Теория пределов и нейросети. Практикум

Более детальные комментарии к данным решениям, на мой взгляд, не нужны.

Попробуйте самостоятельно найти пределы следующих функции:

1) f(n) = (1 – 2n)/(3n – 2) при n стремящейся к бесконечности. Правильный ответ: – 2/3.

2) f(n) = (n^2 + 1)/(3n – 2) при n стремящейся к бесконечности. Правильный ответ:1.

3) f(x) = 2x/(x^2 – 4) – 1/(x – 2) при x стремящейся к 2. Правильный ответ:1/4.

Решение будет приведено в следующей главе.

Глава 2

Выполнение заданий из главы 1.

1) f(n) = (1 – 2n)/(3n – 2) при n стремящейся к бесконечности. Правильный ответ: – 2/3.

2) f(n) = (n^2 + 1)/(3n – 2) при n стремящейся к бесконечности. Правильный ответ:1.

3) f(x) = 2x/(x^2 – 4) – 1/(x – 2) при x стремящейся к 2. Правильный ответ:1/4.

Посмотрим, как с ними справится нейросеть GPTutor

1)f(n) = (1 – 2n)/(3n – 2) при n стремящейся к бесконечности.

GPTutor

Функция ( f(n) = \frac{1 – 2n}{3n – 2} ) при ( n ) стремящемся к бесконечности можно проанализировать с помощью предела:

[ \lim_{{n \to \infty}} f(n) = \lim_{{n \to \infty}} \frac{1 – 2n}{3n – 2} ]

Чтобы найти предел этой функции при ( n ) стремящемся к бесконечности, можно использовать правило Лопиталя (если оно применимо), либо анализировать асимптотическое поведение числителя и знаменателя.

Давайте разберемся:

Числитель функции ( 1 – 2n ) при больших значениях ( n ) будет уменьшаться до отрицательного бесконечно малого, так как коэффициент при ( n ) больше знаменателя ( 3n – 2 ), который будет расти до положительного бесконечно малого, что говорит о

Автор

А где решение?

GPTutor

Извините за недоразумение! Давайте найдем предел функции ( f(n) = \frac{1 – 2n}{3n – 2} ) при ( n \to \infty ).

Как я упоминал ранее, числитель ( 1 – 2n ) будет уменьшаться до отрицательного бесконечно малого, а знаменатель ( 3n – 2 ) будет расти до положительного бесконечно большого при увеличении ( n ).

Чтобы найти предел, разделим числитель и знаменатель на ( n ):

[ f(n) = \frac{1 – 2n}{3n – 2} = \frac{\frac{1}{n} – 2}{3 – \frac{2}{n}} ]

Теперь рассмотрим предел при ( n \to \infty ):

[ \lim_{{n \to \infty}} f(n) = \lim_{{n \to \infty}} \frac{\frac{1}{n} – 2}{3 – \frac{2}{n}} ]

Здесь можно заметить, что ( \frac{1}{n} \to 0 ) и ( \frac{2}{n} \to 0 ) при ( n \to \infty ).

Тогда предел выражения равен:

[ \lim_{{n \to \infty}} f(n) = \frac{0 – 2}{3 – 0} = \frac{-2}{3} = -\frac{2}{3} ]

Таким образом, предел функции ( f(n) ) при ( n \to \infty ) равен ( -\frac{2}{3} ).

Ответ: – 2/3.

Если у вас есть ещё вопросы или нужно что-то ещё разъяснить, пожалуйста, скажите!

2) f(n) = (n^2 + 1)/(3n – 2) при n стремящейся к бесконечности.

GPTutor

Функция ( f(n) = \frac{n^2 + 1}{3n – 2} ) при ( n ) стремящемся к бесконечности можно проанализировать аналогично предыдущему случаю:

[ \lim_{{n \to \infty}} f(n) = \lim_{{n \to \infty}} \frac{n^2 + 1}{3n – 2} ]

Чтобы найти предел этой функции при ( n ) стремящемся к бесконечности, снова можно воспользоваться правилом Лопиталя или анализировать асимптотическое поведение числителя и знаменателя.

Разделим числитель и знаменатель на ( n ):

[ f(n) = \frac{n^2 + 1}{3n – 2} = \frac{n^2/n + 1/n}{3 – 2/n} = \frac{n + \frac{1}{n}}{3 – \frac{2}{n}} ]

Теперь рассмотрим предел при ( n \to \infty ):

[ \lim_{{n \to \infty}} f(n) = \lim_{{n \to \infty}} \frac{n + \frac{1}{n}}{3 – \frac{2}{n}} ]

При ( n \to \infty ), ( \frac{1}{n} \to 0 ) и ( \frac{2}{n} \to 0 ). Тогда предел выражения равен:

[ \lim_{{n \to \infty}} f(n) = \frac{\infty + 0}{3 – 0} = \infty ]

Таким образом, предел функции ( f(n) ) при ( n \to \infty ) равен бесконечности.

Если возникнут ещё вопросы или нужно что-то ещё разъяснить, обращайтесь!

3) f(x) = 2x/(x^2 – 4) – 1/(x – 2) при x стремящейся к 2.

GPTutor

Функция ( f(x) = \frac{2x}{x^2 – 4} – \frac{1}{x – 2} ) при ( x ) стремящемся к 2 можно проанализировать на предмет её поведения в окрестности точки ( x = 2 ).