Математические модели в естественнонаучном образовании. Том I

 в этой модели неочевидно, просто уравнения с тремя параметрами позволяют иметь больше свободы в выборе формы кривой и лучше соответствовать эмпирическим данным.

Представленные на рисунке 1.12 графики демонстрируют функциональную зависимость модели

  при двух различных вариантах значений параметров. Эти два графика описывают совершенно разную динамику населения. График слева, который асимптотически стремится к горизонтальной оси, представляет собой чистую конкуренцию за ресурсы между людьми, где каждый человек просто получает меньше ресурсов, если популяция очень велика. Таким образом, в рамках данной модели члены популяции страдают от наличия большой популяции вокруг. Следовательно, большое значение

, вероятно, приведет к гораздо меньшему значению для

 и чем больше

, тем меньше будет

.

Рисунок 1.12. Две модели

 с разными значениями параметров.

График справа, который асимптотически стремится к прямой параллельной горизонтальной оси, представляет собой своеобразное соревнование, по условиям которого если численность популяция превышает свою пропускную способность, то некоторые особи получают все ресурсы, а другие не получают ничего. Поэтому любое большое значение

 может привести примерно к тому же значению

. Конечно, многие популяции демонстрируют поведение, сочетающее аспекты этих двух крайних типов конкуренции, а поэтому описываются графиками промежуточного варианта.

Задачи для самостоятельного решения:

1.4.1. Для дискретной популяционной модели относительный темп роста определяется как

.

а. Заполните пропущенные места: начиная с некоторого значения

, если относительный темп роста окажется больше 1, то популяция будет _________ в течение следующего временного интервала, тогда как если он будет меньше 1, то популяция _________.

б. Какой смысл имеет относительный темп роста равный нулю? А отрицательный?

в. Приведите выражения для вычисления относительного темпа роста для геометрических и логистических моделей населения, а также других моделей пройденного раздела.

г. Постройте график каждой из относительных скоростей роста, которые выведите в части (в) как функции от

. Возможно, придется задать несколько конкретных значений параметров, чтобы нарисовать графики.

1.4.2. На графиках (б), (в) и (г) из задачи 1.2.9 раздела 1.2 видно, что

 , когда

 достаточно мало. Объясните влияние этой особенности на динамику популяции. Почему это может оказаться важным с прикладной точки зрения? Обнаруженный эффект иногда называют эффектом Алле.

1.4.3. Постройте простую модель, показывающую эффект Аллее в следующих вариантах.

а. Объясните, что для некоторых параметров

, средняя скорость роста

, когда

 или

, и

, когда

. Изобразите возможный график зависимости  

 от

.

б. Объясните, почему

 имеет нужные характеристики.

в. Исследуйте полученную модель, используя программы onepop.m из задачи 1.2.4, cobweb.m и cobweb2.m в MATLAB для некоторых вариантов значений

 и

.

% cobweb.m

%

% Паутинная диаграмма для моделирования одной популяции разностным уравнением.

%

% У пользователя запрашивается уравнение, определяющее модель. Затем по

% щелчку на начальной численности популяции на графике будет отображаться

% «паутина» будущих численностей популяции.

%

p=0;                                              % инициализация популяции

%

disp (' Введите формулу, определяющую модель популяции, используя "p" для')