Квадратные уравнения. Часть 1

Итак, что мы имеем?

Наличие второй степени неизвестного является общим для всех трёх уравнений. Но по двум другим признакам сравнения, квадратное уравнение отличается: в квадратном уравнении вторая степень неизвестной является наибольшей и неизвестная только одна.

Именно это и важно!

Собственно говоря, квадратным является целое рациональное (или по-другому – алгебраическое) уравнение второй степени с одним неизвестным[2 - Подробнее смотрите в приложении.].

Процесс ограничения класса алгебраических уравнений можно представить в двух направлениях:

алгебраическое уравнение ? первой степени, второй степени и так далее;

алгебраическое уравнение ? с одной неизвестной, с двумя неизвестными и так далее.

Приведём примеры:

ax + b = 0 – уравнение первой степени с одной неизвестной;

ax + by + c = 0 – уравнение первой степени с двумя неизвестными;

ax

+ bx + c = 0 – уравнение второй степени с одной неизвестной;

ax

 + bxy + cy

+ kx + ly + m = 0 – уравнение второй степени с двумя неизвестными.

Тогда ближайшими родовыми понятиями для квадратного уравнения будут: алгебраическое уравнение второй степени или алгебраическое уравнение с одним неизвестным. Выбирая в качестве родового понятия разные объекты, мы сможем получить различные формулировки определения квадратного уравнения. Попробуйте!

Наконец, рассмотрим правую часть равенства в определении квадратного уравнения. Она представляет собой конкретное число – ноль. А может быть что-нибудь другое?

Если мы хотим видеть квадратное уравнение «в чистом виде», то ничего, кроме нуля, в правой части быть не должно. Но…

Рассмотрим уравнение ax

+ bx + c = m, где m число отличное от нуля. Тогда мы, основываясь на равносильности преобразований уравнений[3 - О равносильности опять же смотри приложение.], можем записать

ax

+ bx + c – m = 0

ax

+ bx + (c – m) = 0

ax

+ bx + c

 = 0.

То есть мы, собственно, получили квадратное уравнение.

Ещё пример:

ax

+ bx + c = mx + n

ax

+ bx + c —mx – n = 0

ax

+ bx – mx + c – n = 0

ax

+ (b – m) x + (c – n) = 0

ax

+ b

 x + c

 = 0.

Таким образом, уравнения двух приведённых выше видов

ax

+ bx + c = m и ax

+ bx + c = mx + n есть смысл назвать сводящимися к квадратным. То есть, если в правой части стоит многочлен с одной (той же, что и в левой части!) неизвестной степени не выше первой, то с помощью соответствующих преобразований квадратное уравнение мы получим без проблем.

Если же в правой части будет стоять многочлен с одной неизвестной второй степени, то квадратное уравнение может и не получиться.

Ситуация первая: ax

+ bx + c =ay

+ by + c.

Как бы ни старались, квадратного уравнения мы не получим. Неизвестных две, и это равенство не входит в множество математических объектов «квадратные уравнения». Вывод: неизвестная правой части должна быть такой же, что и в левой!