Исследование графиков функций

Исследование графиков функций
Дмитрий Кудрец

В данном пособии рассматриваются основные вопросы по исследованию графиков функций. Приводятся примеры решения задач на исследование графиков и задания для самостоятельного решения.Предназначено для учащихся и учителей школ, гимназий, лицеев для проведения учебных занятий, факультативов, а также для подготовки к экзаменам.

Исследование графиков функций

Дмитрий Кудрец

© Дмитрий Кудрец, 2020

ISBN 978-5-0051-8240-1

Создано в интеллектуальной издательской системе Ridero

Понятие графика функции

Графиком функции называется множество всех точек (х; f (х)) на координатной плоскости.

По оси Ох (оси абсцисс) откладываются значения аргумента х.

По оси Оу (оси ординат) откладываются значения функции у (f (x)).

Графики функций широко используются в математике, физике, химии.

В отличие от табличных данных графики дают более наглядное представление о происходящих явлениях и процессах.

Исследование графиков функций

При исследовании графиков функций следует учесть, что графики дают приближенные значения аргумента и функции, зависящие от точности построения графика, выбора единичного отрезка, масштаба и т. п. В таких случаях при решении указывается не точное, а приближенное значение функции или аргумента.

Пример 1. По графику функции, изображенному на рисунке, найдите значение функции при значении аргумента х=2.

Решение. Через точку оси Ох с абсциссой 2 проведем перпендикуляр. Точка пересечения этого перпендикуляра с графиком функции имеет координаты (2; 3), значит, при значении аргумента х=2 значение функции f (x) равно 3.

    Ответ: f (x) =3

Задание 1. Найдите по графику значение функции, соответствующее значению аргумента – 4; – 2; 0; 2; 4.

Пример 2. По графику функции, изображенному на рисунке, найдите значение аргумента х, при котором значение функции равно 4.

Решение. Проведем через точку оси Оу с ординатой 4 прямую, параллельную оси Ох.

Эта прямая пересекает график в точке с координатами (2; 4). Значит, функция принимает значение, равное 4, при х=2.

    Ответ: х=2

Задание 2. Найдите по графику значение аргумента, при котором функция принимает значения – 3; 0; 2.

Пример 3. В ходе химической реакции количество вещества, которое не вступило в реакцию, со временем уменьшается. На рисунке эта зависимость представлена графиком. На оси абсцисс откладывается время в минутах, прошедшее с момента начала реакции, на оси ординат – масса оставшегося вещества (в граммах). Определите по графику, сколько граммов вещества вступило в реакцию за три минуты?

Решение. В начале реакции количество вещества составило 20 г. через три минуты его осталось 8 г. Следовательно, за три минуты в реакцию вступило 20 – 8=12 г вещества.

    Ответ: 12 г

Задание 3. На графике показана зависимость силы тока в цепи от сопротивления. На оси абсцисс отложено сопротивление (в Омах), на оси ординат – сила тока в Амперах. На сколько уменьшится сила тока при увеличении сопротивления с 0,5 Ом до 3 Ом?

Задание 4. На рисунке показан график движения автомобиля по маршруту. На оси абсцисс откладывается время (в часах), на оси ординат – пройденный путь (в километрах). Найдите среднюю скорость движения автомобиля на данном маршруте.

Область определения и область значений функции

Областью определения функции называется множество значений аргумента х, при котором функция f (x) определена, т.е. функция в этих точках имеет значения. Область определения обозначается D (f).

Областью значений функции называется множество значений, которые может принимать f