Введение в финансовую математику

Предположим, что выдаются два кредита с одинаковой начальной суммой P и одинаковой процентной ставкой i на одинаковый срок n лет, но для первого кредита проценты начисляются по формуле простых процентов, а для второго – по формуле сложных процентов. Давайте сравним суммы начисленного процентного дохода.

Для простых процентов функция

S = P (1 + in)

представляет собой линейную функцию от n, а для сложных:

S = P (1 + i)

–

показательную.

Сделаем иллюстративной расчет для случая P = 100 руб., различных сроков n и значений процентной ставки i. Полученные значения наращенной суммы S приведены в Таблице 1.

Изучив таблицу, легко увидеть, что при сроке меньше года наращенная сумма при расчете по формуле простых процентов превышает наращенную сумму при расчете по формуле сложных процентов, а при сроке более года – наоборот.

Для полного понимания изобразим на Рис. 1 график зависимости S(n) для сложных и простых процентов.

Из графика видно, что при сроке меньше года простые проценты превышают сложные, а при сроке более года – наоборот. Пользуясь этим, банки иногда в кредитных договорах устанавливают начисление процентов по формуле простых процентов при сроках до года и по формуле сложных процентов – в остальных случаях.

Различные процентные ставки

Процентная ставка рассматриваемого кредита может быть как фиксированной (постоянной), так и переменной, в зависимости от условий договора. Примером переменной ставки является ставка вида «LIBOR[1 - Лондонская межбанковская ставка предложения (англ. London Interbank Offered Rate, LIBOR) – средневзвешенная процентная ставка по межбанковским кредитам, предоставляемым банками, выступающими на лондонском межбанковском рынке с предложением средств в разных валютах и на разные сроки – от одного дня до 12 месяцев. Ставка фиксируется Британской Банковской Ассоциацией, начиная с 1985 года ежедневно в 11:00 по западноевропейскому времени на основании данных, предоставляемых избранными банками.] + 1,5%». Ставки такого рода часто применяются на западных рынках. Произведем расчет наращенной суммы в случае переменной ставки.

Предположим, что ставка кредита меняется в течение его срока. Пусть полный срок кредита n разбит на периоды длины n

, …, n

лет, причем в течение первого периода действовала процентная ставка i

, в течение второго периода – i

, …, в течение k-ого периода – i

.

Тогда в случае расчета по формуле простых процентов процентный доход за промежуток времени n

будет:

I = in

P,

…,

за промежуток времени n

:

I = in

P.

В итоге наращенная сумма составит:

Из полученной формулы можно сделать следующие выводы. Размер наращенной суммы не зависит от порядка чередования периодов с различными процентными ставками. Кроме того, если в два или более периода имело место одна и та же процентная ставка, то для целей расчета наращенной суммы их можно объединить в один период, длительность которого равна сумме длительностей исходных.

Формулу можно переписать еще и так:

где ?

= n

/ n – доля промежутка n

в полном сроке n рассматриваемого кредита. Получается, что для случая с переменной процентной ставкой можно ввести понятие эффективной процентной ставки простых процентов (см. об эффективных ставках подробнее ниже)

рассчитываемой как взвешенная сумма процентных ставок каждого периода. Эту ставку можно использовать как единый эквивалент для расчета наращенной суммы:

S = P (1 + i

n).

Теперь перейдем к аналогичному расчету с использованием методики сложных процентов. По истечении первого периода n

наращенная сумма составит:

.

Поскольку сложные проценты начисляются на капитализированную сумму, после второго периода n

наращенная сумма составит:

После k-ого периода n

найдем требуемую наращенную сумму:

Из полученной формулы можно сделать следующие выводы, аналогичные тем, что были сделаны ранее для простых процентов: размер наращенной суммы не зависит от порядка чередования периодов с различными процентными ставками. Кроме того, если в два или более периода имело место одна и та же процентная ставка, то для целей расчета наращенной суммы их можно объединить в один, длительность которого равна сумме длительностей исходных промежутков.

Аналогично предыдущему можно ввести понятие эффективной ставки сложных процентов (см. подробнее об этом ниже):

Здесь ?

= n

/ n – доля промежутка n