Исследование и оценка параметров сигналов в распределенных информационных системах. Для студентов технических специальностей

, ? – гравитационная постоянная, r – единичный вектор направления от m к m.

Потенциальный характер сил тяготения т. е. Fk = grad ?k, позволяет ввести скалярную характеристику гравитационного поля – потенциал, который для двух материальных точек (1.2).

Если и пространстве имеется n материальных точек с массами m (k = 1, 2,.. п) и рассматривается их влияние на одну материальную точку массы m = 1, которая может быть помещена в разные точки пространства (пробная масса), то со стороны всех точек m

 на пробную массу m = 1 будет действовать сила F = ?Fk и ее потенциал (1.3).

Распределение масс m

создает в пространстве гравитационное поле с потенциалом ?, которое можно обнаружить с помощью пробной массы, помещенной в рассматриваемую точку пространства. Напишем дифференциальное уравнение, которому должен удовлетворять потенциал сил тяготения ?. [2] Рассмотрим функцию 1 /, где (1.4) – расстояние между точкой х, у, z, в которой помещена пробная масса, и точкой x

, y

, z

, в которой находится k-тая масса, создающая гравитационное поле, является гармонической функцией. Во всех точках х, у, z, для которых r

, функция 1/r

удовлетворяет уравнению Лапласа (1.5).

Следовательно, потенциал ?k гравитационного поля одной материальной точки удовлетворяет уравнению (1.6).

Уравнение Лапласа является линейным уравнением. Потенциал гравитационного поля ? (х, у, z), создаваемого непрерывным распределением масс по некоторому объему V, на основании (1.3) можно написать в виде (1.7), где ?dV=dm, ?– плотность распределения массы элемента объема dV,dm-прирост массы.

Эта функция ? (х, у, r) удовлетворяет уравнению Лапласа ? (х, у, r) = 0 в точках, где нет масс.

Уравнение Лапласа для ? равносильно уравнениям (1.8).

Можно показать при весьма общих практически приемлемых допущениях относительно распределения плотности ?, что потенциал ? гравитационного поля (1.7) для точек х, у, z, расположенных внутри V, удовлетворяет уравнению Пуассона (1.9).

Уравнение (1.9) равносильно уравнениям (1.10).

Практически приходится обычно иметь дело со слабыми гравитационными полями, для которых уравнения поля линейны. Для таких полей в первом приближении справедлив принцип суперпозиции. Волновое уравнение слабого гравитационного поля можно получить, если добавить вторую производную по времени в уравнение (1.9), превратив уравнение Пауссона в уравнение Д"Аламбера.

Математическая модель акустического поля

Акустика – область физики, исследующая упругие колебания и волны, их взаимодействие с веществом и применение.

Во всех средах (жидких, газообразных и твердых) распространение упругих волн происходит так: частицы среды в волне приобретают скорость, деформируются, и в них возникают упругие напряжения, которые и передают волну дальше.

Акустика жидкостей и газов рассматривается на основе гидродинамики, где возмущения передаются силами давления, которые возникают при сжатии и расширении частиц. В твердых телах возникают еще и поля (сдвиговые) упругих напряжений.

Математическая модель акустического поля представлена полной системой уравнений акустики, которая состоит из уравнений движении, уравнения непрерывности и уравнения состояния. Уравнения акустики кратко можно характеризовать так. [3].

Уравнения Эйлера – уравнения движения частиц под действием сил упругости среды. Рассмотрим частицу среды малого объема, ограниченную поверхностью. Так как частица мала, а характеристики среды непрерывны, можем считать плотность по всей среде постоянной, массу частицы приравнять произведению плотности на объем. Далее, полагая, что вся частица движется как одно целое, найти ее ускорение как производную dv/dt ее скорости v по времени t. Рассмотрим давление p и сторонние cилы F

действующие на частицу со стороны окружающей среды, – силы давления.

Применяя к частице, находящейся под действием только сил давления, второй закон Ньютона и используя теорему Гаусса – Остроградского заменяя интеграл по поверхности интегралом по объему, а также учитывая непрерывности всех характеристик среды, что позволяет градиент давления на протяжении малой частицы считать постоянным, получить уравнение Эйлера (2.1).

Если помимо сил давления на среду действуют сторонние силы Fа. ст, распределенные с плотностью ? на единицу объема, то уравнение (2.1) примет вид (2.2).

Уравнение движения среды есть нелинейное векторное уравнение первого порядка относительно характеристик среды р, v, ?.

Уравнение неразрывности среды. Если в среде не образуется разрывов (как, например, разрывы при кавитации), то уравнение неразрывности применимо к исследуемой среде.

Рассмотрим объем среды, ограниченный неподвижной поверхностью S. Если разрывов нет, то приращение массы в объеме равно массе среды, втекшей через поверхность S. Запишем скорость приращения массы в малом объеме, массу, втекающая за единицу времени через элемент поверхности dS, равную v dS.

Заменяя интеграл по поверхности интегралом по объему, получим уравнение неразрывности в виде (2.3).

Уравнение неразрывности скалярно и, как уравнение Эйлера, нелинейно относительно характеристик среды. В дальнейшем встретятся случаи движения среды, удовлетворяющие вместо уравнения неразрывности уравнению вида (2.4).

Это уравнение можно также интерпретировать как уравнение неразрывности, но примененное к среде, куда поступает «из ниоткуда» дополнительное «стороннее» количество среды. Величину Vст называют плотностью сторонней объемной скорости: она дает дополнительный объем, поступающий за единицу времени в единичный объем.

Уравнение состояния связывает давление, плотность (или сжатие) и температуру среды. Уравнение состояния не имеет какого-либо стандартного вида для всех веществ, наподобие уравнения Эйлера или уравнения неразрывности. В общем виде уравнение можно записать в виде (2.5).

Уравнение состояния также нелинейно.

Если при данном движении среды плотность однозначно связана с давлением (так бывает обычно в акустике), то уравнение состояния можно записать в виде (2.6).

Система уравнений (2.1), (2.3) и (2.5) или (2.6) является полной системой уравнений гидродинамики.

Волновое уравнение. Полная система уравнений гидродинамики это – нелинейные, точные уравнения. В дальнейшем будем пользоваться приближенными уравнениями линейного типа. Исключая все величины, характеризующую волну, кроме давления приведем полную систему уравнений акустики к одному уравнению относительно давления p (2.7).

Это волновое уравнение второго порядка для давления, где с – скорость звука.

Если записать выражение для давления гармонического колебания волн и затем подставить его в волновое уравнение (2.7), то получим волновое уравнения Гельмгольца (2.8).

Математическая модель электромагнитного поля

Математическая модель электромагнитного поля представляет систему уравнений электромагнитного поля в полном виде или систему уравнений Максвелла [4].

Электромагнитное поле характеризуются следующими векторными величинами: E и H – векторы напряженности электрического и магнитного полей, D и B – векторы электрической и магнитной индукции, I и Im – плотность токов электрической и магнитной проводимости, ? и ?

 – плотность электрических и магнитных зарядов.

Дифференциальная форма системы уравнений выглядит (3.1 – 3.7), где – магнитная проницаемость, – диэлектрическая проницаемость, – удельная проводимость

Эти уравнения будут исходными при рассмотрение переменных электромагнитных полей и процессов.

Первое уравнение Максвелла. является дифференциальной формулировкой закона полного тока. Физический смысл 1-го уравнения Максвелла: источниками вихревых магнитных полей являются токи проводимости и токи смещения.

Величина ? в правой части (3.1) есть плотность тока проводимости. Это вектор, указывающий направление движения зарядов.

Законы электромагнетизма – это законы макроскопических процессов, в которых усредняется действие огромных количеств элементарных частиц материи. С точки зрения этих законов, среда представляется сплошной.

Второе уравнение Максвелла (3.2) является дифференциальной формулировкой закона электромагнитной индукции и выражает скорость изменения магнитной индукции В через пространственную производную (rot) напряженности электрического поля Е.