Рациональность. Что это, почему нам ее не хватает и чем она важна

    У. РОБЕРТ СМИТ, КАНДИДАТ НАУК, УНИВЕРСИТЕТ ШТАТА ДЖОРДЖИЯ

Может, женщины иначе понимают математические задачи – не так, как мужчины.

    ДОН ЭДВАРДС, САНРИВЕР, ОРЕГОН[40 - Crockett 2015.]

В числе несогласных был даже Пал Эрдёш (1913–1996), прославленный математик, настолько плодовитый, что ученые меряются своими «числами Эрдёша» – длиной кратчайшей цепи соавторов по публикациям, связывающей их с этим великим теоретиком[41 - Vazsonyi 1999. Мое число Эрдёша – 3, благодаря публикации Michel, Shen, Aiden, Veres, Gray, The Google Books Team, Pickett, Hoiberg, Clancy, Norvig, Orwant, Pinker, Nowak, & Lieberman-Aiden 2011. Ученый-информатик Питер Норвиг выступил соавтором доклада другого ученого информатика (и соавтора Эрдёша), Марии Клаве.].

Но математики-мужчины, свысока объяснявшие свое решение самой умной в мире женщине, ошибались, а вот она была права. Участнику лучше бы изменить свое решение. И нетрудно понять почему. Автомобиль может стоять за любой из трех дверей. Давайте подумаем о каждой из них и подсчитаем, сколько раз из трех вы выиграете, придерживаясь одной из двух возможных стратегий. Вы выбрали дверь № 1 – конечно, это просто мы ее так назвали; пока Монти придерживается правила: «Открой невыбранную дверь, за которой стоит коза; если коза за обеими, открой любую», шансы выиграть равны, какую бы дверь вы ни выбрали.

Скажем, ваша стратегия – «не менять выбора» (левая колонка на рисунке). Если машина стоит за дверью № 1 (слева вверху), вы выиграете. (Неважно, какую из двух оставшихся дверей откроет Монти, потому что вы все равно не переключитесь ни на одну из них.) Если машина за дверью № 2 (слева посередине), вы проиграете. Если машина за дверью № 3 (слева внизу), вы опять проиграете. Так что шанс выиграть, придерживаясь стратегии «не менять выбора», составляет один к трем.

Давайте теперь рассмотрим стратегию «изменить выбор» (правая колонка). Если машина за дверью № 1, вы проиграете. Если машина за дверью № 2, Монти открыл бы дверь № 3, так что вы переключитесь на дверь № 2 и выиграете. Если же машина за дверью № 3, он открыл бы дверь № 2, и, переключившись на дверь № 3, вы снова выиграете. Шанс выиграть при стратегии «изменить выбор» составляет два к трем, что в два раза больше, чем при стратегии «не менять выбора».

Прямо скажем, не бином Ньютона[42 - С другой стороны, нормативный анализ дилеммы Монти Холла вызвал бурю комментариев и споров; см. https://en.wikipedia.org/wiki/Monty_Hall_problem (https://en.wikipedia.org/wiki/Monty_Hall_problem).]. Не хотите просчитывать вероятности – можете сами сыграть пару раундов, вырезав из картона дверцы и пряча за ними игрушки, а потом суммировать результаты, как сделал однажды Холл, чтобы убедить скептически настроенного журналиста. (А еще в эту игру можно сыграть онлайн.)[43 - Попробуйте: Math Warehouse, Monty Hall Simulation Online, https://www.mathwarehouse.com/monty-hall-simulation-online/ (https://www.mathwarehouse.com/monty-hall-simulation-online/).] Или же вы можете призвать на помощь интуицию и рассудить так: «Монти знает ответ и дает мне подсказку; будет глупо ею не воспользоваться». Почему же математики, университетские профессора и другие важные персоны так опростоволосились?

Конечно, некоторым критическое мышление отказывало из-за сексизма, личных предрассудков и профессиональной ревности. Вос Савант – привлекательная, элегантная женщина, не отмеченная академическими регалиями, автор колонки в бульварном журнале, где публикуются сплетни и кулинарные рецепты; ее вовсю высмеивают в вечерних ток-шоу[44 - Например, «Вечернее шоу с Дэвидом Леттерманом»: https://www.youtube.com/watch?v=EsGc3jC9yas (https://www.youtube.com/watch?v=EsGc3jC9yas).]. Она не соответствует стереотипу математика; к тому же, прославившись благодаря Книге рекордов Гиннесса, вос Савант сделалась соблазнительной мишенью для нападок.

Но часть проблемы – сама проблема. Как и в вопросах с подвохом в тесте когнитивной рефлексии и в задаче выбора Уэйсона, в парадоксе Монти Холла есть что-то, выставляющее напоказ бестолковость нашей системы 1. Но и система 2 здесь тоже не блещет. Многие не в силах усвоить ответ даже после объяснения; в их числе сам Эрдёш, который, поправ идеалы математической науки, позволил себя убедить только после многократной симуляции игры[45 - Vazsonyi 1999.]. Многие упирались, даже воочию пронаблюдав за симуляцией, и даже после того, как неоднократно сыграли на деньги. В чем же причина такого резкого расхождения между нашей интуицией и законами случайности?

Разгадка кроется в самонадеянных объяснениях, которыми всезнайки оправдывали свою ошибку, – зачастую это просто решения, бездумно перенесенные с других задач по теории вероятности. Одни настаивают, что каждой из неизвестных альтернатив (в данном случае закрытых дверей) нужно приписать равную вероятность. Это верно, если речь идет о симметричном инвентаре для азартных игр вроде монет или игральных костей, и это разумная отправная точка для рассуждений, если вам абсолютно ничего не известно об альтернативах. Но это отнюдь не закон природы.

Другие представляют себе цепочку причин и следствий. Козы и автомобиль заняли свои места до того, как ведущий открыл дверь, и то, что он ее открыл, не меняет их местоположения. Указание на отсутствие причинно-следственных связей – хороший способ развенчать другие заблуждения, такие как «ошибка игрока», поддавшись которой игроки в рулетку почему-то думают, что после того, как несколько раз подряд выпало «красное», в следующем раунде должно выпасть «черное», хотя на самом деле рулетка ничего не помнит и результат одного ее вращения никак не зависит от другого. Один из корреспондентов вос Савант снисходительно объяснял:

Представьте себе забег, в котором участвуют три лошади с равными шансами на выигрыш. Если лошадь № 3 упадет в пятидесяти метрах от старта, шансы каждой из двух оставшихся лошадей составляют уже не один к трем, но один к двум.

Ясно же, заключает он, нет никакого смысла переключаться с лошади № 1 на лошадь № 2. Но это работает не так. Представьте, что после того, как вы сделали ставку на лошадь № 1, Господь возвестил с небес: «Лошадь № 3 не победит». Он мог бы предупредить насчет лошади № 2, но он этого не сделал. Теперь решение поменять ставку не кажется таким уж безумным[46 - Предложено в Granberg & Brown 1995.]. В игре «Давайте заключим сделку» в роли бога выступает Монти Холл.

Подобный богу ведущий напоминает нам, насколько сама по себе необычна ситуация парадокса Монти Холла. Для того, чтобы она возникла, требуется всеведущее существо, которое пренебрегает обычной целью коммуникации – сообщать слушателю необходимую ему информацию (в данном случае за какой дверью машина) – и вместо этого стремится подогреть интерес третьих лиц[47 - Правила беседы: Grice 1975; Pinker 2007, chap. 8.]. К тому же, в отличие от реального мира, который никак не соотносит свои подсказки с ходом рассуждений человека, Монти Всемогущий одновременно знает истину и осведомлен о нашем выборе, подгоняя к нему свои откровения.

Невосприимчивость людей к этой полезной, хотя и в некотором роде мистической информации указывает на когнитивную слабость, объясняющую весь парадокс: мы путаем вероятность и предрасположенность. Предрасположенность – это склонность объекта проявлять себя определенным образом. На интуитивном понимании предрасположенностей в основном и строятся наши ментальные модели мира. Люди знают, что согнутая ветка распрямляется, что куду быстро устают, что дикобразы обычно оставляют следы с отпечатками двух подушечек. Предрасположенность нельзя оценить в лоб (ветка либо распрямляется, либо нет), но суждение о ней можно вынести, внимательно изучая физические свойства объекта и используя причинно-следственные законы: более сухая ветка может сломаться; в дождливый сезон куду выносливей; у дикобраза на лапе две подушечки, которые хорошо отпечатываются на мягкой поверхности, но не всегда – на твердой.

Вероятность – дело другое; это абстрактный инструмент, изобретенный в XVII в.[48 - История и концепция вероятности: Gigerenzer, Swijtink, et al. 1989.] У слова «вероятность» несколько значений; но ту вероятность, которая важна при принятии рискованного решения, можно определить как силу нашей убежденности в определенном положении дел при условии, что истинное положение дел неизвестно. Малейший фактор, который меняет степень нашей уверенности в некоем исходе дела, будет менять как вероятность этого исхода, так и рациональный образ действий в сложившихся обстоятельствах. Зависимость вероятности от эфемерного знания, а не от физических свойств объекта объясняет, почему парадокс Монти Холла сбивает людей с толку. Они интуитивно чувствуют, что у автомобиля есть предрасположенность оказаться за любой из трех дверей, и знают, что, открыв одну из них, этой предрасположенности не изменить. Но вероятность не имеет ничего общего с материальным миром – она описывает степень нашего неведения. Новая информация уменьшает неведение и таким образом меняет вероятность. Если эта идея кажется вам мистической или парадоксальной, подумайте о вероятности, что монета, которую я подкинул, упала орлом вверх. Для вас она равна 0,5. Но для меня она равна 1 (я подсмотрел). Одно и то же событие, разное знание, разная вероятность. В парадоксе Монти Холла новой информацией нас снабжает всевидящий Монти.

Это, в частности, объясняет тот странный факт, что, если ведущий снижает уровень нашего неведения более осязаемым способом, проблема решается интуитивно. Вос Савант предложила читателям представить себе телеигру со, скажем, тысячью дверей[49 - vos Savant 1990.]. Вы выбираете одну, а Монти открывает 998 из оставшихся, и за каждой стоит по козе. Перенесете ли вы свою ставку на ту единственную дверь, которую он не открыл? Если представить дело таким образом, становится очевидно, что выбор Монти снабжает нас полезной информацией. Можно вообразить, как он, решая, какие двери открыть, заглядывает в поисках машины за каждую; закрытая дверь – это знак, что он ее там увидел, и, таким образом, указание на ее местонахождение.

Простая задача на прогнозирование

Выработав привычку сопоставлять числовые значения с событиями, истинность которых неизвестна, мы можем количественно оценить точность своих интуитивных представлений о будущем. Прогнозирование – большой бизнес. Оно важно для политиков, инвесторов, специалистов по оценке рисков и обычных граждан, которым любопытно, что день грядущий нам готовит. Подумайте о перечисленных ниже событиях и запишите свою оценку вероятности наступления каждого из них в ближайшие 10 лет. Многие почти неправдоподобны, поэтому давайте попристальнее всмотримся в нижнюю часть шкалы вероятностей и для каждого из них выберем одно из следующих значений: меньше 0,01 %, 0,1 %, 0,5 %, 1 %, 2 %, 5 %, 10 %, 25 % и, наконец, 50 % и выше.

1. Саудовская Аравия разработает ядерное оружие.

2. Николас Мадуро уйдет с поста президента Венесуэлы.

3. Президентом России станет женщина.

4. Мир пострадает от новой пандемии, которая будет даже смертоноснее ковида.

5. Конституция страны не позволит Владимиру Путину баллотироваться на следующий срок, и вместо него на выборы пойдет его жена, что позволит Путину править страной от ее имени.

6. Массовые забастовки и бунты вынудят Николаса Мадуро уйти с поста президента Венесуэлы.

7. Очередной респираторный вирус передастся в Китае от летучей мыши к человеку и вызовет новую пандемию, которая будет даже смертоноснее ковида.

8. После того как Иран создаст ядерное оружие и проведет подземные испытания, Саудовская Аравия в ответ разработает собственную ядерную бомбу.

Похожие перечни событий я предлагал нескольким сотням респондентов. В среднем люди думали, что сценарий, в котором жена Путина становится президентом России, правдоподобнее сценария, где президентом этой страны становится женщина. Они думали, что вероятность такого развития событий, где забастовки вынуждают Мадуро уйти, выше вероятности его ухода. Они думали, что Саудовская Аравия скорее разработает ядерное оружие в ответ на иранскую бомбу, чем вообще его разработает. Они думали, что вероятность того, что китайская летучая мышь спровоцирует новую пандемию, выше вероятности новой пандемии[50 - Спасибо Джулиану де Фрейтасу за проведение и анализ исследования. Его дизайн похож на дизайн исследования, неформальный итог которого подведен в Tversky & Kahneman 1983, pp. 307–8. Предположения были выбраны из большого списка, предварительно протестированного в пилотном исследовании. Различия были обнаружены при сравнении оценок, данных участниками для конъюнкции или для одной ее части до того, как они увидели вторую (то есть при сопоставлении между участниками). Когда же мы сравнивали оценки, сделанные одним и тем же участником, ошибка конъюнкции проявлялась только в вопросах о России и Венесуэле. Тем не менее 86 % участников совершили как минимум одну ошибку конъюнкции, и в каждом случае большинство испытуемых приписывали конъюнкции вероятность выше или равную вероятности одной из ее частей.].

Скорее всего, в каком-нибудь из пунктов и вы с ними согласились; по крайней мере, так сделали 86 % участников исследования, оценивавших вероятность каждого из этих предположений. Если я угадал, то вы только что грубо нарушили элементарный закон вероятности, правило конъюнкции: вероятность конъюнкции событий (А и B) должна быть ниже или равна вероятности каждого из них по отдельности (А или B). Например, вероятность вытащить из колоды четную карту масти пики (четная и пики) должна быть ниже вероятности вытащить любую карту масти пики, потому что в колоде есть и нечетные пики.

В каждой паре предположений второй сценарий – это конъюнкция событий, одно из которых – событие из первого сценария. Например, «Иран испытывает ядерное оружие, и Саудовская Аравия разрабатывает ядерное оружие» – это конъюнкция, в которую уже входит событие «Саудовская Аравия разрабатывает ядерное оружие», и ее шанс случиться должен быть ниже, потому что есть и другие сценарии, при которых Саудовская Аравия может превратиться в ядерную державу (чтобы противостоять Израилю, чтобы добиться гегемонии в Персидском заливе и так далее). По той же логике отставка Мадуро вероятнее его отставки в результате волны забастовок.

О чем же люди думают, когда так отвечают? Класс событий, описанных одним предложением, выглядит общо и абстрактно, и мозгу просто не за что зацепиться. События, описанные конъюнкцией двух утверждений, кажутся выразительнее, особенно если из них выстраивается сюжет, который мы можем разыграть в театре своего воображения. Интуитивная оценка вероятности опирается на вообразимость: чем легче нам что-нибудь вообразить, тем правдоподобнее оно нам кажется. Так мы попадаем в ловушку, которую Тверски и Канеман назвали ошибкой конъюнкции: конъюнкция двух событий выглядит правдоподобнее, чем каждое из составляющих ее событий по отдельности.

Современные оракулы в своих предсказаниях нередко прибегают к живописному изложению событий – и к черту теорию вероятности[51 - Donaldson, Doubleday, et al. 2011; Tetlock & Gardner 2015.]. В 1994 г. в журнале The Atlantic вышла нашумевшая статья, написанная журналистом Робертом Капланом и озаглавленная «Грядущая анархия» (The Coming Anarchy)[52 - Kaplan 1994.]. Каплан пророчил, что в первые десятилетия XXI в. мир охватят войны за дефицитные ресурсы вроде воды; Нигерия сцепится с Нигером, Бенином и Камеруном; развернется мировая война за Африку; США, Канада, Индия, Китай и Нигерия развалятся на части, регионы США, где преобладает испаноговорящее население, откроют границу с Мексикой, а канадская провинция Альберта сольется с американским штатом Монтана; в американских городах вырастет уровень преступности; проблема СПИДа встанет еще острее – и это не считая дюжины других напастей, кризисов и расколов. Статья произвела фурор (и впечатлила даже президента Билла Клинтона, который делился ею с сотрудниками Белого дома), но и число гражданских войн, и доля населения планеты без доступа к питьевой воде, и уровень преступности в Америке камнем идут ко дну[53 - Снижение числа войн, уровня преступности, доли бедных и распространенности болезней: Pinker 2011; Pinker 2018.]. Менее чем через три года после публикации статьи внедрение новых эффективных лекарств от СПИДа привело к резкому сокращению смертности от нее. Спустя более чем четверть века границы стран мира почти не изменились.

Ошибка конъюнкции была впервые проиллюстрирована Тверски и Канеманом – примером, который стал известен под названием «проблема Линды»[54 - Tversky & Kahneman 1983.]:

Линде 31 год, она не замужем, очень сообразительна и за словом в карман не лезет. В колледже она изучала философию. В студенческие годы была серьезно озабочена вопросами дискриминации и социальной справедливости, участвовала в демонстрациях против распространения ядерного оружия.

Пожалуйста, оцените вероятность каждого из утверждений:

Линда преподает в начальной школе.

Линда – активистка феминистского движения.

Линда – социальный работник, помогающий психиатрическим больным.

Линда – кассир в банке.

Линда – страховой агент.

Линда – кассир в банке и активистка феминистского движения.

Респонденты полагали, что Линда скорее феминистка и кассир, чем просто кассир: вероятность (А и B) снова оказалась у них выше вероятности отдельно взятого А. Бумерское имя Линда, сомнительный комплимент «сообразительная», ушедшие в прошлое протесты и исчезающие профессии выдают время составления теста – начало 1980-х гг. Но, как известно любому преподавателю психологии, сам результат легко воспроизводится – и сегодня обладающая острым умом Аманда, участвующая в маршах Black Lives Matter, по мнению опрошенных, скорее окажется феминисткой и дипломированной медсестрой, чем просто дипломированной медсестрой.

Проблема Линды особенно ярко высвечивает особенности нашей интуиции. В отличие от задачи выбора, где люди делают ошибки, когда проблема абстрактна («если P, то Q»), и отвечают правильно, когда она привязана к конкретной жизненной ситуации, здесь все испытуемые в теории согласны с абстрактным законом «вероятность (А и В) ? вероятности (А)», но путаются, как только формула наполняется конкретным содержанием. Биолог и популяризатор науки Стивен Джей Гулд говорил не только за себя, когда признавался: «Я знаю, что конъюнктивное утверждение – самое маловероятное, но крохотный гомункулус у меня в голове упрямо вопит, подпрыгивая от возбуждения: "Но она не может быть просто кассиром! Прочти описание!"»[55 - Gould 1988.].

Опытные демагоги мастерски используют этого крохотного гомункулуса в своих интересах. Обвинитель, которому не за что зацепиться, кроме трупа, вынесенного волнами на пляж, излагает целую повесть о том, как муж гипотетически мог убить супругу и избавиться от тела, чтобы жениться на любовнице и начать свое дело на деньги, полученные по страховке. Защитник высасывает из пальца альтернативный заезженный сценарий, в котором убитая теоретически могла стать жертвой мелкого воришки, чья попытка стащить кошелек обернулась трагедией. Согласно законам вероятности, каждая добавочная деталь должна уменьшать правдоподобность версии, однако вместо этого она делает ее только убедительнее. Как говорил Пу-Ба, персонаж комической оперы Гилберта и Салливана «Микадо», все это «не более чем подтверждающие детали, призванные придать художественного правдоподобия сухому и неубедительному повествованию»[56 - Цит. по Tversky & Kahneman 1983, p. 308.].

Правило конъюнкции – базовый закон математической вероятности, и, чтобы его понять, вовсе не обязательно мысленно оперировать числами. Это заставило Тверски и Канемана невысоко оценивать наше интуитивное понимание вероятности, которое, как они писали, основано на стереотипах и жизненном опыте, а не на методичном учете возможностей. Идею, что «внутри каждого бестолкового человека сидит толковый, который пытается выбраться наружу», они отвергли[57 - Tversky & Kahneman 1983, p. 313.].

Другие психологи настроены снисходительнее. Как мы уже убедились, обсуждая парадокс Монти Холла, у слова «вероятность» есть несколько значений, в том числе «физическая предрасположенность», «сила основанного на фактах убеждения» и «частота на длительном промежутке времени». Оксфордский словарь английского языка дает еще одно определение: вероятность – это «видимость истинности или возможность осуществиться, которую любое утверждение или событие имеет в свете имеющихся доказательств»[58 - Цит. по Hertwig & Gigerenzer 1999.]. Столкнувшись с проблемой Линды, испытуемые понимают, что их спрашивают не о «частоте на длительном промежутке времени»: существует только одна Линда, неважно, кассирша-феминистка она или нет. В любой связной беседе рассказчик сообщил бы все эти биографические детали с конкретной целью, а именно: подвести своего собеседника к обоснованному выводу. По мнению психологов Ральфа Хертвига и Герда Гигеренцера, люди, по всей видимости, здраво рассуждают, что в задаче имеется в виду «вероятность» не в каком-нибудь математическом смысле, что требовало бы применить правило конъюнкции, а в смысле «степени уверенности в свете имеющихся фактов», и, понятно, приходят к выводам, к которым предоставленные факты их подталкивают[59 - Hertwig & Gigerenzer 1999.].

В пользу такого более благожелательного прочтения говорят и результаты множества исследований, начиная с тех, что проводили сами Тверски и Канеман: когда людей побуждают размышлять о вероятностях в смысле относительной частоты событий, а не заставляют иметь дело с трудноуловимой концепцией вероятности единичного события, они чаще соблюдают правило конъюнкции. Представьте себе тысячу женщин, подобных Линде. Как вы думаете, сколько среди них банковских кассиров? А банковских кассиров и заодно активисток женского движения? Наконец-то гомункулус заткнулся; толковый человек пытается выбраться наружу. Число ошибок конъюнкции резко сокращается[60 - Hertwig & Gigerenzer 1999; Tversky & Kahneman 1983.].

Так не является ли ошибка конъюнкции, типичный пример человеческой слепоты в области вероятности, артефактом двусмысленных формулировок и наводящих вопросов? Тверски и Канеман убеждены, что это не так. Они замечают, что люди совершают ошибку, даже если им предлагают сделать ставку на одну из возможностей (да, большинство ставит на то, что Линда – кассир-феминистка, а не на то, что она кассир). И даже если вопрос переформулирован в терминах частоты, так что люди могут избежать ошибки конъюнкции, окинув мысленным взором банковских кассиров, заметное число опрошенных, хотя и меньшинство, все равно попадается в ту же самую ловушку. Меньшинство превращается в большинство, когда люди оценивают каждую из альтернатив по отдельности, а не вместе и, соответственно, не утыкаются носом в абсурдность ситуации, где подмножество оказывается больше множества[61 - Kahneman & Tversky 1996.].

Канеман заметил, что человеческая нерациональность достигает максимума, когда люди отстаивают свои идеи-фикс. Поэтому он предложил новый метод разрешения научных споров, призванный заменить проверенный временем обычай обмена мнениями, в рамках которого оппоненты поочередно двигают вешки и несут ахинею, перекидываясь возражениями и отговорками. В рамках «состязательного сотрудничества» участники дискуссии заранее договариваются о способе эмпирической проверки, призванной положить конец спору, и проводят ее в присутствии приглашенного арбитра[62 - Mellers, Hertwig, & Kahneman 2001.]. Чтобы выяснить, кто был прав относительно проблемы Линды, Канеман, следуя собственному совету, объединил усилия с Хертвигом; в качестве арбитра они пригласили психолога Барбару Меллерс. Противники договорились провести три исследования, в которых респондентов уже не спрашивали бы об одной-единственной Линде, а задавали бы им вопрос, переформулированный в терминах частоты («Из ста женщин, подобных Линде, сколько…»). Сообщая о неоднозначных итогах, ученые признали: «Мы не рассчитывали, что эксперименты разрешат все загадки; этого чуда и не произошло». Однако стороны согласились, что люди склонны совершать ошибку конъюнкции, даже если имеют дело с частотой. Кроме того, они пришли к выводу, что в благоприятных обстоятельствах – альтернативы можно сопоставлять, а формулировки этих альтернатив не оставляют места воображению – люди способны избежать ошибки конъюнкции.