Моделирование синергетических систем. Метод пропорций и другие математические методы. Монография

Подставив это выражение в (22), получим

и окончательно

(23)

– эволюционное уравнение государственной страховой фирмы. В (23) введены обозначения: ? = ?/p; ? =?s/p.

Стационарное решение Y

уравнения (23) найдем из условия (П8) (dY

/dt = 0):

0 = Y

(? N + ?),

откуда

– стационарное значение прибыли в государственной страховой фирме.

Зададим возмущение y для Y

. Поскольку в задаче только одна переменная, а именно Y (прибыль), то закон изменения возмущения с течением времени (П13) запишется в простом виде

y = c exp (?t).

Характеристическое уравнение (П14) также сильно упрощается:

a

– ? = 0,

Следовательно, ? = a

и

y = c exp (a

t). (24)

где a

вычисляется по формуле (П12). В этой формуле перейдем к обозначениям без индексов, так для одной переменной в них нет смысла:

(25)

где F – правая часть эволюционного уравнения (23). Все величины в (25) положительные (в частности, из (22) видно, что прибыль фирмы будет увеличиваться, т. е. dY/dt > 0, если коэффициент пропорциональности ? положителен). Следовательно,

a

> 0.

Как видим, возмущение y из (24) увеличивается с течением времени. Последнее означает, что Y

является неустойчивым.

Таким образом, в рамках рассмотренной модели стабильное получение прибыли государственной страховой фирмой возможно лишь в сильно консервативном обществе, когда возмущение, создаваемое конкуренцией на рынке, отсутствует.

2.2.2. Модель частной страховой фирмы

Характерной особенностью частной страховой фирмы является зависимость числа клиентов от времени. Следовательно, в этой модели число клиентов N необходимо учитывать в качестве переменной, которую обозначим как Y

. Как и в предыдущем случае, прибыль страховой фирмы является переменной величиной, ее мы обозначим Y

.

2.2.2.1. Главные пропорции частной страховой фирмы можно сформулировать следующим образом.

1. Прирост клиентов dY

/dt пропорционален размеру получаемой прибыли Y

(средний клиент предпочитают иметь дело с более богатой фирмой), среднему в данном регионе доходу клиента D

и среднему в данном регионе количеству несчастных случаев Q (~Y

D

Q). Отрицательная составляющая пропорции обусловлена теми клиентами, которые по каким-то причинам отказались от услуг фирмы (математически количество таких клиентов составляет некоторую долю от общего числа клиентов, которая статистически тем больше, чем больше у фирмы клиентов), т. е. отрицательная составляющая ~Y

.

2. Прирост прибыли dY

/dt пропорционален числу клиентов Y

, а также той части прибыли Y

, которую фирма вкладывает в доходные предприятия (~Y

Y

). Отрицательная составляющая представляет собой часть прироста прибыли, которую фирма не дополучила из-за выплат клиентам (~Q*).

Заменив знак пропорции ~ на коэффициенты пропорциональности ?, ?, µ и ?, придем к следующей системе двух уравнений

или