Математические головоломки

Какое же из этих чисел наибольшее?

Займемся сначала верхним рядом, т. е. числами в двухъярусном расположении.

Первое – 2222, – очевидно, меньше трех прочих.

Чтобы сравнить следующие два —

222

и 22

,

преобразуем второе из них:

22

 = 22

 = (22

)

= 484

.

Последнее число больше, нежели 222

, так как и основание, и показатель у степени 484

больше, чем у степени 222

.

Сравним теперь 22

с четвертым числом первой строки – с 2

. Заменим 22

большим числом 32

и покажем, что даже это большее число уступает по величине числу 2

. В самом деле,

32

= (2

)

= 2

– степень меньшая, нежели 2

.

Итак, наибольшее число верхней строки – 2

. Теперь нам остается сравнить между собой пять чисел – сейчас полученное и следующие четыре:

Последнее число, равное всего 2

, сразу выбывает из состязания. Далее, первое число этого ряда, равное 22

и меньшее, чем 32

или 2

, меньше каждого из двух следующих. Подлежат сравнению, следовательно, три числа, каждое из которых есть степень 2. Больше, очевидно, та степень 2, показатель которой больше. Но из трех показателей

222, 484 и 2

(= 2

· 2

? 10

· 4)

последний – явно наибольший.

Поэтому наибольшее число, какое можно изобразить четырьмя двойками, таково:

Не обращаясь к услугам логарифмических таблиц, мы можем составить себе приблизительное представление о величине этого числа, пользуясь приближенным равенством

2

? 1000.

В самом деле,

Итак, в этом числе – свыше миллиона цифр.

Глава вторая