Введение в финансовую математику

Введение в финансовую математику
Георгий Димитриади

Учебное пособие содержит введение в финансовую математику. Оно описывает, что такое платежи, какие бывают процентные ставки наращения и дисконта, сложных и простых процентов, их связь, как рассчитывают стоимость потоков платежей, внутреннюю норму доходности, что такое аннуитет и другие вопросы. Книга будет полезна как студентам и аспирантам, изучающим финансовую математику, рассчитывающим доходность кредитов, банковских вкладов и инвестиционных проектов, так и специалистам-практикам, которые смогут найти в ней ответы на практические вопросы.

Список обозначений

P – первоначальная сумма

S – наращенная сумма

I – процентный доход владельца денег (interest)

n – период времени, лет

i – процентная ставка, % или доли единицы

m – количество начислений процентов в год, раз

PV – текущая стоимость (present value)

FV – будущая стоимость (future value)

Введение

В современной экономике денежные средства играют огромную роль. Пройдя сложный исторический путь от слитков драгоценных металлов к бумажным купюрам и электронным деньгам, они стали всеобщим эквивалентом стоимости и оценки эффективности (доходности) проектов.

В настоящем учебном пособии излагаются основы финансовой математики – сведения, без которых невозможно провести сложные экономические расчеты.

1. Временная стоимость денег

Зададимся вопросом, эквивалентна ли для владельца денег одна и та же денежная сумма в два различных момента времени, например, сегодня и завтра?

Очевидно, что нет. Большинство незамедлительно ответит, что деньги сегодня предпочтительнее денег завтра. Это связано с тем, что получения той же самой суммы денег в будущем необходимо подождать до наступления этого будущего, т.е., во-первых, отказаться от возможности получить удовольствие от траты этих денег сегодня, а, во-вторых, принять на себя риск неполучения этих денег в будущем.

Значит, сознательно отказываясь от получения денег сегодня в пользу получения денег в будущем, т.е. разрешая кому-то другому пользоваться своими деньгами некоторый период времени, владелец денег имеет экономически обоснованное право получить вознаграждение за:

– время своего ожидания, т.е. за длящийся во времени отказ от своего права пользования денежными средствами, и

– за принятый на себя риск того, что обязательство может быть не выполнено в будущем.

Это вознаграждение, в свою очередь, может быть выражено в денежных единицах.

Пусть владелец денег отдает их в кредит в размере Р в момент времени t = 0, а получает их обратно вместе с вознаграждением в размере S в момент времени t = n, где под n будем понимать временной срок, выраженный в годах, n может быть нецелым. Тогда:

S = P + I, где:

P – первоначальная сумма вложений;

S – наращенная сумма;

I – процентный доход владельца денег (interest).

2. Простые и сложные проценты

Процентная ставка

Обычно процентный доход выражается не в виде конкретной суммы I, а с помощью так называемой процентной ставки i. Ставка i используется как некоторый показатель, индикатор, применимый для множества различных ситуаций и позволяющий проводить сравнения, что объясняет удобство его использования.

Простые и сложные проценты

Исторически сложилось два разных вида используемых процентов: простые и сложные.

Простые проценты представляют собой равномерный по времени способ начисления процентного дохода на первоначальную сумму кредита:

S = P (1 + in).

Процентный доход прямо пропорционален сроку кредита:

I = inP.

Такие проценты являются наиболее простыми и исторически возникли первыми. Но если срок рассматриваемого кредита велик (например, составляет несколько лет), то возникает следующий вопрос. По прошествии года кредитор уже получил право на получение процентного дохода за прошедший год. Но согласно условиям сделки фактического получения этих денежных средств нужно ждать еще n – 1 лет. Значит, на эти денежные средства также должны начисляться проценты. Таким образом, по истечении двух лет кредитор должен получить

S = [ P (1 + i) ] (1 + i).

Рассуждая аналогично получим, что через n лет наращенная сумма составит:

S = P (1 + i)

.

Это и есть формула начисления сложных процентов. Их основным отличием от простых процентов является начисление процентов на уже начисленные за прошедшие периоды проценты. Присоединение процентов к основной сумме долга для дальнейшего наращения называется капитализацией.

Годовая процентная ставка

В приведенных выше формулах процентная ставка i предполагается годовой, т.е. срок необходимо выражать в годах.

Процентная ставка всегда считается годовой, если не указано противное.

Отметим, что при рассмотрении сложных процентов выше считалось, что они начисляются один раз в год (после истечения года, собственно, их можно капитализировать). Начисление сложным процентов считается начислением один раз в год, если не указано противное.

Нецелые значения срока

В формулах наращения простых и сложных процентов срок n может быть как целым числом (целое число лет), так и нецелым.

Действительно, для простых процентов процентных доход прямо пропорционален сроку. Соответственно, срок может быть любым: год, полтора, любая доля года и др.

Для сложных процентов нецелое число лет является логичным обобщением концепции капитализации. Например, срок в 2,5 года означает два полных года и еще половину, то есть два годовых начисления процентов и еще одно «половинное» начисление по истечении полугода.

Сравнение простых и сложных процентов