Все науки. №1, 2023. Международный научный журнал

Но если потратить на каждый знак числа, то для самих чисел, к примеру для 0 присваивается цифра – 6, а если написать 1, пишется «s0», что значит «следующее за 0», для 2 – ss0 и так можно выразить любое целое число, хоть и громоздко. Итак, если для обозначения и чисел ввели показатели, то можно записать и уравнения, к примеру «0=0», эти значениям присваиваются цифры 6, 5, 6, соответственно, но для уравнения «0=0», можно создать свою карточку, взять простые числа с 2 и они возводятся в степень числа элемента по системе Гёделя, а затем они перемножаются.

Так уравнение «0=0», записывается в (18).

То есть, для уравнения «0=0», число Гёделя равно 243 000 000 и как можно видеть, подобные комбинации вполне можно получить для абсолютно любого уравнения, любой комбинации символов, и она словно бесконечная колода карт, где для любой комбинации существует персональная своя карта. А красота системы ещё заключается в том, что можно не только из уравнения получить число, но и из числа уравнение, для сравнения, можно взять любое число, попросту разложить его на простые множители, и в зависимости от степеней простых чисел получить уравнение.

Разумеется, что в этой колоде будут и истинные, и ложные утверждения, но для их доказательства, необходимо обратиться к аксиомам, которые тоже имеют свои номера Гёделя, к примеру, для аксиомы: «Нет любого числа за любым числом x, равным 0», ведь в этой системе нет 0. Записать такую аксиому можно в (19), а в (20), подставить под него 0, откуда следует, что 1=0.

Именно так можно доказывать любое утверждение в системе Гёделя и конечно, это уравнение имеет своё число Гёделя (21).

Здесь два значения для доказательства и самой аксиомы разные. И как видно значения становятся всё больше и больше, поэтому просто необходимо ввести другие более ёмкие обозначения в виде букв, но получилось так, что для числа g, с уравнением (22):

доказательством стало само число g, то есть эти два числа совпали и получилось, что во всей колоде, нет ни одной карты, которая могла бы доказать такое утверждение. То есть если оно ложно и доказательство тому есть, то было доказано, что доказательства не существует. Это полный тупик, означающий противоречивость системы. Ведь даже если сказать, что это утверждение истинно, получалось бы, что есть утверждения, даже при наличии аксиом, что для них нет доказательств. И значит, система не полна, из этого следовало, что любая математическая система, способная к простым арифметическим вычислениям всегда будет содержать истинные утверждения, у которых нет доказательства.

Интересный тому пример приводится в цитате: «Джим мой враг, оказывается, что он злейший враг самому себе, а враг моего врага – мой друг, значит Джим – мой друг, но, если он враг самому себе, а враг моего друга мой враг, значит Джим – мой враг, но…» и эта череда может продолжаться бесконечно. И к сожалению, ответ на первый вопрос оказался отрицательным.

Если же вернуться ко второму вопросу, то непротиворечивость системы не может доказать сама же система, поэтому она остаётся под большим вопросом. И тогда разрешимость математики становится третьим вопросом, то есть существует ли алгоритм, который используя свои аксиомы точно покажет следующие из него утверждения? Решение вопроса было на стороне Алана Тьюринга в 1936-м году, для этого изобретя современный компьютер, хотя он хотел создать устройства с мощностью для решения задачи любой сложности с простым алгоритмов.

Он пришёл к мысли об устройстве, закреплённый на бесконечной ленте, с квадратными ячейками, содержащими либо 0, либо 1. Аппарат оснащён головкой чтения записи, за раз её считывая, а дальше может выполнить либо записать новое значение, перейти влево или вправо, либо остановиться. При этом остановка – это завершение программы, с выдачей результата. А программа – некоторый определённый алгоритм, указывающий машине, что делать и принимать какое решение, в зависимости от поступающей информации. Эту программу можно передать и на вторую машину Тьюринга, и она исправно будет её исполнять также как и первая, и это позволяет машинам выполнять всё что угодно, от сложения и вычитания, над сложнейшими алгоритмами современности, разрешая третью проблему Гильберта. Когда она останавливается – программа прекращается, а цифры на ленте – ответы.

Но порой можно вызвать случай, когда машина впадает в бесконечный цикл и тогда вопрос о том, можно ли зная исходные данные предсказать дальнейшее действие машины, становится весьма уместным. Тьюринг понял, что эта проблема не остановки похожа на проблему неразрешимости и, если понять, остановится ли машина, понять будет ли разрешима система не составит труда. Для примера можно взять гипотезу о числах близнецах, о которой говорилось ранее и тогда машина сформулировала бы при помощи аксиом все непосредственные вытекающие теоремы, построив все вытекающие теоремы, сравнивая каждую теорему из разных поколений, с гипотезой о числах-близнецах, это бы настоящая машина гениальности!

Решая проблему остановки, можно было бы решать всё и предсказывать всё что угодно и тогда Тьюринг решил сделать небольшую хитрость введя вторую машину, которая определяла бы остановку первой машины. То есть вводились бы исходные данные, описывался бы алгоритм машины и новая машина «б», выдавала бы, остановится или не остановится ли первая машина, при этом остановка через какое время уже не волновало, как и устройство обоих машин.

Но можно усовершенствовать эту машину «б», добавив к ней ещё два действия: если же первая машина остановится, пусть усовершенствованная версия машины «б» – машина «с» включит бесконечный цикл и, если выдаётся через внутренний «б», что «а» не остановится – остановку первой машины. Программу для новой машины можно задать как некий код, но что произойдёт если задать для неё этот же код и как алгоритм, и как код? Довольно интересный вопрос, получится что сама машина «с», симулирует как поведёт себя эта же машина «с», введя её собственной код, определив своё собственное поведение при каких-то обстоятельствах.

Тогда получится, что если каким-то образом машина «с» посчитает, что она никогда не остановится, она остановится, если она посчитает, что остановится, она никогда не остановится. Любые выходные данные получаются ложными и, следовательно, изначальной машины «б» попросту не может быть и невозможно предсказать, остановится ли первая машина Тьюринга «а».

Из этого следовало бы, что математика не разрешима, нет такого алгоритма, который выводил бы теоремы из аксиом самостоятельно. Но с одной стороны тут явно нет причины останавливаться или опускать руки, ведь все эти системы сами по себе полные, это означает, что они прекрасно функционируют, для примера вся современная вычислительная техника действует по принципу первой машины Тьюринга, но имеет слабое место в представлении самой же себя; квантовые системы полностью полны, но вопрос определения энергетических щелей или скорее вопрос неопределённости Гейзенберга или сводящиеся с ним вопросы также имеют слабые места; игра «Жизнь» также полна по Тьюрингу, но имеет слабое место – вопрос остановится ли игра или нет и таких систем огромное количество.

Ещё более удивительно то, что некоторые подобные системы можно создать в других, так в самой игре «Жизнь» можно создать машину Тьюринга, в которой уже запускается игра «Жизнь». Мечта Дэвида Гильберта относительно полноты действительно воплотилась в современных вычислительных машинах. И для него основной идеей стало: «Мы должны знать, и мы будем знать», но к сожалению, правда в том, что мы не можем знать, но в попытках разобраться, мы открываем новое, меняя наш окружающий мир, к примеру Тьюринг осуществил свои идеи во время Второй мировой войны, предугадав алгоритм работы машины «Энигма» фашисткой Германии, по некоторым оценкам, это приблизило конец войны на 2—4 года.

После войны Тьюринг и Джон фон Нейман создали первый программируемый компьютер «Эниак», на основе наработок Тьюринга, хоть он, к сожалению, не дожил до этих дней. Но он изменил наш мир, его называют самой влиятельной фигурой в кибернетическом мире, все его идеи до сих пор действуют в любой вычислительной машине, но они возникли в результате мысли о машине Тьюринга, а этому уже нужно сказать спасибо Гильберту и его вопросам о разрешимости математики, поэтому дешифровщики Тьюринга и вся компьютерная индустрия – плоды удивительных парадоксов в математике.

Поэтому в фундаменте математики по сей день имеется слабое место, из-за которого невозможно знать всё наверняка и будут утверждения, которые невозможно доказать, это обстоятельство могло бы свести математиков с ума и привести к краху дисциплины, но на удивление попытки решить эту проблему, изменили наше представление о бесконечности, переломили ход мировой войны и помогли создать устройства, которые способствуют развитию технологий сегодня.

И хотя это так, это по сей день служит для всех живущих и мыслящих ещё более лучшим знаком и намёком, а скорее утверждением, что нам нужно идти дальше, стараться развиваться, даже несмотря на то, что идеал недостижим…

Использованная литература

1. Арива С. Б. Исследования в области ингенциальных чисел. Все науки. – 2022. – №1. – 33—38 с.

2. Алиев И. Х. Первоначальные математические свойства ингенциальных чисел. Все науки. – 2022. – №1. – 38—46 с.

3. Богдан А. М. Исследование проблем Гильберта. Все науки. – 2022. – №2. – 90—95 с.

4. Арипова С. Б. Применение математического аппарата в физике резонансных ядерных реакций и гидрологии. Все науки. – 2022. – №2. – 85—90 с.

5. Нематов И., Алиев И. Х. Прямое применение импликации и эквиваленции. Все науки. – 2022. – №7. – 27—41 с.

6. Мендельсон Э. Введение в математическую логику. – М. Наука, 1971.

7. Эдельман С. Л. Математическая логика. – М.: Высшая школа, 1975. – 176 с.

8. Акимов, О. Е. Дискретная математика. Логика, группы, графы / О. Е. Акимов. – М.: Бином. Лаборатория знаний, 2009. – 376 c.

9. Акимов, О. Е. Дискретная математика. Логика, группы, графы / О. Е. Акимов. – М.: Бином. Лаборатория знаний, 2003. – 376 c.

10. Андерсон, Дж. Дискретная математика и комбинаторика / Дж. Андерсон. – М.: Диалектика, 2019. – 960 c.

11. Асанов, М. О. Дискретная математика: графы, матроиды, алгоритмы: Учебное пособие / М. О. Асанов, В. А. Баранский, В. В. Расин. – СПб.: Лань, 2010. – 368 c.

12. Бабичева, И. В. Дискретная математика. Контролирующие материалы к тестированию: Учебное пособие / И. В. Бабичева. – СПб.: Лань, 2013. – 160 c.

13. Баврин, И. И. Дискретная математика для педагогических вузов: Учебник и задачник для прикладного бакалавриата / И. И. Баврин. – Люберцы: Юрайт, 2015. – 208 c.

14. Баврин, И. И. Дискретная математика: Учебник и задачник для СПО / И. И. Баврин. – Люберцы: Юрайт, 2016. – 209 c.

15. Вороненко, А. А. Дискретная математика. Задачи и упражнения с решениями: Учебно-методическое пособие / А. А. Вороненко. – М.: НИЦ Инфра-М, 2013. – 104 c.