Основы квантовых вычислений и базовые состояния кубитов. Формула

Матрица Pauli X не изменяется вращением вокруг оси X, она описывает только саму операцию вращения.

Вычисление вращения с использованием параметра X

Для вычисления вращения с использованием параметра X можно использовать матрицу поворота Яванского (R_x), которую я упоминал ранее. Это позволяет применять вращение вокруг оси X на кубитные состояния.

Допустим, у нас есть кубитное состояние |??, и мы хотим применить вращение вокруг оси X с параметром X. Мы можем использовать матрицу поворота Яванского для этого оператора вращения.

Матрица поворота Яванского для вращения вокруг оси X с параметром X имеет следующую форму:

R_x (X) = [[cos (X/2), -i*sin (X/2)],

[-i*sin (X/2), cos (X/2)]]

Теперь мы можем выполнить умножение матрицы поворота Яванского на вектор состояния кубита:

|?»? = R_x (X) * |??

Произведение будет выглядеть следующим образом:

|?»? = [[cos (X/2), -i*sin (X/2)],

[-i*sin (X/2), cos (X/2)]] * |??

Результатом вращения состояния кубита с использованием параметра X будет новое состояние |?»?.

Обратите внимание, что параметр X может быть произвольным углом, что позволяет нам осуществлять вращение с различными силами и в различных направлениях вокруг оси X.

Примеры вычисления вращения X

Приведены два примера вычисления вращения с использованием оператора Pauli X (X-вращения) в квантовых системах:

Пример 1:

Предположим, у нас есть кубитное состояние |?? = [0, 1] (то есть, кубит находится в состоянии |1?). Мы хотим применить вращение вокруг оси X с углом ?/2 (90 градусов). Для этого нам понадобится матрица Поля X:

X = [[0, 1],

[1, 0]]

Умножим матрицу X на состояние |??:

|?»? = X * |??

= [[0, 1],

[1, 0]] * [0, 1]

= [1, 0]

После вращения вокруг оси X на 90 градусов, состояние кубита изменяется с |1? на |0?.

Пример 2:

Допустим, у нас есть кубитное состояние |?? = [0.6, 0.8], то есть, кубит находится в суперпозиции состояний |0? и |1? с коэффициентами 0.6 и 0.8 соответственно. Мы хотим применить вращение вокруг оси X с углом ?/3 (60 градусов).

Сначала вычислим матрицу поворота Яванского R_x (?/3):

R_x (?/3) = [[cos (?/6), -i*sin (?/6)],

[-i*sin (?/6), cos (?/6)]]

= [[?3/2, -i/2],

[-i/2, ?3/2]]

Умножим матрицу поворота на состояние |??:

|?»? = R_x (?/3) * |??

= [[?3/2, -i/2],

[-i/2, ?3/2]] * [0.6, 0.8]

= [?3/2 * 0.6 – i/2 * 0.8, -i/2 * 0.6 + ?3/2 * 0.8]

= [0.3?3 – 0.4i, -0.3i +0.4?3]

После вращения вокруг оси X на угол ?/3, состояние кубита изменяется на [0.3?3 – 0.4i, -0.3i +0.4?3].

Создание и вращение матрицы Pauli Y

Описание матрицы Pauli Y

Матрица Pauli Y (Y-матрица) является одной из трех базисных матриц Паули и представляет операцию вращения вокруг оси Y. Она обычно обозначается как $\sigma_y$ или $Y$.

Матрица Pauli Y имеет следующий вид:

$Y = \begin {bmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end {bmatrix} $

Она является комплексно-сопряженной матрицей Pauli X (X-матрицы). Это значит, что элементы матрицы Y получаются путем взятия комплексного сопряжения элементов матрицы X.

Матрица Pauli Y представляет операцию вращения вокруг оси Y на угол ? (180 градусов). В квантовой механике, вращение на угол ? вокруг оси Y обратит состояние кубита. Например, если у нас есть кубитное состояние |0?, после применения матрицы Pauli Y мы получим состояние |1?.

Вместе с X- и Z-матрицами, матрица Y используется для описания любых однокубитных вращений вокруг произвольной оси в трехмерном пространстве. Например, вращение вокруг оси, направленной вдоль вектора единичной длины \ (\hat {n} = \sin (\theta) \cos (\phi) \hat {i} + \sin (\theta) \sin (\phi) \hat {j} + \cos (\theta) \hat {k} \), на угол ? может быть представлено как:

\ (R (\theta,\phi,\alpha) = \cos\left (\frac {\alpha} {2} \right) I – i \sin\left (\frac {\alpha} {2} \right) (\cos (\theta) X + \sin (\theta) \cos (\phi) Y + \sin (\theta) \sin (\phi) Z) \),

где I является единичной матрицей, а X, Y и Z – матрицами Паули.