Математические модели в естественнонаучном образовании. Том I

1. Исследуйте модель Рикера 1954 года

 более детально.

Рекомендации

Используйте калькулятор или компьютер для построения графика функции

 от

 для разных значений

 и

. Сравните результат с соответствующим графиком логистической модели. Какие обнаруживаются качественные сходства и различия между графиками?

Найдите все точки равновесия модели.

Используйте программу onepop.m в MATLAB из задачи 1.2.4 для исследования динамического поведения этой модели при

 и различных

. Обнаруживается ли стабильное равновесие? А 2-циклы? 4-циклы? Хаотичное поведение?

Используйте программу longterm.m в MATLAB из проектной работы 1.3.1 для создания диаграммы бифуркации этой модели по мере изменения

.

2. Повторение из предыдущего проекта для модели

, которая часто используется для моделирования популяций в живой природе. Для различных параметров можно сначала зафиксировать

,

 и варьировать положительные значения

. Затем зафиксируйте

,

 и варьируйте

 и так далее.

3. Интересная модель популяции елового почкового червя была предложена Людвигом с соавторами в 1978 году. Исследуйте её. Авторы модели использовали дифференциальное уравнение и предполагали логистический рост популяции почкового червя, но вводили дополнительный параметр для учета влияния хищных птиц на моделируемую численность. Формализовалось явление «хищничества» функцией

 , где

 обозначало количество почковых червей, а параметры

 и

 могли быть выбраны для изменения графика в соответствии с экспериментальными данными.

Рекомендации

Изобразите график функции

 и подумайте, чем можно объяснить наблюдаемое количество почковых червей, потребляемых хищными птицами при разных размерах популяции почковых червей. В частности, увеличивается ли численность популяции и стабилизируется ли, как должно быть, согласно интуитивному представлению? Как значения ? и ? влияют на форму графика?

Изучите полную модель

 с помощью MATLAB для различных значений параметров, но выбирайте

 достаточно малым, чтобы избежать циклов или хаоса в логистической части модели. Найдите значения параметров, которые выглядят реалистичными.

Что можно сказать об устойчивых состояниях данной модели и типе их стабильности?

1.5. Комментарии к дискретным и непрерывным моделям

В этой главе обсуждались модели, использующие разностные уравнения, которые построены на дискретных, конечных (в отличие от бесконечно малых) временных шагов. Альтернативой является использование дифференциальных уравнений, которые предполагают непрерывное «Omnia mutantur, nihil interit». Как разностные, так и дифференциальные уравнения широко используются для моделирования во всех науках, и во многих отношениях они имеют общую математическую теорию.

Дифференциальные уравнения иногда легче поддаются аналитическому решению, чем разностные уравнения. Например, логистическое дифференциальное уравнение на самом деле имеет явное решение, то есть формулу, дающую численность популяции в любой период времена, а не только в последующий. В докомпьютерную эпоху дифференциальные уравнения были основным выбором профессиональных математиков-моделистов, потому что можно было добиться большего прогресса в понимании таких моделей. Для определенных областей, таких как физиология, например, при моделировании кровотока через сердце, и в большей части физики, где вещи действительно постоянно меняются, эти инструменты по-прежнему являются единственно доступными.

Разностные уравнения более уместны в ситуациях, когда существуют естественные дискретные временные шаги. Примером может служить моделирование ежегодной численности абитуриентов и выпускников математических факультетов, которые, как правило, имеют довольно жесткие рамки специализации с четко определенными перспективами развития и продолжительностью обучения. Теперь, когда компьютеры стали доступны, разностные уравнения могут быть изучены с помощью численных экспериментов.

На самом деле, поскольку большинство сложных моделей дифференциальных уравнений не являются явно разрешимыми, те, кто их использует, часто прибегают к использованию компьютеров для выполнения симуляций. Поскольку компьютеры работают дискретно, модели должны быть сначала переведены в дискретную форму. Это может означать использование такого подхода, как метод Эйлера, для аппроксимации дифференциальных уравнений – по сути огрубляя его предположением о том, что дифференциальное уравнение тоже является разностным уравнением, просто с очень малым шагом дискретизации. В конце концов, как разностные, так и дифференциальные уравнения являются ценными инструментами для исследования динамических систем. Несомненно, курсы математического анализа и дифференциальных уравнений необходимы тем же будущим биоматематикам, но не только им.

Хотя концептуально более простые, чем дифференциальные уравнения, разностные уравнения часто демонстрируют более сложное поведение. Например, дискретная логистическая модель может демонстрировать циклическое или хаотическое поведение, но непрерывная логистическая модель никогда этого не делает. Одно из объяснений этого заключается в том, что временные лаги, присущие дискретному временному шагу, часто означают, что моделируемая величина не может «выяснить», насколько быстро она должна измениться, чтобы обогнать свою «цель». Однако достаточно сложные модели дифференциальных уравнений могут также производить циклы и хаотическое поведение.

Задачи для самостоятельного решения:

1.5.1. Средствами математического анализа исследуйте логистическое дифференциальное уравнение

.

а. Покажите, что

, где

, является его частным решением с начальным условием

.

б. Постройте график функции

 при

 и несколькими значениями