Натуральные числа. Этюды, вариации, упражнения

-1)=16·(32-1)=16·31=496;

2

·(2

-1)=64·(128-1)=64·127=8 128.

Формула Евклида позволяет без труда доказывать многочисленные свойства совершенных чисел. Все совершенные числа треугольные (об этом дальше). Это значит, что, взяв совершенные число шаров, мы всегда сможем сложить из них равносторонний треугольник. Все совершенные числа, кроме 6, можно представить в виде частичных сумм ряда кубов последовательных нечетных чисел: 1

+3

+5

+ … . Впоследствии Леонард Эйлер строго доказал, что все чётные совершенные числа имеют вид, указанный Евклидом. В первой сотне их оказалось всего два, а далее они отстоят друг от друга все дальше и дальше. Почти полторы тысячи лет люди знали только четыре совершенных числа. Трудность состояла не в том, чтобы подставить в формулу очередное простое p, а в том, чтобы проверить простоту 2

-1. Требовались большие по объему вычисления, а вычислительной техники не существовало. Только в XV веке смогли обнаружить пятое совершенное число 33 550 336, соответствующее p=13 в формуле Евклида. Сделал это немецкий математик Региомонтан. В следующем веке немецкий учёный Шейбель нашел ещё два совершенных числа: 8 589 869 056 и 137 438 691 328. Они соответствуют p=17 и p=19. Независимо от него на совершенство этих чисел указывали итальянец Катальди и француз Марин Мерсенн.

Самое любопытное, что четные совершенные числа кроме 6 (а до сих пор не было найдено ни одного нечетного совершенного числа!) заканчиваются в десятичной записи на 16, 28, 36, 56, 76 или 96. Если отбросить наименьшее совершенное число 6, то у всех остальных совершенных чисел цифровой корень равен 1.

С появлением компьютеров стали возможными вычисления, превосходящие человеческие возможности. На январь 2018 года известно 50 чётных совершенных чисел. Но по-прежнему неизвестно, бесконечно ли множество всех совершенных чисел. Нечётных совершенных чисел до сих пор не обнаружено, однако не доказано и то, что их не существует. Неизвестно также конечно ли множество нечётных совершенных чисел, если они существуют.

Проверено, что нечётное совершенное число, если оно существует, превышает 10

; при этом число простых делителей такого числа с учётом кратности не меньше 101. Поэтому не бросайтесь сразу искать нечетное совершенное число, это уже дело компьютерных программ, а не человека.

В природе кроме редких драгоценных камней существуют более распространенные полудрагоценные камни. У нас кроме совершенных чисел будут рассмотрены не совсем совершенные, но их мы отнесем во второй уровень классификации, в виду ослабления характеристического критерия.

С древних времен пару чисел 220 и 284 считали символом дружбы. В средние века имели хождение талисманы с выгравированными на них числами 220 и 284, якобы способствующими укреплению любви. Чем же заинтересовали людей эти два с виду обыкновенных числа?

Список собственных делителей числа 220: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 и 110, сумма делителей равна 284.

Список собственных делителей числа 284: 1, 2, 4, 71 и 142, сумма делителей равна 220.

Последователи Пифагора дали этим числам название – дружественные числа. Однако пифагорейцы знали только одну пару дружественных чисел – 220 и 284. Если для двух натуральных чисел сумма собственных делителей первого числа равна второму из этих чисел и наоборот, то такие два числа называются дружественными.

То есть, пару натуральных чисел M, N называют дружественной, если: m

+m

+…+m

=N, n

+n

+…+n

=M, где m

, m

,…,m

собственные делители числа М, n

, n

,…,n

собственные делители числа N.

Многие математики занимались поисками дружественных чисел, хотя большого значения для теории чисел эти пары не имеют, но являются любопытным элементом занимательной математики. Формулу для нахождения некоторых пар дружественных чисел предложил примерно в 850 году арабский астроном и математик Абу-л-Хасан Сабит ибн Курра. Его формула позволила найти две новые пары дружественных чисел: 17 296 и 18 416; 9 363 584 и 9 437 056. Восток дело тонкое и в Европе об этом узнали гораздо позже того, как сами нашли эти числа. Первым из западных математиков новую пару дружественных чисел нашел француз Пьер Ферма (1601-1665), потом обнаружили, что их упоминал в своем трактате марокканский ученый Ибн аль-Банна аль-Гарани (1256-1321). Через два года после Ферма еще одну пару нашел Рене Декарт. После Декарта великий Леонард Эйлер нашел свой критерий, с помощью которого смог пополнить множество дружественных чисел на несколько десятков. Пишу так расплывчато, потому что в разных источниках упоминается разное количество пар дружественных чисел найденных Эйлером.

Указанные выше две пары дружественных чисел фактически не являются второй и третьей, по величине входящих в них чисел, так как многие гораздо меньшие пары дружественных чисел были пропущены и вторая пара по величине: 1184 и 1210, а пара 17 296 и 18 416 стоит в последовательности на восьмом месте. Пару дружественных чисел 1184 и 1210 пропустили Ферма, Декарт и Эйлер, а обнаружил ее в 1866 году 16-летний итальянский школьник – Никколо Паганини – полный тёзка великого скрипача. Школьник потряс математический мир сообщением о том, что числа 1184 и 1210 дружественные! Эту пару, ближайшую к 220 и 284, проглядели все знаменитые математики, изучавшие дружественные числа. Вот так делаются открытия во множестве натуральных чисел!

Дружественные числа продолжают скрывать множество тайн. Неизвестно, конечно или бесконечно количество пар дружественных чисел. В различных источниках называется разное количество найденных пар дружественных чисел, где-то называют 400, где-то 1100 пар, а в Википедии сказано, что на апрель 2016 года известно более миллиарда пар дружественных чисел. Среди них преобладают пары четных чисел, но встречаются и нечетные пары, например седьмая пара: 12 285 и 14 595. Пока не найдена четно-нечетная пара, и поэтому неизвестно, существует ли такая смешанная пара дружественных чисел. Неизвестно существует ли общая формула, позволяющая описать все пары дружественных чисел.

Критерий – разложение на множители

На стыке теории чисел и геометрии рассмотрим так называемые фигурные числа. Это понятие было введено последователями Пифагора. Они представляли собой некое философско-религиозное сообщество, занимавшееся многими науками, в частности они изучали свойства чисел. Со времён пифагорейцев традиционно различают следующие виды фигурных чисел.

Линейные числа – числа, не разлагающиеся на сомножители большие единицы, то есть их ряд совпадает с рядом простых чисел, дополненным единицей: 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, … .

Плоские числа – числа, составные, представимые в виде произведения двух сомножителей больших единицы: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, … .

Телесные числа – числа, представимые произведением трёх сомножителей больших единицы: 8, 12, 16, 18, 20, 24, 27, 28, 30, 32, 36, 40, 42, … .

Эти определения приводятся в «Началах» Евклида. Мне не очень нравится, что при подобном подходе многие числа попадают одновременно в два различных вида. Например, 8=2·4=2·2·2, 12=2·6=3·4=2·2·3, 18=2·9=3·6=2·3·3 и так далее.

Критерии – геометрическая интерпретация

Многоугольные числа – числа, ассоциированные с определённым многоугольником, которые соответствовали количеству точек, расположенных в виде некоторой геометрической фигуры – треугольника, квадрата и так далее. Про точки может быть не совсем корректно говорить, так как в математике точка – это абстрактное понятие, не имеющее линейных размеров, поэтому будем подразумевать некие круглые фишки одинаковых размеров, из которых и выкладываются геометрические фигуры. Ряд фигур будем начинать с одной фишки, а затем достраиваем до равностороннего треугольника со стороной в две фишки, в три фишки и так далее.

Получаем треугольные числа: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, … . Треугольные числа можно получить и без геометрической интерпретации посредством последовательного суммирования чисел натурального ряда: 1, 1+2=3, 1+2+3=6, 1+2+3+4=10, 1+2+3+4+5=15, … . Формула для получения n-го треугольного числа: P

=(n(n+1))/2. Сумма двух последовательных треугольных чисел дает полный квадрат: P

+P

=(n+1)

. Четность элементов последовательности меняется с периодом 4: нечетное, нечетное, четное, четное.

Извините, формулы получаются написанными коряво, так как конвертер издательства не принимает и не распознает формулы, красиво сделанные во встроенном редакторе формул, и приходится изощряться, чтобы написать их в Worde просто с клавиатуры. В результате остается только изображение в строчку, красота формулы теряется.

Получение квадратных чисел можно иллюстрировать построением квадратов с последовательным увеличением длины стороны квадрата: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, … .

С алгебраической точки зрения они представляют собой квадраты чисел натурального ряда, но могут быть интерпретированы и как результат последовательного суммирования нечетных чисел натурального ряда: 1+3=4, 1+3+5=9, 1+3+5+7=16, 1+3+5+7+9=25. Формула для получения n-го квадратного числа P