Теория понятий. Технология семантического мышления

Кант придумал формализацию. Процедура формализации: любая формализация по определению игнорирует некоторую часть доступной информации и, следовательно, обедняет содержательное представление об исследуемом объекте. Формализация неоднозначна по её же определению. Проблема в том, какую часть информации игнорировать. К сожалению, формализация ослабляет конкуренцию понятий. Теория понятий предлагает применять разумную формализацию и игнорировать (назначать низкие веса) несущественным (малосущественным) для практического использования характеристикам, свойствам объекта. Теория понятий считает, что остающиеся после формализации свойства, характеристики объекта определяют и представляют его семантику. Кантор в своих работах использовал различные упорядочивания характеристик. Теория понятий использует упорядочение по значимости. Семантика существенна. Семантика – это сущность, представляющая другие существующие сущности.

Вопросами формализации естественного языка занимался Хомский. Он предложил к использованию грамматики, свободные от контекста, контекстно свободные формальные грамматики (КС-грамматики), что не исключает возможность использования самого формализуемого языка.

И вообще теория понятий очень (но не чрезмерно) парадоксальная дисциплина.

Понимание утверждений в теории понятий не тривиально (но возможно). Понимать семантическую теорию понятий способен только естественный интеллект, правда не всякий. Некоторые семантические утверждения понимать нет смысла. А некоторые весьма парадоксальные утверждения могут иметь смысл. В теории понятий не исключено даже, что, например, отношение (13 ? 13) является вполне осмысленным если, например, одно число 13 является числом в десятичной системе счисления, а другое число 13 является числом в некоторой другой (например, восьмеричной) и тогда действительно имеет место отношение (13 ? 13). Не исключены ситуации, когда это отношение имеет большой «семантический смысл».

В теории понятий наряду с «законом» исключённого третьего применяются семантические определения. А закон исключённого третьего считается постулатом. Кантор усовершенствовал традиционную логику, пополнив ее определениями. Так, если в классической логике утверждения могут быть либо истинными, либо ложными, то определения не могут быть ложными. Если определение нечто определяет, то оно это определяет при любой погоде. И никакая логика не требуется. Диалектика заменяет логику. Для развития наук никакая логика не требуется, достаточно диалектических определений.

Кант в работе «Критика чистого разума» обосновывает безаксиоматичность мышления. Кантор, являясь последователем Канта, несколько усовершенствовал логику, формализованную Кантом, и предложил мыслить определениями.

В конце прошлого – начале нынешнего веков, когда философия и наука стали с беспокойством осознавать пагубность традиционной методологии и неизбежность замаячивших впереди тупиков, раздался спасительный лозунг: «Назад к Канту!» Может, и был он чересчур паническим, но рациональное зерно здесь налицо: ни наука, ни философия не могут сделать ни одного шага вперед без тех открытий, которые были совершены в тиши кенигсбергского кабинета и получили свое воплощение в великой книге «Критика чистого разума». «Sapere aude! – имей мужество пользоваться собственным умом! – таков девиз Просвещения».

3. Познание природы и логика

В работе «Познание природы и логика», которую Давид Гильберт представил коллегам-математикам в 1930 году, он пытается выяснить взаимосвязь практики и мышления. Он во многом вынужден согласится с Иммануилом Кантом, признанным авторитетом в области мышления.

Приведём несколько наиболее содержательных цитат из этой работы с некоторыми комментариями:

«Познание природы и жизни – наша первейшая задача. На ее решение направлены все усилия и вся воля человечества, и чем дальше, тем плодотворнее становятся эти усилия. За последние десятилетия нам удалось расширить и углубить наши знания о природе больше, чем за столько же столетий в прошлом. Сегодня мы хотим воспользоваться столь благоприятным положением, чтобы рассмотреть старую философскую проблему, а именно – многократно обсуждавшийся вопрос о том, какая доля нашего знания приходится, с одной стороны, на мышление, а с другой – на опыт. Этот старый вопрос вполне обоснован потому, что ответить на него по существу – означает установить, какова вообще природа нашего естественнонаучного знания и в каком смысле знание, которое мы получаем, занимаясь естественными науками, есть истина».

«Но решению старой философской проблемы, о которой мы упомянули, ныне способствует и другое обстоятельство. В наше время на недосягаемую высоту поднялись не только техника экспериментирования и искусство возведения здания теоретической физики, но и их дополнение – логическая наука – достигло существенного успеха. Ныне существует общий метод рассмотрения естественнонаучных вопросов, который во всех случаях облегчает уточнение постановки проблемы и способствует подготовке ее решения. Я имею в виду аксиоматический метод.

Возникает вопрос: какое отношение имеет познание природы к аксиоматике, о которой сегодня говорится так много? Основная идея заключается в том, чтобы сформулировать в обширных областях науки немногочисленные утверждения, называемые аксиомами, чтобы затем чисто логическим путем возвести все здание теории. Но значение аксиоматики отнюдь не исчерпывается этим замечанием. Лучше всего суть аксиоматического метода нам позволят понять примеры. Древнейший и наиболее известный пример аксиоматического метода – геометрия Евклида».

Комментарий теории понятий: «Аксиоматика Гильберта – система аксиом евклидовой геометрии. Разработанная Гильбертом как более полная, нежели система аксиом Евклида. Но даже в аксиоматике Гильберта отсутствует возможность определения новых геометрических объектов».

А вот еще один пример аксиоматического метода, заимствованный мной из совершенно другой области. Мы привыкли к тому, что в наших теоретических науках используются формальные процессы мышления и абстрактные методы. Аксиоматический метод принадлежит логике. При слове «логика» у многих возникает представление о предмете очень скучном и трудном. Но сегодня логическая наука легко понимаема и очень интересна. Например, стало понятно, что и в повседневной жизни используются методы и возникают понятия, требующие высокой степени абстракции, понимаемые только с помощью неосознанного, интуитивного применения аксиоматических методов.

Следование аксиоматическим методам должно, как нам кажется, действительно привести к системе законов природы, соответствующих в своей совокупности действительности, и необходимо лишь мышление, то есть дедукция в терминах понятий, чтобы построить все физическое знание; и тогда был бы прав Гегель, утверждавший, что все явления природы можно вывести из понятий.

Инструментом, посредством которого осуществляется взаимосвязь теории и практики, мышления и наблюдения, служит математика; она наводит мосты и неусыпно следит за тем, чтобы те не утратили способность выдерживать нагрузку. Отсюда следует, что в основе всей нашей современной культуры, поскольку она направлена на постижение природы разумом и использование природы на благо человеку, лежит математика. Еще Галилей сказал: «Понять Природу может лишь тот, кто знает язык, на котором она говорит с нами, и его письмена; язык же ее – математика, письмена – математические фигуры». Канту принадлежит следующее высказывание: «Я утверждаю, что в каждой области естествознания собственно науки столько, сколько в ней математики».

Истинная причина, по которой Канту не удалось найти неразрешимую проблему, по моему мнению, состоит в том, что неразрешимых проблем вообще не существует. Вместо непознаваемого, о котором твердят глупцы, наш лозунг гласит прямо противоположное: «Мы должны знать, мы будем знать».

В обоснование логики этого утверждения можно привести его замечание о логических парадоксах. Гильберт писал: «…эти парадоксы происходят скорее потому, что используются недопустимые, бессмысленные образования понятий, которые в моей теории исключаются сами собой». Можно сказать, что теория семантических понятий обеспечивает в соответствии с теорией Гильберта постановку семантически корректных проблем, что гарантирует их разрешимость. Алгоритмически неразрешимых проблем не существует!

К сожалению, Гильберт не определяет, что есть аксиоматика. Он считает, что и в повседневной жизни используются методы и возникают понятия, требующие высокой степени абстракции, понимаемые только с помощью неосознанного, интуитивного применения аксиоматических методов. Некоторое аксиоматическое определение, которое может быть использовано для определения различных новых сущностей, предлагает Кантор.

4. Диалектическая теория семантических множеств

«Мно?жество – один из ключевых объектов математики, в частности теории множеств. «Множество есть многое, мыслимое нами как единое» (Георг Кантор). Это не является в полном смысле логическим определением понятия множество, а всего лишь пояснением (ибо определить понятие – значит найти такое родовое понятие, в которое данное понятие входит в качестве вида, но множество – это, пожалуй, самое широкое понятие математики и логики). Существует два подхода к понятию множества.

«Наивная теория множеств» Георга Кантора. Дать определение чему-либо это значит выразить понятие через ранее определенные. При этом должны быть некоторые базовые понятия, которые формально не определены. Множество может быть одним из таких понятий. В рамках наивной теории множеств множеством считается любой четко определенный набор объектов. Кантору принадлежит также следующая характеристика понятия «множество»: Множество – это объединение определённых, различных объектов, называемых элементами множества, в единое целое. Однако вольное использование наивной теории множеств приводит к некоторым парадоксам, в частности к парадоксу Рассела».

Это текст из «Викизнания».

До XIX века считалось, что точного определения множества нет. Множеством считалось любое скопление предметов. В конце XIX века Георг Кантор определил множество как «единое имя для совокупности всех объектов, обладающих данным свойством». Теория понятий считает это утверждение ошибочным, абзацем выше приведено дословное несколько иное канторовское определение понятия множества.

Множество объектов, обладающих свойством A (x)!, обозначается {x|A (x)}!. Если некое множество Y= {x|A (x)}!, то A (x)! называется характеристическим свойством множества Y!. Данная концепция привела к парадоксам. После этого теория множеств была некорректно аксиоматизирована. На сегодняшний день множество определяется как модель, удовлетворяющая аксиомам ZFC (аксиомы Цермело – Френкеля с аксиомой выбора). При таком подходе в некоторых математических теориях возникают совокупности объектов, которые не являются множествами. Такие совокупности называются классами (различных порядков).

На день сегодняшний имеются и другие определения понятия множества.

Мно?жество – одно из ключевых понятий математики, в частности теории множеств и логики.

Понятие множества обычно принимается за одно из исходных (аксиоматических) понятий, то есть несводимое к другим понятиям, а значит, и не имеющее определения; для его объяснения используются описательные формулировки, характеризующие множество как совокупность различных элементов, мыслимую как единое целое. Также возможно косвенное определение через аксиомы теории множеств. Множество может быть пустым и непустым, упорядоченным и неупорядоченным, конечным и бесконечным, бесконечное множество может быть счётным или несчётным. Более того, как в наивной, так и в аксиоматической теориях множеств любой объект обычно считается множеством.

Теория понятий предлагает и использует несколько иное определение множества не в противоречии с наивным определением Кантора.

Диалектика теории множеств

В начале XX века Г. Кантор пришел к выводу, что интуитивная математика, которой он занимается, требует логического обоснования, требует формализации. Требуется основание математики, и Кантор занялся философией математики, проблематикой мышления в математике. Теория понятий считает, что в соответствии с диалектическим законом единства и борьбы (конкуренции) противоположностей, интуитивная математика распалась на две математики: аксиоматическую математику, основанную на формализации, которая абстрагируется от семантики естественного языка, и противоположную прикладную, основанную на использовании этой самой семантики. Занявшись философией математики, Кантор хотел как лучше, а получилось как всегда. В результате появилась не философия математики, а математическая философия (онтология, информатика) аналогично возникновению других математических наук: математической физики, математической логики и т.д., что лишний раз подтверждает, что математика является царицей всех наук. К слову, можно заметить, что саму философию в свое время предложил математик Пифагор. Теория понятий считает, что эта математическая философия представляет единение всех имеющихся наук.

Формализа?ция – представление какой-либо содержательной области (рассуждений, доказательств, процедур классификации, поиска информации, научных теорий) в виде формальной системы или исчисления.

Поскольку лингвистическая структура естественного языка не совпадает с логической структурой форм и законов мышления, которые воплощаются в этом языке, логика вынуждена создавать специальные средства, которые бы дали возможность изъять из естественного языка формы мышления, их логические свойства, существенные отношения между ними, определить принципы логической дедукции, критерии различия правильных и неправильных способов рассуждения.

Создание логики специального языка, наряду с существующей на естественном языке, есть особый процесс, который предусматривает, что созданная искусственная знаковая система является средством фиксации логической структуры мысли, с одной стороны, и средством исследования логических свойств и отношений мысли, с другой. То есть язык логики – это прежде всего её метод. Принято говорить не «искусственный язык логики», а «формализованный язык логики». С лёгкой руки немецкого философа Иммануила Канта логике приписали прилагательное «формальная», поэтому логику стали называть формальной, а её метод – формализацией.

Любая формализация по определению игнорирует некоторую часть доступной информации и, следовательно, обедняет содержательное представление об исследуемом объекте.

Форма?льная систе?ма (форма?льная тео?рия, аксиоматическая теория, аксиоматика, дедуктивная система) – результат строгой формализации теории, предполагающей полную абстракцию от смысла слов используемого языка, причем все условия, регулирующие употребление этих слов в теории, явно высказаны посредством аксиом и правил, позволяющих вывести одну фразу из других.

Формальная система – это совокупность абстрактных объектов, не связанных с внешним миром, в которой представлены правила оперирования множеством символов в строго синтаксической трактовке без учёта смыслового содержания, то есть семантики. Строго описанные формальные системы появились после того, как была поставлена задача Гильберта. Первые ФС появились после выхода книг Рассела и Уайтхеда «Формальные системы».

И в то же время. Философия математики предполагает также построение семантической теории «языка» математики для изучения смысла математических высказываний и сущностей абстрактных объектов. Теория понятий, напротив, основана на использовании семантики естественного языка, полагая, что естественный язык за время своего многовекового развития наилучшим образом представляет реальный мир. Теория понятий считает, что реальный мир определяет прикладную математику, которая его представляет. Семантическая математика более прагматична.

Ещё одним из вопросов философии математики является вопрос о собственной (онтологической) возможности выделения оснований математики, Первый в истории философии ответ на данный вопрос дал Платон в диалоге «Парменид» в форме тезиса «теория соотношения единого и многого образует мир». Этот тезис почти дословно представляет определение множества Кантора.

Единение совокупности семантических понятий образует понятие виртуального мира.

Теория понятий считает, что, занявшись философией математики, Кантор осознал, что материальность реальна, и это осознание он представил определением понятия множества, что не исключает возможность использования в теории множеств (как и во многих других реально создаваемых в реальном времени теориях) понятия реального времени (Real Time). В теории понятий истинность утверждения «сегодня пятница» возрастает по мере её приближения. Аристотель отдыхает. Работает иная, диалектическая логика.

Кроме того, Кантор задумался, как бы абстрактную высшую математику, которой он занимался всю жизнь, можно бы было применить, использовать в быту, в обычной человеческой деятельности. В работе https://studfiles.net/preview/6718656 довольно подробно рассмотрены философско-религиозные аспекты генезиса теории множеств Г. Кантора [2].

Кантор пришёл к заключению, что для превращения математики в содержательную прикладную дисциплину необходимо в математике рассматривать предметы мышления наряду с прочими предметами созерцания. Кантор пришел к выводу концепции – аксиоме, что в любой науке (не исключая и математику) обобщающее понятие может представлять всю совокупность определяющих его инициальных понятий, и сформулировал это утверждение в виде определения понятия множества. Таким образом, проблемой мышления в конкретных науках является обнаружение как исходных, инициальных, так и обобщающих понятий. Кантор использовал обобщающие понятия в качестве типа данных в прикладных дисциплинах.

Сущность, определяемая определением понятия множества, учитывает, как естественные изменения предметов созерцания, так и естественные изменения естественного интеллекта и даже учитывает изменения самой математики в процессе её развития. Сплошная диалектика. Предлагая определение понятия множества, Кантор превращает абстрактную математику в естественнонаучную дисциплину. Предложив определение понятия множества, Кантор поставил математику с ног на голову. Даже коллеги перестали понимать диалектику его работ. Кантор отметил в одном из писем: «…согласно Миттаг-Леффлёру, я должен подождать до 1984 года, что кажется мне слишком большой просьбой!.. Но конечно, отныне я никогда ничего не хочу знать об Acta mathematica». Теория семантических понятий трактует определение понятия множества как постановку задачи мышлению нахождения алгоритма построения множества!