Моделирование синергетических систем. Метод пропорций и другие математические методы. Монография

– скорость роста числа сотрудников;

– скорость увеличения капитала фирмы.

Сформулируем первую главную пропорцию

:

скорость роста числа сотрудников (dY

/dt) пропорциональна числу новых сотрудников минус ту ее часть, которая связана с количеством уволившихся.

При этом количество новых сотрудников пропорционально капиталу фирмы (~Y

, так как в среднем люди предпочитают работать в более богатой фирме), а количество уволившихся составляет некоторую долю от числа имеющихся (~Y

). Заменяя знаки пропорции (~) на коэффициенты пропорциональности, первую главную пропорцию приводим к следующему уравнению:

(16)

где ? – коэффициент пропорциональности, показывающий, какую часть своего капитала может выделить фирма, чтобы привлечь новых сотрудников; ? – коэффициент пропорциональности, обобщающий в себе различные причины, в результате которых сотрудник может уволиться (или его уволят).

Cформулируем вторую главную пропорцию:

скорость увеличения капитала пропорциональна прибыли от вложения капитала минус расходы на сотрудников.

При этом прибыль от вложения капитала пропорциональна величине вложенного капитала (~Y

), а расходы на сотрудников пропорциональны их количеству (~Y

). Так же заменяя знаки пропорции (~) на коэффициенты пропорциональности, вторую главную пропорцию приводим к уравнению:

(17)

где µ – коэффициент пропорциональности, показывающий эффективность работы фирмы на рынке; ? – коэффициент пропорциональности, обобщающий в себе среднюю величину затрат фирмы на одного сотрудника.

2.1.2. Эволюционным уравнением задачи является система уравнений (16) и (17), так как она удовлетворяет общему виду (П6) эволюционных уравнений:

Применив к (18) условие (П8), найдем стационарное решение:

Y

= Y

= 0. (19)

2.1.3. Обратите внимание: наша модель средней фирмы имеет две переменные Y

и Y

. Следовательно, мы можем воспользоваться результатами Приложения П2.3, полученными для системы, так же с двумя переменными. В частности, чтобы проверить стационарное решение (19) на устойчивость, достаточно определить соотношение знаков у величин B, ? и D. Последние вычисляются по формулам (П22). В эти формулы входят четыре коэффициента линейного разложения: a

, a

, a

и a

. Их мы найдем с помощью (П12), в которой F

возьмем из системы эволюционных уравнений (18) нашей задачи.

Итак, согласно (П12),

В первом слагаемом берется частная производная по переменной Y

от выражения ?Y

, которое, как видим, не содержит Y

, поэтому, согласно правилу вычисления частной производной, это выражение считается постоянным и производная от нее равна нулю. Во втором слагаемом производная берется от выражения ?Y

, которое считаться постоянным не может, так как содержит Y

. Поэтому дальнейшие вычисления для a

примут вид

Аналогично рассуждая, находим остальные коэффициенты линейного разложения:

Подставив найденные значения a

, a

, a

, и a

в (П22), получим

(20)

2.1.4. Для средней фирмы коэффициенты ? и ? должны быть сравнительно большими, так как оба относятся к расходам на сотрудников, а коэффициент µ и ?, наоборот, не должен быть большими потому, что, во-первых (в случае µ), у средней фирмы прибыль от операций на рынке не является слишком высокой, иначе бы фирма была богатой, а не средней; и во-вторых (в случае ?), в цивилизованном обществе в средней фирме текучесть кадров невелика.

С учетом сказанного из формул (20) можно точно определить знаки величин ? и D. Действительно,

а) произведение больших коэффициентов ? и ? заведомо больше, чем произведение малых µ и ?, поэтому? > 0;

б) квадрат разности малых µ и ? есть очень маленькая величина, поэтому D < 0.