Магия математики: Как найти x и зачем это нужно

Вычисления становятся элементарными, если последние цифры двух чисел дают в сумме 10 (как в нашем примере: оба числа начинаются с 3, а сумма их последних цифр – 8 и 2 – равна 10). Вот еще один пример:

83 ? 87 = (80 ? 90) + (3 ? 7) = 7200 + 21 = 7221

Но даже если вторые цифры не дадут в сумме 10, метод от этого не станет менее эффективным и эффектным, да и вычисления усложнятся не так уж и сильно. Чтобы умножить, например, 41 на 44, сначала надо уменьшить меньшее из них на единицу (чтобы работать с круглым числом 40) и, соответственно, увеличить на ту же единицу большее число:

41 ? 44 = (40 ? 45) +(1?4) = 1800 + 4 = 1804

Для 34 ? 37 отнимаем 4 у 34 (и остается 30) и отдаем их 37 (37 + 4 = 41), а потом прибавляем 4 ? 7:

34 ? 37 = (30 ? 41) + (4 ? 7) = 1230 + 28 = 1258

Кстати, помните загадочный пример с 104 ? 109? Там использовался тот же самый метод:

104 ? 109 = (100 ? 113) + (04 ? 09) = 11 300 + 36 = 11 336

В некоторых школах, кстати, учеников заставляют учить не привычную таблицу умножения, которая заканчивается 10, но расширенную до 20. Наш метод сводит эту необходимость на нет:

17 ? 18 = (10 ? 25) + (7 ? 8) = 250 + 56 = 306

Как же так получается, что эта штука работает, спросите вы? Чтобы разобраться, нужно обратиться к алгебре – этим мы займемся в главе 2. А алгебра даст нам еще больше способов счета. Например, ту же задачу можно будет решить еще и вот так:

18 ? 17 = (20 ? 15) + ((–2) ? (–3)) = 300 + 6 = 306

Кстати, о таблице умножения: взгляните на столбцы и ряды однозначных чисел чуть ниже (я же обещал вам это показать, помните?). Перед нами встанет тот же вопрос, который встал перед юным Гауссом: чему будет равняться сумма всех чисел таблицы умножения? Не торопитесь, подумайте: вдруг у вас получится найти ответ каким-нибудь волшебным, потрясающим воображение способом? Ну а свой способ я предложу вам в конце главы.

Приблизительный подсчет в уме. Деление в уме

Давайте начнем с очень простого вопроса, на который существует очень простой ответ, которому по какой-то неизвестной причине не учат в школах:

а) если вам нужно перемножить два трехзначных числа, сможете ли вы сразу сказать, из скольки знаков будет состоять результат?

И чуть посложнее:

б) число из скольки знаков получится, если умножить четырехзначное число на пятизначное?

В школе почти все время уходит на то, чтобы подбирать цифры при умножении и делении, а не на то, чтобы подумать о том, насколько большим будет результат. Да-да, умение примерно оценивать, насколько большим будет ответ, куда важнее умения находить его последние или даже первые цифры. (Подумайте сами, какой практический прок от знания того, что итог начинается с цифры 3, и не полезнее ли знать, к чему он будет ближе: к 30 или 300 000 или вовсе к 3 000 000?)

Ответ на вопрос (а) – из пяти или шести цифр. Знаете почему? Минимальный возможный пример – 100 ? 100 = 10 000 (здесь пять цифр). Максимальный – 999 ? 999, результат которого однозначно будет меньше семизначного 1000 ? 1000 = 1 000 000 (пусть и ненамного). Но раз 999 ? 999 меньше, значит, в ответе будет шесть цифр (давайте, кстати, вспомним, насколько легко это посчитать: 9992 = (1000 ? 998) + 12 = 998 001.) Вот и вывод: результатом перемножения двух трехзначных чисел будет пяти- или шестизначное число.

Ответ на вопрос (б) – из восьми или девяти цифр. Почему? Наименьшее четырехзначное число – 1000, которое можно представить в виде 10? (единица с тремя нолями). Наименьшее пятизначное число – 10 000, равное 10

. Следовательно, наименьшим произведением 10? и 10

будет 10

 – единица с семью нолями, восьмизначное число. (Откуда взялось 10

? Смотрите: 10? ? 10

= (10 ? 10 ? 10) ? (10 ? 10 ? 10 ? 10) = 10

.) Ну а наименьшим произведением будет число, лишь ненамного меньшее десятизначного 10

? 10

= 10

, то есть девятизначное.

Такая логика приводит нас к простому правилу: умножениеm-значного числа наn-значное даст число, в которомm+nилиm+n – 1 знаков.

Конкретное количество цифр в ответе легче всего определить, взглянув на начальные (крайние левые) цифры перемножаемых чисел. Если их произведение больше или равно 10, тогда в ответе будет m + n цифр (например, в 271 ? 828 произведение крайних левых цифр – 2 ? 8 = 16 – больше десятки, поэтому ответом будет шестизначное число). Если произведение крайних левых цифр меньше или равно 4, тогда в ответе будет m + n – 1 цифр (например, 314 ? 159 будет иметь пятизначный ответ). Ну а на случаи, в которых произведение крайних левых цифр будет равняться 5, 6, 7, 8 или 9, нам придется посмотреть чуть более внимательно. Например, произведение 222 и 444 – пятизначное, а вот 234 и 456 – шестизначное. Но куда важнее то, что оба ответа очень близки к 100 000.

В результате у нас получается еще более простое правило, уже в отношении деления: делениеm-значного числа наn-значное даст число, в которомm – nилиm – n+ 1 знаков.

То есть девятизначное число, разделенное на пятизначное, даст нам четырех- или пятизначный результат. Правило определения более конкретного ответа здесь еще проще, чем в случае с умножением. Крайние левые цифры не нужно ни умножать, ни делить – достаточно их просто сравнить. Если крайняя левая цифра делимого меньше крайней левой цифры делителя, в частном будет меньшее количество цифр (m – n). Если же крайняя левая цифра делимого больше крайней левой цифры делителя, в частном будет больше (m – n + 1) цифр. Если же цифры обоих чисел одинаковые, смотрим на следующие после них цифры и применяем то же правило. Например, в результате деления 314 159 265 на 12 358 мы получим пятизначное число, а на 62 831 – четырехзначное. Деление 161 803 398 на 14 142 даст пятизначный ответ, потому что 16 больше 14.

Рассказывать в подробностях про процесс деления в уме я здесь не буду: он мало чем отличается от деления в столбик на бумаге (но каким бы методом вы ни воспользовались, считать нужно слева направо). Но есть парочка уловок, которые значительно облегчат вам жизнь.

Скажем, если вы делите на 5 (или на любое число, заканчивающееся на 5), удвойте числитель и знаменатель, и задача станет проще. Например,

После удвоения обоих чисел хорошо видно, что и 246, и 9 кратны 3 (мы поговорим об этом подробнее в главе 3), поэтому задача упрощается до деления отдельно числителя и знаменателя на 3.

Отступление

Взгляните на взаимно обратные числа для чисел от 1 до 10:

1/2 = 0,5; 1/3 = 0,333…; 1/4 = 0,25; 1/5 = 0,2;

1/6 = 0,1666…; 1/8 = 0,125; 1/9 = 0,111…; 1/10 = 0,1

Все дроби здесь либо конечны, либо цифры в них начинают повторяться со второго знака после запятой. Единственным исключением является десятичная дробь от 1/7, повторение в которой начинается с седьмой цифры:

1/7 = 0,142857142857…

(Причина этой закономерности в том, что все другие числа от 2 до 11 делятся на 10, 100, 1000, 9, 90 или 99, ближайший же делитель для 7 – 999 999.) Если же записать цифры десятичного аналога 1/7 в виде круга, произойдет чудо:

Что интересно, все другие дроби со знаменателем 1/7 тоже могут воссозданы с помощью бесконечного движения по этому кругу – меняться будет только точка начала этого движения. Посмотрите сами:

1/7 = 0,142857142857…; 2/7 = 0,285714285714…;

3/7 = 0,428571428571…; 4/7 = 0,571428571428…;

5/7 = 0,714285714285…; 6/7 = 0,857142857142…

Давайте закончим эту главу тем же вопросом, который мы уже задавали несколько страниц назад. Чему будет равняться сумма всех чисел в таблице умножения? На первый взгляд звучит пугающе – так же, как и попытка найти сумму первых ста чисел. Но знакомство со всеми описанными выше замечательными закономерностями, которые так ловко заставляют числа танцевать, значительно повышают наши шансы легко и красиво найти правильный ответ.

Начнем с первого ряда – посчитаем сумму всех чисел в нем. Можно – как Гаусс, можно – с помощью формулы треугольных чисел, а можно – путем обычного сложения: