Теория пределов и нейросети. Практикум

\[f(x) = \frac{(\sqrt{1+x} – \sqrt{1-x})(\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x})}{3x(\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x})}\]

В числителе получаем:

\[(\sqrt{1+x})^2 – (\sqrt{1-x})^2 = (1+x) – (1-x) = 2x\]

Таким образом, выражение становится:

\[f(x) = \frac{2x}{3x(\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x})} = \frac{2}{3(\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x})}\]

Теперь можем найти предел:

\[\lim_{x \to 0} f(x) = \frac{2}{3(\sqrt{1+0} + \sqrt{1-0})} = \frac{2}{3(1 + 1)} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\]

Таким образом, предел функции равен:

\[\lim_{x \to 0} f(x) = \frac{1}{3}\]/.Ответ: 1/3.

Традиционное решение

lim (x?0)f(x)= lim (x?0)((1+x)^(1/2) – (1- x)^(1/2))/3x)= lim (x?0)(1 + x – 1 + x )/3x((1+x)^(1/2) + (1- x)^(1/2)) = I числитель и знаменатель функции умножаем на (1+x)^(1/2) + (1- x)^(1/2)I = 2/(3(1+1)) = 1/3. Ответ: 1/3.

5.Найти предел функции f(x) = (1 – cosx)/5x^2 при x стремящемся к 0.

Нейросеть Маша (СhatGPT-4)

Чтобы найти предел функции \[f(x) = \frac{1 – \cos x}{5x^2}\]

при \( x \) стремящемся к 0, подставим 0:

\[f(0) = \frac{1 – \cos(0)}{5(0)^2} = \frac{0}{0}\].

Получаем неопределенность \( \frac{0}{0} \). Используем формулу для приближения функции \( \cos x \) при \( x \) стремящемся к 0:

\[1 – \cos x \approx \frac{x^2}{2}\]

Таким образом, мы можем переписать функцию:

\[f(x) \approx \frac{\frac{x^2}{2}}{5x^2} = \frac{1}{10}\]

Теперь можем найти предел:\[\lim_{x \to 0} f(x) = \frac{1}{10}\]

Таким образом, предел функции равен:

\[\lim_{x \to 0} f(x) = \frac{1}{10}\].

Традиционноерешение

lim(x?0)f(x)= lim(x?0)(1- cos x)/5x^2) = lim (x?0)(2sin^2(x/2)/5x^2) = I применим тригонометрическую формулу половинного аргумента (1 – cosx) = 2sin^2(x/2)I = 2/5 lim(x?0) (sin^2(x/2)/4(x/2)^2) = 1/10 lim(x?0)(sin^2(x/2)/(x/2)^2) = 1/10 lim(x?0)((sin(x/2)/(x/2)) = I здесь функция представляет собой первый замечательный предел в квадратеI = (1/10)(1^2) = 1/10/

Ответ: 1/10.

6. Найти предел функции f(x) = (x^2 + 4 + 2x^4)/(x – 2 + 3x^4) при x стремящемся к бесконечности.

GPTutor

Чтобы найти предел функции ( f(x) = \frac{x^2 + 4 + 2x^4}{x – 2 + 3x^4} ) при ( x ) стремящемся к бесконечности (( x \to \infty )), мы можем использовать алгебраические методы пределов.

Для начала, определим степень числителя и знаменателя:

В числителе ( x^2 + 4 + 2x^4 ) наибольшая степень ( x^4 ).

В знаменателе ( x – 2 + 3x^4 ) также наибольшая степень ( x^4 ).

Теперь применим правило Лопиталя, так как степени числителя и знаменателя одинаковы и равны:

[ \lim_{{x \to \infty}} \frac{x^2 + 4 + 2x^4}{x – 2 + 3x^4} = \lim_{{x \to \infty}} \frac{8x^3 + 0 + 8x^3}{1 + 12x^3} ]

После дифференцирования числителя и знаменателя по ( x ):

[ \lim_{{x \to \infty}} \frac{8x^3 + 0 + 8x^3}{1 + 12x^3} = \lim_{{x \to \infty}} \frac{16x^3}{12x^3} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3} ]

Таким образом, предел функции ( f(x) = \frac{x^2 + 4 + 2x^4}{x – 2 + 3x^4} ) при ( x ) стремящемся к бесконечности равен ( \boxed{\frac{4}{3}} ).Ответ:4/3.

7.Найти предел функции f(x) = 4x +2x^3 + 3 при x стремящемся к – 1.

GPTutor

Чтобы найти предел функции ( f(x) = 4x + 2x^3 + 3 ) при ( x ) стремящемся к ( -1 ), мы можем использовать алгебраические методы пределов. В данном случае, функция ( f(x) ) не содержит разрывов в окрестности ( x = -1 ), так что мы можем вычислить предел напрямую.

Вычислим предел:

[ \lim_{{x \to -1}} (4x + 2x^3 + 3) ]

Подставляем ( x = -1 ):

[ f(-1) = 4(-1) + 2(-1)^3 + 3 ]

[ f(-1) = -4 – 2 + 3 ]

[ f(-1) = -3 ]

Таким образом, предел функции ( f(x) = 4x + 2x^3 + 3 ) при ( x ) стремящемся к ( -1 ) равен ( \boxed{-3} ).

Ответ: – 3.

8. Найти предел функции f(x) = (x^2 – 3x +2)/(x^2 + 2x – 3) при x стремящемся к 1.

GPTutor