Информатика и ИТ. Нейросети.

– необходимо инвертировать все его разряды (т.е. перевести число в обратный код — заменить его содержимое на противоположное),

– а затем прибавить единицу.

Таблица 2.2.
Запись числа в дополнительном коде

Правило вычитания двух двоичных чисел:
– Перевести вычитаемое в дополнительный код.

– Сложить эти два числа (уменьшаемое и вычитаемое в дополнительном коде).

    – При сложении бит переноса не учитывать.
    – Полученный результат – разность.

Например, найдем разность между числами 13 и 5
Запишем в двоичном коде: 13 (00001101), 5 (00000101).
Переведем в дополнительный код вычитаемое: (5 (11111011).

Бит переноса из старшего разряда отбрасываем. Результат: 1000

=8

.

Деление в двоичной системе происходит так же как в десятичной системе счисления.

Правила деления чисел сводятся к сдвигу разрядов числа и вычитанию. Вычитание сводится к сложению чисел, одно из которых представлено в дополнительном коде.

При выполнении действий двоичной арифметики возможны ситуации, приводящие к неточности результата или ошибке. Так, при использовании целочисленного представления возможна ситуация потери старших разрядов результата (в случае превышения разрядов сетки). Еще одна парадоксальная ошибка «целочисленной арифметики» – при использовании знакового формата при сложении или умножении положительных чисел возможно получение результата, неверного по знаку (с единицей в знаковом бите) и модулю (без учета знакового бита). Для форматов с плавающей точкой возможна другая опасность: выход за границу допустимого диапазона значений. Это может произойти, если порядок результата оказывается больше максимального возможного значения. Обычно в такой ситуации выполнение программы прерывается по ошибке – «арифметическое переполнение». Схожая ситуация, когда результат меньше минимально возможного приведет к исчезновению числа (превращению в нуль, что опасно, например, при делении).

Булевы функции. Сложение по модулю два

Говоря об арифметических операциях с двоичными числами нельзя не сказать о логических операциях с ними. В XIX веке английский математик Джордж Буль разработал основные положения алгебры логики, ныне используемые для формального описания узлов ЭВМ. В алгебре логики (булевой алгебре) различают двоичные переменные и булевы функции.

Двоичные переменные могут принимать два значения: 0 и 1. Они обозначаются символами x

, x

, x

,…

Булевы функции зависят от двоичных переменных. Они, как и аргументы, могут принимать лишь два значения: 0 или 1, и обозначаются как f (x

,x

,x

,…) Булевы функции принято задавать таблицами истинности, где для всех наборов переменных указываются соответствующие им значения функции. Вместо значений 0,1 может использоваться любая другая пара подходящих символов, например false и true (F и T, «ложь» и «истина»). Элементарные булевы функции служат аргументами еще более сложных логических функций.

К элементарным логическим функциям относятся:

Логическое отрицание – инверсия (логическая функция НЕ). Логическим отрицанием переменной x называется такая булева функция f

(x), которая имеет значение 1, когда x = 0 и значение 0, когда x = 1. Булева функция НЕ обозначается в виде f

= x и читается: «f

есть (эквивалентно) не x».

Логическое умножение – конъюнкция (логическая функция И). Конъюнкция двух (или любого другого числа) переменных x

и x

принимает значение 1 только на наборе, в котором все переменные имеют значения 1. На остальных наборах эта функция имеет значение 0.

Логическое сложение – дизъюнкция (логическая функция ИЛИ). Дизъюнкция двух (или любого другого числа) переменных x

и x

имеет значение 0 только на наборе, в котором все переменные имеют значение 0. Если хотя бы одна из переменных равна 1, функция будет иметь значение 1.

Элементарные логические функции НЕ, И, ИЛИ являются основными логическими функциями.

Весьма значимой также является еще одна булева функция: сложение по модулю 2

Сложение по модулю 2 – строгая дизъюнкция (исключающее ИЛИ). Эта функция переменных x

и x

имеет значение 0 на наборе, в котором переменные равны. Иначе говоря, результат равен 0, если оба операнда равны; во всех остальных случаях результат равен 1.

Приведем пример суммирования по модулю 2 двух двоичных чисел:

Вопросы для самопроверки

– Дайте определение системы счисления.

– Что называется основанием позиционной системы счисления?

– Число записано как 677,42 без указания основания системы счисления. В каких системах счисления могло быть записано это число?

– Какое число будет следующим за 10110012?

– Какое число будет предшествовать числу 1008?

– Перевести число 208.12 из десятичной системы счисления в двоичную.

– Перевести число 242 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную.