инвариантов этой задачи состоит в том, что костяшка домино, как ни клади ее на доску, всегда покрывает одно черное и одно белое поле. После того как мы поймем, что от доски отпилили два белых поля, сразу станет ясно, что замостить ее костяшками домино нельзя – одна из костяшек должна будет лежать на двух черных полях, а мы только что доказали, что это невозможно. Применение правильного эвристического метода избавило нас от длительных поисков.

Доказательство по индукции и поиск инвариантов часто используются в математике и логике. Тем не менее они работают только в довольно небольшом диапазоне задач относительно всего того, с чем мы можем столкнуться в реальной жизни: так, понимание математической индукции никак не поможет написать портрет или создать маркетинговый план. Психологи называют такие методы специфическими для предметной области, потому что они пригодны только для ограниченного круга задач. В таком случае возникает интересный вопрос: существуют ли эвристические методы или стратегии, которые работают для многих разных задач?

В своем исследовании решения задач Саймон и Ньюэлл рассматривали ряд общих стратегий, которые применялись людьми для разнообразных проблем. Ученые утверждали, что они применяются в качестве резервного варианта, когда недоступны более специфические методы. Саймон и Ньюэлл считали их слабыми методами, а сильными, по их мнению, были гарантированные алгоритмы или специфические для предметной области эвристики, значительно снижающие время поисков в задачном пространстве[49]. Слабые методы включают генерацию и проверку, анализ средств и целей, планирование и «подъем на холм».

Слабый метод № 1: метод перебора

Самой базовой стратегией, использование которой наблюдали Саймон и Ньюэлл, была следующая: просто что-нибудь попробовать и посмотреть, работает ли. Например, забыв пароль от аккаунта на старом компьютере, я попробую с полдюжины паролей, которыми пользовался раньше. Если мне повезет, один из них окажется верным, и мне не нужно будет прибегать к более сложным методам решения задач. Потеряв ключи, я сначала попробую поискать в нескольких случайных местах, а потом уже начну вспоминать, куда ходил и где мог их оставить. Пытаясь сочинить эссе, я могу преодолеть «боязнь чистого листа», просто начав писать хоть что-нибудь, а потом уже это отредактирую. Случайный набор фраз, скорее всего, окажется не очень хорош, но первая мысль, пришедшая в голову, при достаточной опытности может быть и неплохой. Все это говорит о том, что у метода перебора есть очевидный недостаток: он приводит к катастрофе, если задачное пространство слишком большое. Работает это, только когда задача уже достаточно ограничена или знакома нам, чтобы простые догадки могли дать разумный ответ.

Notes