Население Земли как растущая иерархическая сеть II

При подсчете полного числа циклов (и числа циклов роста сети до ее гармонического размера) все рассмотренные сценарии финализации звена дают практически одинаковые результаты. Для определенности выбираем второй вариант, получаем 29 циклов. Собираем второй клаттер, устанавливаем в сеть, прокладываем связи.

Рис. 3. Собран второй клаттер.

Далее, на каждом клаттере копируем по 4 носителя; за цикл их набирается 16. Третий клаттер собираем за 16 циклов, т. к. 16·16 = 256. Длина звена 16·4 = 64 клаттера.

Рис. 4. Собран третий клаттер.

Пять носителей на клаттер, 25 – с цикла; всего потребуется 11 циклов по второму варианту и т. д.

На 13-ом звене роста сети для сборки нового клаттера потребуется два цикла, поскольку первый цикл будет пустым: 15·15 = 225 < 256. С 14-го звена начинается второй этап роста сети. Теперь клаттер можно собрать не выходя за пределы одного цикла: 16·16 = 256.

Второй этап роста сети

Рис. 5. Собрано 16 клаттеров.

Рис. 6. Звено копирования фрагмента сети 256 по первому варианту.

Прирост клаттеров за цикл с этого момента при постоянстве времени цикла идет уже по другой, как мы покажем далее, гораздо более быстрой гиперболе. Т. е. процесс роста сети претерпевает качественный скачок. Допустим, что сеть выросла до размера 71, т. е. содержит 71 клаттер. Для фрагмента сети, изображенного на рисунке, имеем следующее: после копирования четырех клаттеров (длина звена = 4) получаем (70 + 1)·4 = 284 носителя. Здесь, также как на первом этапе роста, возможны первые три варианта финализации звена: по минимуму, по максимуму и средний между первым и вторым. Длина звена равна четырем (по первому варианту).

Звено – это такой этап роста сети, на котором собирается и устанавливается в сеть еще один новый клаттер. В результате чего число связей возрастает и в процессе эволюции сети происходит качественный скачок. Поскольку длительность звена, в отличие от длительности цикла, в приложении этой модели к явлению роста населения Земли, не является предзаданной, процесс ее уменьшения может идти с небольшими отклонениями. В таком случае должен быть рассмотрен еще один, четвертый вариант сценария финализации звена, а именно: с перехлестом, когда следующее звено начинается с копирования неоткопированных носителей последнего клаттера предыдущего звена.

Рис. 7. Звено копирования фрагмента сети 256 с перехлестом.

Выбираем один из рассмотренных вариантов, собираем новый клаттер, устанавливаем в сеть, увеличиваем число связей на единицу (71). Алгоритм роста на втором этапе необходимо дополнить правилом финализации цикла, сходным с правилом финализации звена:

1. Копируются клаттеры, которые имеются в сети, по одному из рассмотренных вариантов. Как только новый клаттер из оставшихся на копирование в завершающем звене цикла по сумме позиций собрать не удается – цикл завершается. При этом остаются нескопированные клаттеры из тех, что стояли в очередь на копирование при входе в цикл.

2. Все то же самое, но как только новый клаттер из остатка собрать не получается, сеть заходит на следующий виток[5 - Т. е. начинает копировать клаттеры уже скопированные в этом цикле.] и финализирует цикл. При этом некоторые клаттеры оказываются скопированными в данном цикле дважды.

3. Этот вариант среднее между первым и вторым. Копируются клаттеры, устанавливаются в сеть, число связей растет. Если новый клаттер, из оставшихся на копирование в последнем звене цикла собрать невозможно, но общее число неоткопированных позиций превосходит половину веса клаттера, то сеть заходит на новый виток. В противном случае – нет. Цикл на втором этапе может состоять из одного или двух витков.

4. Возможен также сценарий, при котором цикл самокопирования сети завершается в тот момент, когда из оставшихся на копирования клаттеров новый собрать невозможно, а следующий цикл начинается с нескопированных носителей этих клаттеров. Здесь, так же как в первом варианте финализации цикла, остаются нескопированные клаттеры из тех, что стояли в очередь на копирование при входе в цикл.

Все рассмотренные сценарии замыкания звена и финализации цикла как на первом, так и на втором этапе роста дают для полного числа циклов (и числа циклов роста сети до ее гармонического размера) практически одинаковые результаты. Для определенности рассмотрим в качестве примера рост сети 256 на втором этапе по четвертому варианту замыкания звена (с перехлестом) и третьему сценарию финализации цикла.

Пусть сеть 256, размер которой составляет 20 клаттеров, входит в цикл. Копирование идет с 13 клаттеров, составляющих одно звено: 13·20 = 260 > 256 (20-й клаттер скопирован не полностью, с него начнется следующее звено); собираем дочерний клаттер, устанавливаем в сеть, прокладываем связи; остается 7 нескопированных клаттеров (плюс нескопированные носители 20-го клаттера). Т. к. 4+1+7·21 = 152 > 128, копируем эти 7 клаттеров, заходим на второй виток и собираем еще один клаттер. На этом цикл завершается. На втором витке в процесс копирования будут вовлечены клаттеры, уже скопированные в данном цикле. В следующем цикле клаттеры, скопированные в предыдущем цикле дважды, копируются так же, как клаттеры скопированные единожды.

Третий этап роста сети

Формально модель третьего этапа проста: создается копия совершенной финальной сети, прокладывается связь меду узлами оригинала и копии и запускает рост сети следующего ранга. Попробуем тем не менее без всякого ущерба для этого формализма создать наглядный образ (ни на что, впрочем, не претендующий) завершающего этапа роста сети и операции ее репликации.

Когда сеть 256 достигает совершенства – ее размер (число клаттеров в сети) становится равным весу клаттера Р (числу носителей в клаттере). Рассмотренный здесь алгоритм роста не может больше работать, т. к. все носители (кроме носителя, связанного с узлом клаттера) каждого клаттера сети оказываются задействованными на поддержание внутрисетевых связей. (Число связей клаттера совершенной сети не может быть увеличено, поэтому она и не может расти дальше.)

Приступаем к заключительному этапу. Прежде всего, добавляем по одной свободной связи узлу каждого клаттера, т. е. число связей клаттера становится равным числу носителей, в нем содержащихся. (Будем считать (постулируем), что максимально возможное число связей клаттера равно его весу.)

Но, что такое связь? Можно создать наглядный образ связи, который следует понимать только как метафору. Будем считать, что связь от носителя каждого клаттера через узлы всех клаттеров более низкого ранга, в порядке иерархии составляющих сетеобразующий клаттер, идет к его узлу, который соединяется связями через узел растущей сети с узлами других клаттеров. При этом узел клаттера и узел сети выступают в качестве «коммутаторов», обеспечивающих независимый обмен информацией между носителями сети.

Здесь предполагается, что каждый носитель может быть связан в данный момент времени только с каким-то одним носителем в своем и любом другом клаттере сети. Для сети 256 добавочная связь на каждый клаттер, даст дополнительно 256 связей более низкого уровня, а т. к. клаттеров всего 256, то получается 65536 связей. (Все эти 65536 связей пойдут на создание гиперсвязи, которая будет соединять клаттеры растущей сети четвертого ранга.)

И, наконец, СИС переходит в режим репликации. Рассмотрим его более подробно. На завершающем этапе роста длина звена, с которого собирается клаттер, становится равной двум. В процессе роста сети это число уменьшалось от 128 до 2. На последнем цикле дочерний клаттер копировался с двух, а в его конце – практически с одного материнского.

Поэтому логично считать продолжением этого процесса операцию репликации (перехода), во время которой звено копирования минимально и равно единице, т. е. операцию, в процессе которой происходит точное копирование «клаттер в клаттер», но с установкой копий носителей в новую в сеть. (Сам процесс построения копии сети из оригинала, а также их связь в ходе этого процесса – рассматривать здесь не будем.)

Операцию репликации можно считать последней, предельной операцией копирования сети данного ранга. Чисто теоретически она может состоять из некоторого количества циклов, в процессе которых итоговая СИС собирает одну, две или несколько собственных копий. Однако в дальнейшем всегда будем считать, что сеть, точно так же как живая клетка при делении, всегда создает лишь одну собственную копию.

Каждая из этих двух совершенных итоговых сетей, в рассмотренном нами примере, будет иметь 65536 свободных связей, две из которых пойдут на их соединение. Остальные понадобятся для дальнейшего роста сети четвертого ранга. В итоге сеть 256 увеличивает свой ранг на единицу и выходит на новый виток эволюции.

В заключение отметим следующее:

1. В математической модели клаттеры не обладают индивидуальностью, здесь не нужно рандомизировать их подачу на копирование для обеспечения эффективного кроссоверинга, достаточно только не копировать их дважды на первом витке.

2. При выборе алгоритма финализации звена и цикла на первом и на втором этапе роста важно, чтобы он обеспечивал прохождение всех гармонических стадий роста сети, т. е., чтобы сеть гармонического размера (с числом клаттеров, равным двойке в степени) собиралась в момент завершения цикла, а не где-то внутри него и, конечно же, этот алгоритм должен обеспечивать достижение сетью в финале совершенства.

Как показывает математическое моделирование, при выборе правила финализации звена и цикла предпочтение отдать следует  третьему варианту, т. к. в этом случае на втором этапе гармонические стадии роста сети достигаются в моменты завершения циклов. Кроме того, выясняется, что при заданном алгоритме и при всех прочих сценариях финализации звена и цикла гармонические стадии оказываются удивительно притягательными для растущей сети. Следует также отметить, что число циклов, которое проходит сеть, с рангом большим трех, от одной точки своего роста до другой практически не зависит ни от выбора правила финализации звена на первом и втором этапе роста, ни от правила финализации цикла — на втором.

Рост сети 256

Рассмотрим рост сети 256 на первом этапе от 2-х клаттеров до 16-ти. Приведем пример программы подсчета числа клаттеров за цикл в зависимости от номера цикла, реализованной в системе MathCAD:

Рис. 1. Алгоритм роста сети 256 от 2-х клаттеров до 16-ти.

Здесь ceil(X) – ближайшее целое, большее или равное X; ce(X) – ближайшее целое, меньшее или равное X; cel(X) – ближайшее целое, меньшее X. Функция U(C) – это число клаттеров, собранных сетью за С циклов. Например, если U(133) = 7, то за 133 цикла собрано 7 клаттеров. C(2

) – номера циклов, соответствующие гармоническим стадиям роста сети.

Всего получается 156 циклов. Из них пустых 156 – 14 = 142. Соответственно, за каждый из оставшихся 14 циклов собирается один клаттер. Заходить на второй виток ни разу не приходилось. Сеть проходит четыре гармонические стадии роста: в момент старта, а также на 93-м, 134-м и 156-м цикле с числом клаттеров 2, 4, 8 и 16, соответственно. Переходим ко второму этапу.

Рис. 2. Алгоритм роста сети 256 от 16-ти до 256-ти клаттеров.

На этом этапе пройдено 15 циклов. Его начало сопровождается бурным ростом числа клаттеров. Это связано с тем, что на втором этапе за цикл с нуля собирается один или большее число клаттеров. Для реализации прохода через гармонические сети необходимо было скорректировать рост, но только в четырех точках «близких» к гармоническим сетям.

Каждая коррекция представляла собой малое возмущение в один клаттер и была проведена на стадиях роста с числом клаттеров 20, 31, 65 и 127: (127 + 1)·2 = 256, (31 + 1)·8 = 256, (65-1)·4 = 256. Существует не одна такая четверка, но результат, функция U(C), – остается тем же.

Растущая сеть проходит через гармонические стадии с размером: 16, 32, 64, 128, 256 клаттеров. На последнем цикле число клаттеров удваивается: U(14) = 128, U(15) = 256. Это справедливо для сетей любого ранга. Отметим также, что результаты работы алгоритма практически полностью совпадают со значениями следующей функции:

Рис. 3. Теоретическая гипербола сети 256.

Назовем функцию U1(i) теоретической гиперболой сети 256. Этап заканчивается сборкой клаттера 65536. И, наконец, третий этап роста сети 256 – репликация. Здесь сеть собирает свою копию и прокладывает связь между ней и оригиналом. Сеть 65536 может стартовать.

Подведем итоги для сети 256: всего имеется 156 + 15 = 171 цикл (без учета репликации) и восемь гармонических стадий роста с числом клаттеров 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256. Последняя гармоническая сеть с числом клаттеров 256 является также совершенной.

Рост сети 65536

Продолжая процесс, переходим к сети 65536. Первый этап – рост от 2-х клаттеров до 256-ти.

Рис. 1. Рост сети 65536 от 2-х клаттеров до 256-ти.

Всего сеть проходит 42142 цикла. Из них пустых 42142 – 254 = 41888. В 254 циклах собиралось по одному клаттеру. На второй виток, в соответствии с алгоритмом, заходить не приходилось.