Закат Западного мира. Очерки морфологии мировой истории

2

В качестве примера того, как пытается реализоваться душа в рамках окружающего ее мира, – поскольку ведь ставшая культура является выражением и слепком некой идеи человеческого существования, – я избираю число, лежащее в основе всякой математики как нечто данное. И именно потому, что математика, доступная во всей своей глубине очень и очень немногим, удерживает за собой меж всех порождений духа единственное в своем роде место. Как и логика, математика представляет собой строжайшую науку, однако она шире первой и куда содержательнее ее; она является подлинным искусством, наряду с ваянием и музыкой, в том, что касается потребности в руководстве со стороны вдохновения и наличия больших условностей в ее развитии; наконец, она является высочайшего уровня метафизикой, как это доказывают Платон и в первую очередь Лейбниц. До сих пор всякая философия вырастала в связи с соответствующей математикой. Число есть символ каузальной необходимости. Как и понятие Бога, оно содержит окончательный смысл мира как природы. Поэтому существование чисел мы можем назвать таинством, и под такое впечатление извечно подпадали религиозные мыслители всех культур[44 - Ср. с. 779 сл.].

Как всякое становление несет на себе изначальную черту направления (необратимости), так и все ставшее несет черту протяжения, причем таким образом, что, как представляется, разделить значение этих слов можно лишь искусственно. Но сама-то тайна всего ставшего, а значит, (пространственно-материально) протяженного воплощена в типе числа математического в противоположность числу хронологическому. Именно сама его сущность имеет в виду механическое отграничивание. В этом число сродни слову, которое – как понятие, «понимая», «обозначая» – также отграничивает меж собой впечатления от мира. Впрочем, наиболее глубинное здесь неуловимо и невыразимо. Действительное число, с которым работает математика, точно представленное, высказанное, записанное знаками – число, формула, знак, фигура, – как и мыслимое, высказанное, записанное слово, уже является символом этого, овеществленным и опосредованным, чем-то конкретизированным для внутреннего и внешнего взора, которому и предстает отображенное отграничивание. Происхождение чисел равно происхождению мифа. Первобытный человек возвышает неопределимые природные впечатления («чуждое») до божеств, numina, ограничивая их и заколдовывая с помощью имени. Также и числа представляют собой нечто такое, что отграничивает природные впечатления и тем самым их околдовывает. С именами и числами человеческий разум обретает власть над миром. Знаковый язык математики и грамматика словесного языка имеют в конечном итоге одинаковое строение. Логика – всегда в некотором роде математика, и наоборот. Тем самым также и во всех актах человеческого разума, связанных с математическим числом (измерение, счет, черчение, взвешивание, упорядочивание, разделение[45 - Сюда относится также «денежное мышление», ср. с. 1024 слл.]), заложена языковая, представленная формами доказательства, вывода, высказывания, системы, тенденция ограничения протяженного, и лишь посредством теперь уже почти не сознаваемых актов такого рода бодрствующему человеку оказываются даны однозначно определенные порядковыми числами предметы, свойства, связи, единичное, единство и множество – короче, воспринимаемая в качестве необходимой и незыблемой структура той картины мира, которую он называет «природой» и в качестве таковой «познает». Природа – это исчислимое. История – олицетворение всего того, что не имеет никакого отношения к математике. Отсюда и математическая несомненность законов природы, дышащее изумлением воззрение Галилея, что природа «scritta in lingua matematica», и тот отмеченный Кантом факт, что точная наука продвигается вперед лишь настолько, насколько возможно в ней применение математических методов[19 - Кант И. Соч.: В 6 т. Т. 6. М., 1966. С. 58.].

Соответственно, в числе как знаке завершенного ограничения заложена сущность всего действительного, которая одновременно становится, познается и ограничивается. Это-то с глубинной несомненностью и открылось Пифагору – или кому-то там еще – с помощью величественной, всецело религиозной интуиции. Поэтому математику, если понимать под ней способность практически мыслить в числах, не следует смешивать с куда более узкой научной математикой, этим развиваемым в устной или письменной форме учением о числах. Как изложенная в теоретических трудах философия, так и письменная математика столь же мало представляют собой все то достояние, которое кроется в лоне данной культуры в том, что касается математической и философской остроты взгляда и мышления. Существуют и совершенно иные способы сделать наглядным прачувство, лежащее в основе чисел. В начале всякой культуры мы встречаем архаический стиль, который можно было бы называть геометрическим не только применительно к одному лишь раннегреческому искусству. Нечто общее, явно математическое присутствует как в этом античном стиле X в., так и в стиле храмов 4-й династии в Египте с его безусловным господством прямых линий и углов, в рельефах древнехристианских саркофагов и в романских зданиях и орнаментах. Каждая линия, каждая человеческая или звериная фигура, с отсутствием в них подражательности, открывает здесь мистическое числовое мышление в непосредственной связи с таинством смерти (закосневшего).

Готический собор и дорический храм представляют собой окаменевшую математику. Разумеется, только Пифагор научно постиг античное число как принцип мирового порядка осязаемых вещей, как меру или величину. Однако тогда же она была выражена также и в форме прекрасного порядка чувственно-телесных единиц – через строгий канон в скульптуре и дорическом ордере. Все великие искусства – это еще и разновидности полного осмысленности числового ограничения. Возьмем проблему пространства в живописи. Высокая математическая одаренность может быть технически продуктивной и без всякой науки и в такой форме приходить к полному самоосознанию. И все же ввиду грандиозных счетных способностей, наличие которых предполагается еще в Древнем царстве, судя по членению пространства храмов при пирамидах, а также строительной, оросительной и административной техникой, уж не говоря о египетском календаре, не следует утверждать, что никчемная «Счетная книга Ахмеса» из Нового царства свидетельствует об уровне египетской математики. Коренные австралийцы, чей дух всецело относится к ступени прачеловека, обладают математическим инстинктом или, что то же самое, еще не выразимым в словах и знаках мышлением в числах, которое далеко превосходит греческое в смысле интерпретации чистой пространственности. В качестве оружия ими изобретен бумеранг, действие которого позволяет заключить об интуитивном коротком знакомстве с видами чисел, которое мы приписали бы высшему геометрическому анализу. В соответствии с этим (связь одного с другим будет пояснена позднее) они обладают чрезвычайно усложненным церемониалом и такой утонченной языковой палитрой степеней родства, которая не наблюдается больше нигде, даже у высших культур. Этому же соответствует то, что даже на самой зрелой своей стадии, при Перикле, греки, аналогично евклидовой математике, не обладали ни склонностью к церемониалу публичной жизни, ни к уединению, что являет резкий контраст барокко, при котором, наряду с пространственным анализом, возник двор «короля-солнца» и основанная на династических родственных связях система государств.

Это стиль души, открывающийся в мире чисел, но не в научной его форме.

3

Из этого следует решающее обстоятельство, до сих пор остававшееся скрытым даже от самих математиков.

Числа как такового не существует и быть не может. Существует несколько числовых миров, поскольку существует несколько культур. Таким образом, мы имеем индийский, арабский, западный тип математического мышления и, значит, тип числа, каждый из которых – нечто коренным образом иное и неповторимое, каждый – выражение иного мироощущения, каждый – символ точно определенной также и научно значимости, принцип порядка ставшего, в котором отражается глубочайшая сущность одной-единственной, и никакой другой, души, а именно той, которая является средоточием именно данной, и никакой иной, культуры. Так что и математик не одна, а больше. Ибо, вне всякого сомнения, внутреннее строение евклидовой геометрии совершенно иное, чем геометрии Декарта, анализ Архимеда отличен от анализа Гаусса, причем не только по формальному языку, целям и средствам, но прежде всего в глубине, в изначальном и не оставляющем выбора смысле числа, научным выражением которого они являются. Это число, переживание границы, которое, как это само собой разумеется, делается в нем очевидным, а тем самым также и вся природа, распространяющийся в пространстве мир, картина которого возникает посредством этого ограничения и который извечно доступен для трактовки лишь одному-единственному виду математики, – все это говорит не о человечестве вообще, но всякий раз о человечестве вполне определенном.

Так что для стиля возникающей математики все зависит от того, в какой культуре она коренится, какого рода люди о ней мыслят. Дух в состоянии довести заложенные в ней возможности до научного раскрытия, освоиться с ними, достичь в обращении с ними высочайшей зрелости; однако изменить их совершенно не в его власти. В наиболее ранних формах античного орнамента и готической архитектуры еще за столетия до того, как на свет появился первый ученый математик этих культур, воплощена идея евклидовой геометрии и исчисления бесконечно малых.

Глубокое внутреннее переживание, настоящее пробуждение «я», делающее из ребенка высшего человека, члена соответствующей культуры, знаменует начало понимания как чисел, так и языка. Лишь начиная с этого момента для бодрствования существуют предметы как нечто отграниченное и явно отличное по числу и виду, лишь с него – точно определимые свойства, понятия, каузальная необходимость, система окружающего мира, форма мира, всемирные законы («закон» по самой своей природе – это всегда ограниченное, косное, подчиненное числам) и – внезапно – почти метафизическое ощущение страха и благоговения перед тем, что означает в глубине измерение, счет, черчение, оформление.

И вот Кант разделил сумму человеческого знания на априорные (необходимые и имеющие всеобщую значимость) и апостериорные (возникающие из опыта, от случая к случаю) синтетические суждения, причислив математическое познание к первым. Несомненно, тем самым он придал абстрактное выражение сильному внутреннему чувству. Однако даже не принимая во внимание того, что между теми и другими не существует резкой границы (примеры чего в более чем достаточном количестве доставляют современные высшие математика и механика), которой безусловно требует вся вообще история возникновения принципа, еще и суждения a priori, несомненно одна из гениальнейших концепций во всей критике теории познания, являются весьма непростым понятием. В нем Кант, не затрудняя себя доказательством (а таковое ведь и не может быть получено), исходит из предположения как неизменности формы всей вообще умственной деятельности, так и ее тождественности для всех людей. Вследствие этого оказалось полностью упущенным обстоятельство, значение которого невозможно переоценить, прежде всего потому, что при проверке своих идей Кант имел в виду исключительно духовный склад своей эпохи, чтобы не сказать – лишь собственный духовный склад. Это касается степени неустойчивости этой «всеобщности». Наряду с определенными чертами несомненно широкой значимости, которые по крайней мере представляются независимыми от того, в какой культуре, к какому столетию принадлежит познающее лицо, в основе всего мышления лежит еще одна, совсем другая необходимость формы, которой как чему-то само собой разумеющемуся подчинен человек именно в качестве члена какой-то определенной, и никакой иной, культуры. Вот два весьма различных вида априорного содержания, и на вопрос о том, где пролегает граница между ними и имеется ли таковая вообще, никогда не будет получен ответ, поскольку он лежит вне пределов каких-либо возможностей познания. Доныне никто не отважился признать того факта, что считавшееся доныне чем-то само собой разумеющимся постоянство духовного склада – лишь иллюзия и что в пределах истории, с которой мы имеем дело, существует не один, а несколько стилей познания. Однако следует напомнить о том, что единогласие в вещах, которые вовсе еще не были восприняты в качестве проблемы, может оказаться следствием не только всеобщей истины, но и всеобщего самообмана. Как бы то ни было, неясное сомнение существовало здесь всегда, и можно было заключить об истинном положении дел уже по несогласию всех мыслителей, что открывается первому же взгляду, брошенному на историю мышления. Однако открытием является то, что причина этого коренится не в несовершенстве человеческого ума, не в «еще не» окончательного познания, что это не порок, а судьбоносная историческая необходимость. Делать наиболее глубинные и окончательные выводы следует не по постоянству, а исключительно лишь по различию, причем по органической логике этого различия. Сравнительная морфология форм познания – задача, которую еще предстоит решить западному мышлению.

4

Будь математика просто наукой, подобно астрономии или минералогии, ее предмет можно было бы определить. Однако мы не можем и никогда не могли этого сделать. Как бы мы, западноевропейцы, ни навязывали силой собственное научное понятие числа тому, чем занимались математики в Афинах и Багдаде, несомненным остается то, что тема, цели и методы одноименной науки были там совершенно иными. Нет никакой математики, существует лишь ряд математик. То, что мы называем математикой «как таковой», якобы прогрессивным осуществлением одного-единственного и неизменного идеала, оказывается на деле, стоит лишь заглянуть под обманчивую картину исторической оболочки, несколькими замкнутыми в самих себе, независимыми путями развития, всякий раз происходящим заново рождением собственного и усвоением, преобразованием и преодолением чуждого мира форм, оказывается чисто органическими и связанными с определенной длительностью расцветом, созреванием, увяданием и смертью. Не будем же заблуждаться. Античный разум создал свою математику практически из ничего; исторически обусловленному разуму Запада, уже обладавшему – внешне, но не внутренне – заученной античной наукой, предстояло прийти к своей собственной посредством мнимого изменения и улучшения, на самом же деле уничтожения сущностно чуждой ему евклидовой математики. Первое осуществил Пифагор, второе – Декарт. Оба этих деяния по сути тождественны.

По этой причине родство языка форм математики с языком форм соседствующих с ней великих искусств[46 - А также права и денег, ср. с. 560 слл., 1037 слл.] не подлежит сомнению. У мыслителей и артистов очень несхожее ощущение жизни, однако средства выражения их бодрствования имеют внутренне одну и ту же форму. Чувство формы у скульптора, художника, композитора – преимущественно математическое. В геометрическом анализе и проективной геометрии XVII в. сказывается тот же самый одухотворенный порядок бесконечного мира, который желала породить, захватить и пронизать современная ему музыка – посредством развитой на основе искусства генерал-баса гармонии, этой геометрии звукового пространства, а родная сестра музыки, живопись – посредством принципа известной лишь на Западе перспективы, этой прочувствованной геометрии изобразительного пространства. Этот порядок и есть то, что Гёте назвал идеей, чей образ непосредственно созерцается в чувственном, между тем как просто наука ничего не созерцает, а лишь наблюдает и членит. Однако математика идет дальше наблюдения и членения. В высшие свои мгновения она действует не абстрагируя, а визионерски. Гёте принадлежит также и та глубокая мысль, что математик совершенен лишь постольку, поскольку он воспринимает красоту истины[20 - «Годы странствий Вильгельма Мейстера», кн. II, раздел «Наблюдения в духе путешествующих».]. Тут мы ощущаем, насколько близки тайна сущности числа и тайна художественного творчества. Тем самым прирожденный математик становится рядом с великими мастерами фуги, резца и кисти, которые также желают и должны облечь в символы, осуществить и выразить тот великий порядок всех вещей, который несут в себе, на самом деле им не обладая, их обычные сотоварищи по культуре. Тем самым царство чисел делается отражением формы мира, наряду с царством звуков, линий и красок. Поэтому в области математики слово «творческий» означает куда больше, чем в обычных науках. Ньютон, Гаусс, Риман были артистическими натурами. Достаточно прочитать, как внезапно обрушивались на них их великие теории. «Математик, – сказал старина Вейерштрасс, – в котором нет также и чего-то от поэта, никогда не будет совершенным математиком».

Так что математика – тоже искусство. В ней имеются свои стили и стилистические периоды. Она не неизменна по сути, как полагает дилетант (а также и философ, если судит здесь как дилетант), но, как и всякое искусство, подвержена незаметным изменениям от эпохи к эпохе. Не следовало бы рассматривать историю великих искусств без того, чтобы не бросить при этом взгляда (несомненно, он не будет брошен впустую) на современную им математику. Детали чрезвычайно глубоких связей между изменениями в теории музыки и в анализе бесконечности никогда не становились объектом исследования, хотя эстетика могла бы извлечь отсюда куда больше, чем из всякой там «психологии». Еще поучительнее оказалась бы история музыкальных инструментов, когда бы она исходила не из технической точки зрения звукоизвлечения, как это постоянно имеет место, но из глубинных душевных оснований устремленности к той или иной окрашенности звуков и их воздействию. Ибо дошедшее до страстного томления желание сформировать пространственную звуковую бесконечность еще в эпоху готики произвело на свет, в противоположность античным лире и дудке (лира, кифара; авл, свирель) и арабской лютне, оба господствующих семейства органа (клавира) и смычковых инструментов. Звучащая душа и того и другого, каким бы ни было их техническое происхождение, сформировалась на кельтско-германском Севере, между Ирландией, Везером и Сеной, органа и клавикордов – несомненно, в Англии. Струнные инструменты обрели свой окончательный вид в Верхней Италии в 1480–1530 гг.; орган – главным образом в Германии – развился до господствующего над пространством солирующего инструмента громадных размеров, подобного которому нет во всей истории музыки. Органная импровизация Баха и его эпохи всецело являет собой анализ колоссального и простирающегося вдаль мира звуков. И всецело соответствует внутренней форме западного, а не античного математического мышления то, что струнные и духовые инструменты разрабатываются не поодиночке, но в соответствии с регистрами человеческих голосов целыми группами одной и той же звуковой окраски (струнный квартет, ансамбль деревянных духовых инструментов, группа тромбонов), так что история современного оркестра со всеми изобретениями новых и превращениями старых инструментов представляет собой на самом деле единую историю звукового мира, которая вполне поддается описанию с помощью выражений высшего анализа.

5

Когда ок. 540 г. в кругу пифагорейцев пришли к заключению, что сущностью всех вещей является число, это был не просто «шаг вперед в развитии математики», но из глубин античной душевности на свет явилась совершенно новая математика, как самосознающая теория, после того как она уже с давних пор заявила о себе в метафизической постановке вопросов и формальных художественных тенденциях. Это была новая математика, подобно так и оставшейся незаписанной математике египетской культуры или получившей алгебраически-астрономическую форму математике культуры вавилонской с ее эклиптической системой координат: обе они некогда явились на свет в великий час истории и к тому времени уже давно угасли. Доведенная до завершения во II в. до Р. X. античная математика канула в небытие (несмотря на свое длящееся и поныне в нашем способе обозначений призрачное существование), чтобы в отдаленном будущем дать место арабской. То, что нам известно об александрийской математике, заставляет предположить в данной области значительные сдвиги, центр тяжести которых должен был всецело находиться в таких персидско-вавилонских высших школах, как Эдесса, Гондишапур и Ктесифон, в античную же языковую область проникали лишь частные моменты. Математики в Александрии были, несмотря на свои греческие имена (Зенодор, занимавшийся изопериметрическими фигурами, Серен, работавший над свойствами гармонического пучка лучей в пространстве, Гипсикл, введший халдейское разделение круга, и в первую очередь Диофант), вне всякого сомнения, исключительно арамеями, а их сочинения – лишь небольшой частью написанной преимущественно по-сирийски литературы[47 - Ср. т. 2, с. 682.]. Эта математика нашла завершение в арабско-исламских исследованиях и после долгого промежутка за ней последовала, вновь как всецело новое порождение новой почвы, западная, наша математика, в которой мы в нашем поразительном ослеплении усматриваем математику вообще, вершину и цель двухтысячелетнего развития, между тем как ей столь же строго отмерены ее теперь уже почти истекшие столетия.

То высказывание, что число представляет собой сущность всех чувственно воспринимаемых вещей, осталось самым ценным во всей античной математике. Через него число было определено в качестве меры. В этом кроется все мироощущение страстно обращенной к здесь и теперь души. Измерение в таком смысле означает измерять нечто близкое и телесное. Обратимся к высшему проявлению античного искусства – свободно стоящей скульптуре обнаженного человека: здесь имеется все существенное и значительное в бытии, весь ритм которого исчерпывающим образом задан поверхностями, мерами и чувственными отношениями. Пифагорейское понятие гармонии чисел – хотя, быть может, оно и выведено из музыки, не знавшей полифонии и гармонии и даже при разработке своих инструментов стремившейся к пастозному, чуть не телесному единичному тону, – представляется всецело предназначенным для этой скульптуры. Обработанный камень лишь тогда является чем-то, когда обладает взвешенными границами и отмеренной формой, как то, чем он стал под резцом художника. Без этого он есть хаос, нечто еще не воплощенное, а значит, пока еще ничто. Это ощущение, переведенное на больший масштаб, создает в качестве противоположности состоянию хаоса – состояние космоса, просветленное положение во внешнем мире античной души, гармонический порядок всех изящно ограниченных и чувственно данных единичных вещей. Сумма этих вещей уже и дает весь мир. Промежуток между ними, т. е. наше наполненное всем пафосом великого символа пространство, есть ничто, ?? µ? ??. Для античного человека протяжение означает телесность, для нас же – пространство, в качестве функций которого «являются» вещи. Оглядываясь отсюда назад, мы, быть может, разгадаем глубочайшее понятие античной метафизики, ??????? Анаксимандра, которое не поддается переводу ни на какой из языков Запада: это есть то, у чего нет никакого «числа» в пифагорейском смысле, никакой измеренной величины и границы, а значит, никакой сущности; нечто безмерное, бесформенное, статуя, еще не вырубленная из глыбы. Это есть ???? [«начало, принцип, власть» (греч.)], безграничное и бесформенное в смысле зрительном, что делается чем-то, а именно миром, лишь посредством границ, посредством чувственного обособления. Вот то, что в качестве формы a priori лежит в основе античного познания, телесность как таковая, и в Кантовой картине мира на ее место, точно ей соответствуя, является пространство, из которого Кант якобы был «способен отмыслить все вещи».

Теперь мы в состоянии понять, что отделяет одну математику от другой, и в первую очередь математику античную – от западной. По всему своему мироощущению зрелое античное мышление могло усматривать в математике лишь учение о соотношении величин, мер и форм материальных тел. Когда на основании этого ощущения Пифагор высказал решающую формулировку, то именно для него число было оптическим символом, не формой вообще или абстрактным отношением, но граничным знаком ставшего, поскольку это последнее выступает в чувственно обозримых частностях. Вся без исключения античность рассматривает числа в качестве единиц измерения, величин, отрезков, поверхностей. Другого вида протяжения она не в состоянии себе представить. Вся античная математика – это в конечном счете стереометрия. Говоря о треугольнике, Евклид, завершивший систему античной математики в III в., с внутренней необходимостью подразумевает лишь граничную поверхность тела: у него это никогда не будет система трех пересекающихся прямых или группа из трех точек в трехмерном пространстве. Он называет линию «длиной без ширины» (µ??? ???????). В устах нашего современника такое определение имело бы жалкий вид. В пределах античной математики оно изумительно.

Также и западное число не возникло, как полагали Кант и даже сам Гельмгольц, из времени как априорной формы созерцания, но представляет собой, как порядок единообразных единств, нечто специфически пространственное. Реальное время[21 - В современном стандартном издании О. Шпенглера (S. 87) говорится не «время» (Zeit), а «число» (Zahl). Однако в доступном мне издании 1923 г. говорится именно о времени, а не о числе, и это дополнительный довод в пользу того, что пишет К. А. Свасьян в издании: Шпенглер О. Закат Европы. М.: Мысль, 1993. Т. 1. С. 640 (примеч. 59). Между прочим, в переводе Н. Гарелина, изданном в 1923 г. (и сделанном с более раннего издания труда О. Шпенглера, вероятно 1918 г.), также сказано «время», но не «реальное», а время просто. Если прилагательное было опущено не по недосмотру переводчика или издательства, это также аргумент в пользу чтения «время», поскольку позволяет предполагать, что автор возвращался к данному месту, чтобы его уточнить, и не нашел здесь опечатки. Во французском же переводе А. Тазеру, до сих пор переиздающемся во Франции, сказано «число». Впрочем, опечатки случаются даже в списках опечаток, и потому, надо думать, самый главный довод в нашу пользу – то, что полная разнородность времени и числа, т. е. истории и природы – общее для О. Шпенглера место, один из постулатов его теории, о чем он уже неоднократно упоминал выше.], как это будет выясняться со все большей очевидностью, не имеет с математическими предметами вовсе ничего общего. Числа относятся исключительно к сфере протяженного. Однако сколько существует культур, столько же и возможностей (а значит, и необходимостей) представлять себе протяженное в упорядоченном виде. Античное число – это мышление не пространственных отношений, но отграниченных для телесного глаза, доступных чувствам единиц. По этой причине – и это следует с необходимостью – античность знает лишь «натуральные» (положительные, целые) числа, которые играют ничем не примечательную роль среди множества в высшей степени абстрактных разновидностей чисел в западной математике – комплексных, гиперкомплексных, неархимедовых и прочих систем.

Поэтому также и представление иррационального числа, т. е. в нашей записи бесконечной десятичной дроби, осталось для греческого ума всецело неисполнимым. Евклид говорит (и его следовало бы понять получше), что несоизмеримые отрезки ведут себя «не как числа». В осуществленном понятии иррационального числа заключено полное отделение понятия числа от понятия величины как раз таки потому, что такое число, например число ?, никогда не может быть представлено ограниченным или точно воспроизведенным отрезком. Однако из этого следует, что в представлении, например, отношения стороны квадрата к диагонали античное число, являющееся всецело чувственной границей, завершенной величиной, внезапно соприкасается с совершенно иной разновидностью числа, которая оставалась чуждой и потому жутковатой для наиболее глубинных основ античного мироощущения, – словно накануне открытия опасной для собственного существования тайны. Об этом можно судить по тому диковинному позднегреческому мифу, согласно которому человек, давший публике созерцать иррациональное, исторгнув его из области сокрытого, погиб в кораблекрушении, «потому что несказанное и лишенное образа всегда должно оставаться сокрытым». Кто способен ощутить тот страх, который лежит в основе этого мифа, – а он тот же самый, что всякий раз отпугивал греков самого зрелого периода от распространения своих крошечных городов-государств до политически организованных ландшафтов, от закладки просторной уличной сети и аллей с далекими видами и просчитанными завершениями, от вавилонской астрономии с ее безбрежными звездными пространствами и от выхода за пределы Средиземного моря по маршрутам, которые были уже давно открыты судами египтян и финикийцев; это глубокий метафизический страх распада чувственно постижимого и нынешнего, которым, как оборонительными стенами, окружила себя античность, позади чего дремлет нечто жуткое, бездна и первооснова этого, так сказать, искусственно созданного и утвержденного космоса, – кто постиг это чувство, постигнет также и окончательный смысл античного числа, меры в противоположность неизмеримому, как и возвышенную религиозную мораль в его ограничении. Гёте как естествоиспытателю это было прекрасно известно – отсюда его едва ли не пугливый протест против математики, который был на самом деле непроизвольно направлен (чего никто еще не понял) всецело против неантичной математики, против лежавшего в основе современного ему учения о природе исчисления бесконечно малых.

Античная религиозность со всевозрастающей акцентированностью собирается в чувственно определенных – привязанных к месту – культах, которые только и соответствовали «евклидовому» божеству. Абстрактные, парящие в не ведающих родины пространствах мышления догматы оставались ему извечно чужды. Такой вот культ и папский догмат относятся друг к другу так же, как статуя к органу в соборе. Несомненно, в евклидовой математике есть нечто культовое. Вспомним о тайном учении пифагорейцев и об учении о правильных многогранниках с его значением для эзотерики платоновского кружка. С другой стороны, этому соответствует глубинное родство анализа бесконечно малых у Декарта и современной ему догматики с ее продвижением от последних решений Реформации и Контрреформации к чистому, лишенному всех чувственных отношений деизму. Декарт и Паскаль были математиками и янсенистами. Лейбниц был математиком и пиетистом. Вольтер, Лагранж и Д’Аламбер – современники. Принцип иррационального, т. е. разрушения статуарного ряда целых чисел, этих представителей завершенного в самом себе мирового порядка, воспринимался, исходя из античной душевности, как кощунство в отношении самого божества. Это ощущение нельзя не заметить у Платона, в его «Тимее». В самом деле, с превращением дискретного числового ряда в континуум сомнительным становится не только понятие античного числа, но и самого античного мира. Теперь нам становится понятно, что в античной математике невозможны даже отрицательные числа, которые мы представляем себе без всякого затруднения, не говоря уже о нуле как числе – этом глубокомысленном порождении достойной всяческого удивления энергии обесплочивания, которое для индийской души, измыслившей его как основание позиционной системы цифр, является едва ли не ключом к смыслу бытия. Отрицательных величин не существует. Выражение –2 ? –3 = +6 ненаглядно и не представляет величин. На +1 числовой ряд приходит к завершению. В графическом представлении отрицательных чисел (–3–2 –1 0 +1 +2 +3) отрезки, начиная с нуля, внезапно становятся положительными символами чего-то отрицательного. Они что-то значат, но их больше нет. Однако осуществление этого действия не соответствовало направлению античного числового мышления.

Так что все явившееся на свет из античного бодрствования оказывается возвышенным до ранга действительного лишь посредством скульптурной ограниченности. Что невозможно начертить, не является «числом». Платон, Архит и Евдокс говорят о плоских и телесных числах, подразумевая наши вторую и третью степень, и само собой разумеется, что понятия более высоких целочисленных степеней для них не существовало. Четвертая степень представилась бы грекам, исходя из скульптурного основополагающего чувства, которое тут же связывает с этим выражением четырехмерную, причем материальную протяженность, полной нелепицей. Такое выражение, как e

, постоянно встречающееся в наших формулах, или применявшееся Николаем Оресмом уже в XIV в. 5 1/2, показалось бы им совершенным абсурдом. Евклид называет сомножители произведения сторонами (???????). Исследование целочисленного отношения двух отрезков производится с помощью вычислений с дробями – конечными, что понятно само собой. Как раз поэтому и не может появиться представление о числе нуль, потому что у него нет никакого графического смысла. Не надо только, исходя из обыкновений нашего иначе устроенного мышления, выдвигать здесь то возражение, что это-то как раз и были «начальные ступени» в развитии математики «вообще». В рамках того мира, который создал вокруг себя античный человек, античная математика являет собой нечто вполне завершенное. Не такова она лишь для нас. Вавилонская и индийская математика уже давно сделали важными частями своих числовых миров то, что было бессмыслицей для античного числового ощущения, и многие греческие философы об этом знали. Математика «вообще», скажем это еще раз, – иллюзия. Математическое и вообще научное мышление тогда является истинным, убедительным, «мысленно неизбежным», когда оно всецело соответствует собственному чувству жизни. В противном случае оно невозможно, ложно, бессмысленно, или, как предпочитаем мы выражаться с высокомерием исторических умов, «примитивно». Современная математика, этот шедевр западного гения (разумеется, «истинная» лишь для него), представилась бы Платону смехотворным и праздным заблуждением, приключившимся в ходе попытки приблизиться к истинной математике, а именно к математике античной. Вне всякого сомнения, мы не можем даже и представить, сколь многому из великих идей чуждых культур мы дали погибнуть, потому что были не способны, исходя из нашего собственного мышления и его пределов, их усвоить либо, что то же самое, потому что воспринимали их как ложные, излишние или бессмысленные.

6

Античная математика как учение о наглядных величинах желает иметь дело исключительно с фактами чувственного и настоящего, и таким образом она ограничивает свои исследования, как и область своей применимости, примерами из сферы близкого и малого. Рядом с этой последовательностью в действиях в практическом поведении западной математики проступает нечто нелогичное, что, собственно, как следует признали лишь после открытия неевклидовых геометрий. Числа суть порождения отделенного от чувственного восприятия понимания, чистого мышления[48 - Ср. с. 509 сл.]. Свою абстрактную значимость они несут в себе самих. Напротив того, их точная применимость к действительности понимающего восприятия представляет собой особую проблему, причем такую, которая то и дело ставится вновь и никогда не получает удовлетворительного разрешения. Конгруэнтность математической системы с фактами повседневного опыта вовсе не разумеется сама собой. Несмотря на дилетантское предубеждение относительно непосредственной математической очевидности созерцания, как мы это находим у Шопенгауэра, евклидова геометрия, имеющая поверхностную тождественность с бытовой геометрией всех эпох, приблизительно согласуется с созерцанием лишь в очень узких пределах («на бумаге»). О том, как обстоит дело при больших отстояниях, говорит тот простой факт, что для нашего глаза параллельные на горизонте сходятся. На нем основана вся перспектива в живописи. Несмотря на это Кант, непростительным для западного мыслителя образом пасовавший перед «математикой дали», ссылается в виде примеров на фигуры, в которых как раз по причине их малости вовсе не может проявиться специфически западная, инфинитезимальная проблема пространства. Правда, Евклид также избегал того, чтобы для придания своей аксиоме наглядной убедительности сослаться, к примеру, на такой треугольник, углы которого помещаются в месте наблюдателя и на двух неподвижных звездах, ведь это не может быть ни вычерчено, ни «усмотрено», однако с точки зрения античного мыслителя это было правильно. Здесь о себе заявляло то же самое чувство, которое пугалось иррационального и не отваживалось на то, чтобы воспринять ничто как нуль, как число, а значит, чтобы сохранить символ меры, избегало неизмеримого также и в созерцании космических связей.

Аристарх Самосский, вращавшийся в 288–277 гг. в Александрии в кругу астрономов, несомненно поддерживавших связь с халдейско-персидскими школами и разработавший там ту гелиоцентрическую[49 - Впрочем, в единственном уцелевшем от него сочинении он придерживается геоцентрической точки зрения, так что можно предполагать, что он дал халдейской ученой гипотезе овладеть собой лишь на время.] систему мира, которая при ее повторном открытии Коперником затронула до самой глубины метафизическую страсть Запада (достаточно вспомнить Джордано Бруно), поскольку являлась исполнением колоссальных предчувствий и удостоверением того фаустовского, готического мироощущения, которое принесло жертву идее бесконечного пространства уже в архитектуре своих соборов, – этот самый Аристарх Самосский был воспринят античностью с полным безразличием и уже вскоре (можно было бы сказать – намеренно) забыт вновь. Круг его сторонников состоял из нескольких ученых, которые почти все происходили из Передней Азии. Самый известный его поборник Селевк (ок. 150) был из Селевкии на Тигре. В самом деле, для этой культуры Аристархова система не имела в душевном плане никакого значения. Она была скорее опасна ее мироощущению. И все же в отличие от системы Коперника (это решающее обстоятельство постоянно остается без внимания) благодаря той редакции, которая была ей придана, она точно соответствовала античному мироощущению. В качестве завершения космоса Аристарх принял всецело ограниченный телесно, пустой шар, который можно охватить оптическими средствами наблюдения, и в его середине находилась мыслившаяся по-коперникански планетная система. Античная астрономия всегда держала Землю и небесные тела за что-то принципиально разное, как бы ни воспринимались происходившие здесь движения в деталях. Подготовленная уже Николаем Кузанским и Леонардо идея, что Земля – лишь звезда в ряду прочих звезд[50 - Strunz F. Gesch. d. Naturwiss. im Mittelalter (1910). S. 90.], способна вписаться в Птолемееву систему ничуть не хуже, чем в коперниканскую. Однако с принятием концепции небесного шара был обойден угрожавший чувственно-античному понятию границы принцип бесконечного. Не возникает даже мысли о безграничном мировом пространстве, которая, казалось бы, неизбежна уже здесь, между тем как соответствующее представление далось вавилонскому мышлению еще давно. Наоборот. В своем знаменитом трактате «О числе песчинок» (как явствует уже из самого названия, это было опровержение инфинитезимальных тенденций, хотя его вновь и вновь рассматривают в качестве первого шага на пути к современным интегральным методам) Архимед доказывает, что если заполнить это стереометрическое тело – а ничем иным Аристархов космос не является – атомами (песчинками), это приведет к очень большим, но не бесконечным результатам. Однако это как раз и есть отрицание всего, что означает анализ для нас. Вселенная нашей физики представляет собой энергичнейшее отрицание всякой материальной ограниченности, как это доказывают неизменно терпящие крушение и тем не менее заново навязываемые уму гипотезы о материальном, т. е. мыслимом опосредованно созерцаемым мировом эфире. Евдокс, Аполлоний и Архимед, без сомнения наиболее изощренные и отважные математики античности, полностью осуществили чисто оптический анализ ставшего на основе скульптурно-античного граничного значения, прибегая главным образом к циркулю и линейке. Они пользуются продуманными и труднодоступными для нас методами интегрального исчисления, в которых проглядывает лишь видимое сходство с методом определенного интеграла Лейбница, и применяют геометрические места точек и координаты, представляющие собой исключительно именованные размерные числа и отрезки, а не, как это было у Ферма и прежде всего Декарта, неименованные пространственные отношения, значения точек по отношению к их положению в пространстве. Сюда относится в первую очередь метод исчерпания Архимеда[51 - Метод исчерпания Архимеда был подготовлен Евдоксом и использовался для вычисления объема пирамиды и конуса – «средство, к которому прибегали греки, чтобы обойти запрещенное понятие бесконечного» (Heiberg. Naturwiss. u. Math. im klass. Alt. (1912). S. 27).] в его недавно открытом трактате, обращенном к Эратосфену, где он, например, обосновывает квадратуру сегмента параболы на исчислении вписанных прямых углов (больше уже не подобных многоугольников). Однако как раз остроумный, бесконечно запутанный способ, которым он, опираясь на некоторые геометрические идеи Платона, достигает результата, являет собой колоссальную противоположность этой интуиции и вроде бы на первый взгляд схожей интуиции Паскаля. Не существует (если всецело отвлечься от Риманова понятия интеграла) более резкой противоположности этому, чем то, с чем мы имеем дело в (к несчастью, называемых так и поныне) квадратурах, где «поверхность» дается как ограниченная функцией и уже даже речи нет о графических средствах. Нигде та и другая математика не подходит одна к другой так близко и нигде с большей отчетливостью не сказывается непреодолимый раскол между душами, выражениями которых они являются.

Чистые числа, сущность которых египтяне словно бы прятали, испытывая глубокую робость перед тайной, в кубическом стиле своей ранней архитектуры, являлись ключом к смыслу всего ставшего, косного, а значит, преходящего также и для греков. Каменное изваяние и научная система отрицают жизнь. Математическое число как формальный базовый принцип простирающегося мира, присутствующее здесь лишь исходя из человеческого бодрствования и только для него, особенностью каузальной необходимости связано со смертью, подобно тому как хронологическое число связано со становлением, с жизнью, с необходимостью судьбы. Эта связь строго математической формы с концом органического бытия, с появлением его неорганического остатка, трупа, все с большей отчетливостью выявляется в качестве источника всякого великого искусства. Развитие ранней орнаментики делается нам заметным уже на утвари и сосудах погребального культа. Числа – это символы преходящего. Косные формы отрицают жизнь. Формулы и законы распространяют по картине природы оцепенение. Числа умерщвляют. Это Матери «Фауста», царящие в величавом одиночестве «в лишенных образов мирах…

……. формированье, после измененье,
Извечных смыслов вечное храненье.
Вокруг всей твари образы кружат»[22 - «Фауст» (часть II, акт I, «Темная галерея»).].

В предчувствии окончательной тайны Гёте соприкасается здесь с Платоном. Матери, заповедное – платоновские идеи – знаменуют возможности душевности, ее нерожденные формы, которые воплотились в зримом мире, с глубочайшей необходимостью упорядоченном на основе идеи этой душевности, в виде деятельной и созданной культуры, искусства, идей, государства, религии. На этом основывается родство числового мышления данной культуры с ее идеей мира, связь, которая возвышает это мышление над простым знанием и познанием до значения мировоззрения и приводит к тому, что существует столько же математик – числовых миров, – сколько имеется высших культур. Это делает понятным и даже необходимым тот факт, что величайшие мыслители в области математики, эти подлинные художники в царстве чисел, пришли к пониманию решающих математических проблем своих культур с помощью глубоких религиозных интуиций. Так следует представлять себе создание античного, аполлонического числа Пифагором, основателем религии. Это же прачувство руководило Николаем Кузанским, великим епископом Бриксенским, когда ок. 1450 г. он, отталкиваясь от наблюдения бесконечности Бога в природе, открыл основные характерные особенности исчисления бесконечно малых. Лейбниц, окончательно установивший свои методы и обозначения двумя столетиями позже, сам на основе чисто метафизических наблюдений божественного принципа и его связей с бесконечными протяжениями развил идеи analysis situs [топология (лат.)], эту, быть может, гениальнейшую интерпретацию чистого пространства, освобожденного от всего чувственного, богатые возможности которой были развиты лишь в XIX в. Грассманом в его «Учении о протяженности» и прежде всего Риманом, подлинным его творцом, в его символике двусторонних поверхностей, представляющих свойства уравнений. Кеплер же и Ньютон, оба от природы до крайности религиозные, так и сохранили незыблемой свою, подобную Платоновой, убежденность в том, что именно посредством чисел им удалось интуитивно постигнуть сущность божественного миропорядка.

7

Лишь Диофант, как приходится слышать вновь и вновь, освободил античную арифметику от ее привязанности к чувственному, расширил и повел дальше, алгебру же, как учение о неопределенных величинах, хотя и не создал, но представил на обозрение – внезапно, несомненно, как переработку уже имевшихся идей. Правда, то было не обогащение, но полнейшее преодоление античного мироощущения, и уже одно это должно было бы доказывать, что внутренне Диофант уже больше не принадлежал античной культуре. В нем деятельно сказывается новое ощущение числа или, скажем так, ощущение границы в отношении действительного, ставшего – уж больше не греческое, из чувственно-данных граничных значений которого явилась наряду с евклидовой геометрией осязаемых тел еще и пластика обнаженной скульптуры и деньги как монета. Нам неизвестны детали разработки этой новой математики. В «позднеантичной» математике Диофант стоит настолько особняком, что высказывались даже предположения о влиянии со стороны Индии. Однако вновь это окажется воздействием тех раннеарабских высших школ, чьи научные результаты, помимо догматических, исследованы пока еще так недостаточно. Под лежащим на поверхности намерением придерживаться Евклидова хода мыслей у Диофанта появляется новое чувство границы (я называю его магическим), вовсе не сознававшее своей противоположности тому античному представлению, к которому оно стремилось. Идея числа как величины оказывается не просто расширенной, но незаметно снятой. Что такое неопределенное число а и неименованное число 3 (оба они не являются ни величиной, ни мерой, ни отрезком) – на этот вопрос ни за что не мог бы ответить грек. Во всяком случае, в основании диофантовых наблюдений лежит новое, ставшее зримым в этих видах чисел ощущение границы. Само же применяемое у нас буквенное исчисление, в обличье которого сегодня предстает еще раз полностью переосмысленная алгебра, было введено Виета в 1591 г. вначале как ощутимая, но бессознательная оппозиция падкому на все античное счислению Возрождения.

Диофант жил ок. 250 г. по Р. X., т. е. в третьем столетии арабской культуры, чей исторический организм лежал до сих пор погребенным под поверхностными формами римской императорской эпохи и «Средневековья»[52 - Ср. т. 2, гл. 3; см. с. 694.], между тем как к ней относится все то, что возникло посреди ландшафта будущего ислама. Именно тогда перед лицом нового пространственного ощущения купольных строений, мозаик и рельефов саркофагов в древнехристианско-сирийском стиле изгладились последние следы пластики античной статуи. Тогда снова появились архаическое искусство и строго геометрический орнамент. Именно тогда Диоклетиан довел до конца создание халифата теперь уже только по наружности Римской империи. 500 лет отделяют Диофанта от Евклида, Плотина – от Платона, первого схоластика только пробудившейся тогда культуры Дунса Скота – от последнего, замыкающего мыслителя культуры завершенной, Канта.

Здесь мы впервые сталкиваемся с неведомым прежде существованием тех великих индивидуумов, чье становление, рост и увядание образуют подлинную субстанцию всемирной истории, протекающей под тысячеликой, приводящей в замешательство поверхностью. Пришедшая к своему завершению в римской интеллигенции античная душевность, чье «тело» образует античная культура с ее произведениями, идеями, деяниями и развалинами, появилась на свет ок. 1100 г. до Р. X. среди ландшафта Эгейского моря. Зарождающаяся на Востоке начиная с Августа под покровом античной цивилизации арабская культура берет свое начало всецело из недр ландшафта между Арменией и Южной Аравией, Александрией и Ктесифоном. В качестве выражения этой новой души следует рассматривать почти все «позднеантичное» искусство императорского времени, все пронизанные юным жаром восточные культы, мандаитскую и манихейскую религии, христианство и неоплатонизм, императорские форумы в Риме и возведенный там Пантеон, эту самую раннюю из всех мечетей.

То, что в Александрии и Антиохии писали все еще по-гречески и полагали также, что по-гречески мыслят, имеет не большее значение, чем то обстоятельство, что наука Запада вплоть до Канта предпочитала латинский язык или что Карл Великий «возродил» Римскую империю.

У Диофанта число больше не есть мера и сущность скульптурных вещей. На мозаиках Равенны человек более не тело. Греческие обозначения незаметно утратили свое первоначальное содержание. Мы покидаем область аттической ??????????? [физического и нравственного совершенства (греч.)], стоических ???????? и ?????? [невозмутимости и безмятежности (греч.)]. Правда, Диофанту еще неизвестны нуль и отрицательные числа, однако скульптурные единицы пифагорейских чисел ему уже неизвестны. С другой стороны, неопределенность неименованных арабских чисел представляет собой все же нечто совершенно иное, нежели закономерная изменчивость позднего западного числа, функции.

Магическая математика вполне последовательно и мощно развивалась (хотя подробности этого нам неизвестны) и после Диофанта (который уже сам предполагает определенное развитие) вплоть до своего завершения в эпоху Аббасидов в IX в., как это доказывается уровнем знаний у Аль-Хорезми и Аль-Зиджи. Что означает рядом с евклидовой геометрией аттическая скульптура (тот же самый язык форм в ином обличье), что означает рядом с пространственным анализом полифонический стиль в инструментальной музыке, то же самое означает рядом с этой алгеброй магическое искусство мозаики, все с большим богатством развивавшиеся в империи Сасанидов, а позже в Византии арабески с их чувственно-бесплотным улетучиванием (Verschweben) органических формальных мотивов и горельефы константиновского стиля с неопределенной глубокой темнотой фона, оставленного между свободно изваянными фигурами. Как алгебра соотносится с античной арифметикой и западным анализом, так и купольная церковь соотносится с дорическим храмом и готическим собором.

Не то чтобы Диофант был великим математиком. То, из-за чего чаще всего вспоминают его имя, содержится не в его трактатах, а то, что в них содержится, вне всякого сомнения, не является всецело его собственностью. Его обязанное случаю значение заключается в том, что – насколько нам известно – у него первого с совершенной несомненностью заявило о себе новое ощущение числа. Сравнивая его с мастерами, завершавшими математику, такими как Аполлоний и Архимед в античной математике и соответствующие им Гаусс, Коши и Риман – в математике западной, мы находим у Диофанта, прежде всего в его формульном языке, нечто примитивное, что до сих пор охотно приписывалось позднеантичному упадку. Впоследствии мы это поймем и научимся ценить – по образцу той переоценки до сих пор прямо-таки презиравшегося якобы позднеантичного искусства в продвигающееся пока на ощупь самовыражение только еще пробуждающегося раннеарабского мироощущения. Такое же архаическое, примитивное и гадательное впечатление производит и математика Николая Оресма, епископа Лизье (1323–1382), впервые на Западе введшего свободную разновидность координат и даже степени с дробными показателями, которые предполагают – еще неясное, но несомненно наличное – ощущение числа, которое всецело неантично, но в то же время не походит и на арабское. Рядом с Диофантом вспоминаются раннехристианские саркофаги из римских собраний, а рядом с Оресмом – готические задрапированные статуи из немецких соборов, и нечто родственное можно заметить также и в ходе математических рассуждений, которые представляют у того и другого одну и ту же раннюю ступень абстрактного понимания. Стереометрическое ощущение границы в последней отточенности и изяществе какого-нибудь Архимеда, что предполагает интеллигенцию мировой столицы, уже давно исчезло без следа. Повсюду в раннеарабском мире господствует смутный, тоскливый, мистический настрой, аттических ясности и свободы нет и в помине. Здесь живут земнородные люди раннего ландшафта, а не такие обитатели крупных городов, как Евклид и Д’Аламбер[53 - Во II в. по Р. X. Александрия уже не была мировой столицей, а превратилась в оставшуюся от эпохи античной цивилизации массу домов, в которых обитало наделенное примитивными ощущениями, иное в душевном плане население. Ср. с. 606.]. Глубокие и усложненные построения античного мышления здесь больше не понимали, но располагали спутанными и новыми, отчетливая духовно-городская формулировка которых будет получена еще не скоро. Вот готическое состояние всякой юной культуры, через которое сама античность прошла еще в раннедорическую эпоху, от которой не сохранилось ничего, за исключением керамики дипилонского стиля. Лишь в Багдаде в IX и X вв. зрелые мастера, не уступавшие Платону и Гауссу, провели до конца и завершили концепции ранней эпохи Диофанта.

8

Решающим свершением Декарта, чья «Геометрия» вышла в свет в 1637 г., явилось не введение нового метода или точки зрения в области традиционной геометрии, как это постоянно изображают, но окончательная концепция новой идеи числа, которая выразилась в отделении геометрии от зрительных средств конструкции, вообще от измеренных и измеримых отрезков. Тем самым анализ бесконечно малых сделался свершившимся фактом. Декарт, если проникнуть в глубину его помыслов, не усовершенствовал жесткую, так называемую декартову систему координат, это идеальное представление измеримых величин в полуевклидовом смысле, которая имела величайшее значение в предыдущий период, например у Оресма, но ее преодолел. Его современник Ферма был ее последним классическим представителем.

На место чувственного момента конкретных отрезков и поверхностей, этого специфического выражения античного ощущения границы, заступает абстрактно-пространственный, а значит, неантичный момент точки, характеризуемой отныне как группа взаимноупорядоченных чистых чисел. Декарт уничтожил пришедшее из античных текстов и арабской традиции понятие величины, чувственного размера, и заменил его переменным значением соотношения положений в пространстве. Это было упразднение геометрии как таковой, которая начиная с этого момента ведет в пределах числового мира лишь призрачное, завуалированное античными реминисценциями существование, однако этого никто не заметил. Слово «геометрия» ни за что не отлучить от присутствующего в нем аполлонического смысла. Начиная с Декарта эта якобы «новая геометрия» представляет собой либо синтетическую деятельность, которая числами определяет положение точек в теперь уже не обязательно трехмерном пространстве («точечное многообразие»), либо аналитическую, которая определяет уже числа положением точек. Однако заменить отрезки положениями – это значит понимать протяжение теперь уже чисто пространственно, а не телесно.

Мне представляется, что классическим примером этого уничтожения наследия доставшейся от предыдущих поколений конечно-оптической геометрии является обращение круговых функций (которые в каком-то едва ли постижимом для нас смысле были «числами» индийской математики) в циклометрические с их последующим разложением в ряды, утратившие в бесконечной числовой области алгебраического анализа хотя бы самое отдаленное напоминание о геометрическом образе в духе Евклида. Число круга, ?, возникая повсюду вновь и вновь в этой числовой области в качестве основания натуральных логарифмов е, порождает отношения, изглаживающие все границы прежних геометрии, тригонометрии и алгебры, которые не имеют теперь ни арифметического, ни геометрического характера: теперь в связи с ними никто более не имеет в виду ни действительно вычерченного круга, ни степеней, которые следует вычислить.

9

Между тем как благодаря Пифагору ок. 540 г. античная душа пришла к открытию своего, аполлонического числа как измеримой величины, душа Запада в точно соответствующий временной момент отыскала благодаря Декарту и его поколению (Паскаль, Ферма, Дезарг) идею числа, родившуюся из неодолимого фаустовского пристрастия к бесконечному. Число как чистая величина, пристегнутая к телесному присутствию единичной вещи, находит свое контрастное подобие в числе как чистом отношении[54 - Это в точности отвечает соотношению монеты и двойной бухгалтерии в денежном мышлении той и другой культуры, ср. с. 1029 слл.]. Если античный мир, космос, исходя из его глубокой потребности в зримой ограниченности, может быть определен как исчисленная сумма материальных вещей, то наше мироощущение осуществилось в картине бесконечного пространства, в котором все зримое, как обусловленное в противоположность необусловленному, воспринимается едва ли не как действительность второго порядка. Его символом оказывается решающее понятие функции, и намека на которое нет ни в одной другой культуре. Функция – это отнюдь не расширение какого бы то ни было из существующих понятий числа; она представляет собой полное его преодоление. Тем самым для действительно значимой математики Западной Европы утрачивает ценность не только евклидова, а значит, «общечеловеческая», основанная на повседневном опыте геометрия детей и профанов, но и архимедова сфера элементарного счета, арифметика. Отныне существует лишь абстрактный анализ. Для людей античности геометрия и арифметика были замкнутыми в самих себе и совершенными науками высшего ранга; процедуры той и другой были наглядными, имевшими дело с величинами через черчение или счет. Для нас же они – лишь практические вспомогательные средства повседневной жизни. Два античных метода вычисления величин, сложение и умножение, эти братья графических построений, полностью исчезают в бесконечности функциональных процессов. Сама степень, являющаяся поначалу лишь числовым обозначением определенной группы умножений (для произведений одинаковых величин), оказывается – в новом символе экспоненты (логарифма) и его применении в комплексной, отрицательной, дробной форме – всецело отделенной от понятия величины и переведенной в мир трансцендентных отношений, который должен был оставаться недоступным грекам, знавшим лишь две положительные, целочисленные степени в качестве представителей поверхностей и тел, – довольно будет привести такие выражения, как

Все глубокие по мысли порождения, которые начиная с Возрождения стремительно следовали одно за другим, – мнимые и комплексные числа, введенные Кардано уже в 1550 г., бесконечные ряды, надежно обоснованные в плане теории великим открытием теоремы Ньютона о биноме, введенные ок. 1610 г. логарифмы, дифференциальная геометрия, открытый Лейбницем определенный интеграл, множество как новая числовая единица, намек на что имелся уже у Декарта, такие новые процессы, как неопределенное интегрирование, разложение функций в ряды, даже в бесконечные ряды других функций, – все это есть не что иное, как победы, одержанные над коренящимся в нас вульгарно-чувственным ощущением числа, которое следовало преодолеть исходя из духа новой математики с ее задачей воплощения нового мироощущения. Не было доныне второй такой культуры, которая окружала бы таким благоговением достижения другой, находилась бы под таким сильным ее влиянием в научном смысле, как это происходит с западной культурой по отношению к культуре античной. Много, очень много времени прошло, пока мы собрались с духом и стали пользоваться собственным мышлением. В основании этого лежало неизменное желание ни в чем не уступить античности. Тем не менее каждый шаг, делавшийся с этой целью, был на самом деле удалением от идеала, к которому стремились. Поэтому история западноевропейской науки представляет собой последовательное освобождение от античного мышления, – освобождение, которого никто вовсе и не желал, которое было навязано нам в глубинах бессознательного. Таким образом, развитие новой математики вылилось в негласную, долгую, увенчавшуюся в конце концов победой борьбу против понятия величины[55 - То же самое может быть сказано и о римском праве, ср. с. 583 слл., и о монете, ср. с. 1034 сл.].

10

Ориентированные на античность предубеждения мешали нам по-новому обозначить собственно западное число как таковое. Язык символов современной математики замазывает этот факт, и прежде всего на его счет следует отнести то, что еще и сегодня также и среди математиков господствует убеждение в том, что числа – величины, ибо на этой предпосылке, разумеется, и основывается наш способ письменных обозначений.

Однако новым числом являются не служащие для выражения функции отдельные символы (х, ?, 5), а сама функция как единство, как элемент, как переменное отношение, более не вмещающееся в оптические границы. Для него понадобился бы новый, не находившийся под влиянием античных воззрений формульный язык.