Закат Западного мира. Очерки морфологии мировой истории

Необходимо давать себе ясный отчет, чем отличаются друг от друга два таких уравнения (уже само одно это слово не должно было бы одновременно обозначать столь разноплановые вещи), как 3

+ 4

= 5

и х

+ у

= z

(уравнение теоремы Ферма). Первое образовано несколькими «античными числами» (величинами), второе представляет собой число другого рода, что оказывается сокрытым тождественным способом записи, который развился под впечатлением евклидовско-архимедовских представлений. В первом случае знак равенства является констатацией жесткой связи определенных, доступных чувствам величин; во втором – он устанавливает существующую внутри группы переменных образований связь такого рода, что определенные изменения необходимо влекут за собой другие. Цель первого уравнения – определение (измерение) конкретной величины, «результата»; у второго вообще нет никакого результата, а является оно лишь отображением и знаком отношения, которое исключает целочисленные значения для п > 2 (это и есть знаменитая проблема Ферма), что, возможно, удастся доказать. Греческий математик вообще бы не взял в толк, какова собственно цель операций такого рода, вообще не направленных на «вычисление» как таковое.

Понятие неизвестного всецело сбивает с толку, если применить его к буквам уравнения Ферма. В первом, «античном», x является определенной и измеримой величиной, которую следует получить. Во втором слово «определить» для х, у, z и п вовсе не имеет никакого смысла, и, следовательно, мы не желаем получать «значения» этих символов, т. е. они вообще не являются числами в скульптурном смысле, а знаками такой взаимозависимости, у которой вообще отсутствуют такие черты, как величина, образ и однозначность, знаками бесконечности возможных положений одного и того же характера, которые становятся собственно числами, лишь будучи осознаны как единство. Все уравнение в целом, в символьной записи, которая, к сожалению, использует много вводящих в заблуждение символов, фактически является одним-единственным числом, и х, у, z являются ими столь же мало, как + и =.

Ибо понятие конкретного, определенного числа оказалось в глубочайшем своем основании уничтоженным уже с введением понятия иррационального, всецело антигреческого числа. Теперь эти числа образуют уже не обозримый ряд нарастающих, дискретных, скульптурных величин, но поначалу одномерный континуум, каждое сечение которого (в смысле Дедекинда) представляет «число», которому вряд ли стоило давать это старое обозначение. Для античного ума между 1 и 3 существует лишь одно число, для западного – их здесь бесконечное множество. Наконец, с введением мнимых

) и комплексных чисел (в общей форме а + bi), которые расширяют линейный континуум до в высшей степени трансцендентного образования числового тела (этого олицетворения множества однородных членов), каждое сечение которого является теперь числовой плоскостью (бесконечным множеством меньшей мощности, например совокупность всех действительных чисел), оказываются уничтожены все остатки антично-вульгарной осязаемости. Эти числовые плоскости, которые со времен Коши и Гаусса играют важную роль в теории функций, являются чисто умственными образованиями. Даже такое положительное иррациональное число, как

, могло быть – хотя бы, так сказать, от противного – воспринято античным числовым мышлением, когда его, как ??????? и ?????? [несказанное и несчетное, абсурдное (греч.)], исключали как число; но выражения в форме x + yi вообще находятся за пределами каких бы то ни было возможностей античного мышления. На распространении арифметических законов на всю область комплексных, внутри которой они постоянно применяются, основана теория функций, которая теперь наконец представляет западную математику в ее чистоте, поскольку она охватывает в себе все единичные области и их упраздняет. Лишь вследствие этого данная математика оказывается всецело применимой к образу одновременно развивающейся динамической физики Запада, между тем как античная математика представляет собой верное подобие того мира скульптурных единичных вещей, который теоретически и механически трактовала статическая физика от Левкиппа до Архимеда.

Классическим столетием этой барочной математики – в противоположность математике ионического стиля – явился XVIII в., который от решающих открытий Ньютона и Лейбница приводит через Эйлера, Лагранжа, Лапласа, Д’Аламбера к Гауссу. Бурный взлет этого мощного духовного творения происходил как чудо. Все едва отваживались на то, чтобы верить тому, что открывалось их глазам. Одна за другой отыскивались истины, представлявшиеся невозможными утонченным умам этой скептически настроенной эпохи. Это и имел в виду Д’Аламбер, сказав: «Allez en avant et la foi vous viendra» [Ступайте вперед, и обретете веру (фр.)]. Это относилось к теории дифференциала. Казалось, сама логика протестовала против того, чтобы основывать все предпосылки на погрешностях, и все же цель была достигнута.

Это столетие возвышенного упоения всецело абстрактными, отрезанными от телесного зрения формами (ибо рядом с этими мастерами анализа стоят Бах, Глюк, Гайдн, Моцарт), когда узкий кружок избранных и углубленных умов всецело предавался изысканным открытиям и отважным догадкам, отрезанными от которых оказались Гёте и Кант, в точности соответствует по содержанию наиболее зрелому столетию ионического стиля, к которому принадлежали Евдокс и Архит (440–350; к ним опять-таки следует присоединить Фидия, Поликлета, Алкамена и постройки Акрополя), когда весь мир форм античной математики и скульптуры расцвел во всей полноте своих возможностей и пришел к завершению.

Только теперь и возможно вполне обозреть элементарную противоположность античной и западной душевности. В пределах целостной картины истории высшего человечества невозможно – при таком множестве и силе исторических связей – отыскать ничего более чуждого друг другу. И как раз потому, что противоположности сходятся, что они, быть может, указывают на нечто общее в последнем основании бытия, мы находим в западной, фаустовской душе эту страстную тоску по идеалу аполлоническому, который она любила более всех прочих и которому завидовала из-за силы ее преданности чисто чувственному настоящему.

11

Еще до нас замечено, что в прачеловечестве, как и в ребенке, происходит внутреннее переживание, рождение «я», благодаря которому они оба постигают смысл числа, а тем самым обретают соотносящийся с «я» окружающий мир.

Как только перед изумленным взглядом раннего человека из хаоса впечатлений крупными штрихами выделяется этот предрассветный мир упорядоченных протяженностей, осмысленно ставшего, и глубоко воспринимаемая неотвратимая противоположность этого внешнего мира и мира внутреннего придает направление и облик бодрствующей жизни, в этой внезапно осознавшей собственное одиночество душе тут же рождается прачувство томления. Это томление по цели становления, по завершению и осуществлению всех внутренних возможностей, по раскрытию идеи собственного существования. Это томление ребенка, которое с нарастающей ясностью входит в сознание в качестве чувства неудержимого направления и впоследствии возникает перед созревшим духом в форме загадки времени – тревожной, влекущей, неразрешимой. Слова «прошлое» и «будущее» внезапно обретают роковой смысл.

Однако это томление от переизбытка и блаженства внутреннего становления оказывается в то же самое время в самой потаенной глубине всякой души также и страхом. Как всякое становление направлено к ставшему, которым и завершается, так и прачувство становления, томление, уже соприкасается с иным ставшего – страхом. В настоящем мы ощущаем утекание, в прошлом заложена преходящесть. В этом корень вечного страха перед неизбежным, достигнутым, окончательным, перед преходящестью, перед самим миром как воплощенным, в котором одновременно с гранью рождения оказывается заданной и грань смерти, страх перед мгновением, в которое осуществляется возможное, внутренне исполняется жизнь, где сознание приходит к цели. Это тот глубокий мировой страх детской души, который никогда не покидает высшего человека, верующего, поэта, художника в их безграничном обособлении, страх перед чуждыми силами, которые во всем своем угрожающем величии, в обличье чувственных явлений, проникают в предрассветный мир. Также и направлению во всяком становлении во всей его неумолимости – необратимости – человеческое желание понять дает, как чему-то чуждому и враждебному, имена, с тем чтобы околдовать непонятное. Это есть нечто неуловимое, превращающее будущее в прошлое, и это придает времени в противоположность пространству ту полную противоречий жутковатость и гнетущую неоднозначность, от которой не способен до конца защититься никакой значительный человек.

Мировой страх – несомненно, самое творческое из всех прачувств. Это ему человек обязан самыми зрелыми и глубокими из всех форм и образов не только собственной сознательной внутренней жизни, но также и его отражениями в бесчисленных порождениях внешней культуры. Как некая тайная, доступная не всякому уху мелодия, страх проходит через язык форм всякого подлинного произведения искусства, всякой внутренней философии, всякого значительного поступка, и это он – доступный здесь еще меньшему числу людей – лежит в основе также и великих проблем всякой математики. Лишь внутренне умерший человек поздних городов – Вавилона Хаммурапи, птолемеевой Александрии, исламского Багдада или нынешних Парижа и Берлина, лишь этот чисто интеллектуальный софист, сенсуалист и дарвинист уходит от него или его отрицает, воздвигая между собой и чуждым лишенное тайны «научное мировоззрение».

Если томление связывается с тем неуловимым нечто, чьи тысячеликие неуловимые знаки присутствия скорее скрываются, чем обозначаются словом «время», то прачувство страха находит выражение в духовных, доступных, способных к преобразованию символах протяжения. Так, в бодрствовании всякой культуры, во всякой по-своему, присутствуют противоформы времени и пространства, направления и протяжения, причем первое лежит в основе второго, как становление – в основе ставшего (ибо также и томление лежит в основе страха, это оно делается страхом, а не наоборот); первое ускользает от силы духа, а второе стоит у нее на службе, первое служит только переживанию, второе только познанию. «Бояться и любить Бога» – вот христианское выражение противоположного смысла того и другого мироощущения.

В душе всего прачеловечества, а значит, и наиболее раннего детства возникает стремление к тому, чтобы околдовать, принудить, примирить, т. е. «познать» (в конечном счете все это одно и то же), момент чуждых сил, которые неумолимо присутствуют во всем протяженном, в пространстве и посредством пространства. Познать Бога означает на языке мистики всякого раннего времени его заклясть, сделать его расположенным к себе, внутренне его присвоить. Это происходит в первую очередь посредством слова, «имени», которым человек называет питеп, призывает его, или прибегая к обрядам культа, которым присуща тайная сила. Наиболее тонкой, однако также и наиболее могущественной формой такой защиты является каузальное, систематическое познание, обозначение границ с помощью понятий и чисел. Так что человек делается до конца человеком лишь посредством словесного языка. Вызревшее на словах познание с необходимостью превращает хаос изначальных впечатлений в «природу» (это для нее существуют законы, которым она должна повиноваться), «мир сам по себе» – в «мир для нас»[56 - Что касается формы, ничего не изменилось от «колдовства на имя» у дикарей и вплоть до новейшей науки, которая покоряет вещи тем, что чеканит для них имена, а именно специальные термины. Ср. т. 2, с. 642 сл., 776 слл.]. Оно утоляет мировой страх, поскольку обуздывает исполненное тайны, преобразует его в доступную действительность, сковывает железными правилами напечатленного на нем интеллектуального языка форм.

Это идея «табу»[57 - Ср. т. 1, гл. 2, раздел 7; см. с. 144.], которая играет решающую роль в душевной жизни всех примитивных людей, однако ее изначальное содержание настолько далеко от нас, что слово это более невозможно перевести ни на один зрелый язык культуры. Беспомощный страх, священный трепет, глубокая оставленность, уныние, ненависть, смутные желания сближения, соединения, удаления – все эти исполненные формы ощущения зрелых душ испаряются на стадии детскости в тупую нерешительность. Двойное значение слова «заклинать», означающего в одно и то же время «принуждать» и «молить», способно прояснить смысл того мистического процесса, посредством которого чуждое и вызывающее опасения становится для раннего человека «табу». Благоговейный трепет перед всем, что от него независимо, узаконено, законно, перед чуждыми силами в мире, является источником всякого изначального оформления. В глубокой древности он воплощался в орнамент, в педантичное следование церемониалу и ритуалу и в строгие правила элементарного общения. На высоте великих культур все эти образования, внутренне не теряя особенностей своего происхождения, в том числе характера чар и заклинания, становятся совершенными мирами форм отдельных искусств, религиозного, естественно-научного и прежде всего математического мышления. Их общим средством, единственным, которое известно самоосуществляющейся душе, является символизация протяженного, пространства и предметов – будь то концепция абсолютного мирового пространства в физике Ньютона, внутренние объемы готических соборов и мавританских мечетей, воздушная бесконечность полотен Рембрандта и ее повторение в невнятных звуковых мирах бетховенских квартетов, или же правильные многогранники Евклида, скульптуры Парфенона или пирамиды Древнего Египта, нирвана Будды, строгая дистанцированность придворных обычаев при Сесострисе, Юстиниане I и Людовике XIV, либо, наконец, идея бога у Эсхила, Плотина или Данте или охватывающая весь мир пространственная энергия современной техники.

12

Но вернемся к математике. Исходной точкой всего античного формирования было, как мы уже видели, упорядочивание ставшего – постольку, поскольку оно имеется в наличии, обозримо, измеримо и исчисляемо. Западное, готическое чувство формы, присущее не знающей меры волевой душе, блуждающей в далеких далях, избрало символ чистого, ненаглядного, безграничного пространства. Только не следует обманываться насчет узкой применимости таких символов, которые с легкостью могут представиться нам однородными, общезначимыми. Нашего бесконечного мирового пространства, в отношении реальности которого, как кажется, нечего и распространяться, с точки зрения античного человека просто нет в природе. Он не способен его даже вообразить. С другой стороны, греческий космос, глубокой отчужденности которого от нашего способа восприятия не следовало оставаться незамеченной так долго, является для грека чем-то само собой разумеющимся. Действительно, абсолютное пространство нашей физики – это форма с очень многими, чрезвычайно запутанными и принимаемыми по умолчанию предпосылками, которая возникла лишь на основе нашей душевности в качестве ее отображения и выражения, а значит, действительна, необходима и естественна лишь для нашего вида бодрствующего существования. Простые понятия всегда и самые трудные. Их простота заключается в том, что бесконечно многое из того, что сказать невозможно, вовсе и не нуждается в том, чтобы быть высказанным, потому что для людей этого круга оно установлено раз навсегда на интуитивном уровне, чужакам же как раз по той же самой причине все это совершенно недоступно. Это относится к специфически западному содержанию слова «пространство». Начиная с Декарта, вся математика занята теоретической интерпретацией этого великого, всецело наполненного религиозным содержанием символа. Физика со времен Галилея ни о чем ином и не помышляет. Античным же математике и физике вообще неведом смысл этого слова.

Также и здесь античные названия, сохраненные нами из литературного наследия греков, затемняют фактическое положение вещей. Геометрией называется искусство измерения, арифметикой – вычисления. Математика Запада больше не имеет ничего общего с обоими этими видами ограничения, однако она не нашла для них никаких новых имен. Слово же «анализ» говорит еще далеко не все.

Античный человек начинает и завершает свои рассуждения единичным телом и его граничными поверхностями, к которым непрямым образом относятся сечения конуса и кривые высшего порядка. Мы же, по сути, знаем лишь абстрактный пространственный элемент точку, которая представляет собой исключительно лишь отправной пункт – лишенный всякой наглядности, а также возможности измерения и именования. Для греков прямая – это измеримое ребро, для нас же она неограниченный точечный континуум. В качестве примера принципа бесконечно малых Лейбниц приводит прямую, представляющую собой предельный случай круга с бесконечно большим радиусом, между тем как точка является другим предельным случаем. Однако для греков круг – это поверхность, и проблема заключается в том, чтобы привести ее в соизмеримый вид. Так квадратура круга сделалась для умов античных людей классической задачей на предел. Это представлялось им самой глубокой из всех вообще задач мировой формы: превратить ограниченные кривыми линиями поверхности, не меняя их величины, в прямоугольники и тем самым сделать их измеримыми. Для нас отсюда возникла малозначительная процедура по представлению числа ? алгебраическими средствами, без того чтобы при этом вообще заходила речь о геометрических построениях.

Античный математик знает лишь то, что видит, что ему доступно. Там, где прекращается ограниченная и ограничивающая видимость, тема хода его рассуждений, приходит к концу и его наука. Западный же математик, как только освободится от античных предубеждений и принадлежит самому себе, отправляется во всецело абстрактную n-мерную (а уже вовсе не 3-мерную) область бесконечного числового разнообразия, внутри которой его так называемая геометрия способна и должна управиться без каких-либо наглядных вспомогательных средств. Если античный человек берется за художественное выражение своего чувства формы, он старается придать танцующему или борющемуся человеческому телу такое положение в мраморе и бронзе, в котором поверхности и контуры имели бы как можно больше соразмерности и смысла. Подлинный же художник Запада зажмуривает глаза и уносится в область бесплотной музыки, где гармония и полифония ведут к образованиям высшей «запредельности», находящимся вдали от каких-либо возможностей зрительного определения. Стоит задуматься о том, что понимают под фигурой афинский скульптор и мастер контрапункта с Севера, как сразу во всей непосредственности осознаешь противоположность того и другого мира, той и другой математики. Греческие математики использовали слово ?µ? даже для обозначения своих математических тел. С другой стороны, язык права пользуется им для обозначения лиц в противоположность вещам (??µ??? ??? ????µ???: personae et res).

Поэтому античное целое, телесное число непроизвольно стремится к установлению связи с возникновением телесного человека, ?µ?. Число 1 еще почти и не воспринимается в качестве настоящего числа. Оно является ????, протовеществом числового ряда, источником всех подлинных чисел, а значит, всех величин, всех мер, всей вещественности. В пифагорейских кругах, не важно, в какую эпоху, его числовой символ являлся в то же самое время символом материнского лона, источника всякой жизни. 2, первое число в собственном смысле, которое удваивает 1, оказывается поэтому в связи с мужским началом, и его символ был имитацией фаллоса. Наконец, пифагорейская священная тройка знаменовала акт соединения мужчины и женщины, порождения (эротический смысл сложения и умножения, этих исключительных по значимости для античности процессов увеличения величин, их порождения, лежит на поверхности), и ее символом было объединение двух первых. Исходя из этого упоминавшийся миф о святотатственном открытии иррациональности предстает в новом свете. Иррациональность, или, выражаясь по-нашему, применение бесконечных десятичных дробей, означала разрушение установленного богами органически-телесного, порождающего порядка. Нет сомнения в том, что пифагорейская реформа античной религии вновь базировала ее на стародавнем культе Деметры. Деметра же близка к Гее, матери-земле. Между ее почитанием и этим возвышенным пониманием чисел существует глубокая связь.

Так античность в силу внутренней необходимости постепенно стала культурой малого. Аполлоническая душа старалась заклясть смысл ставшего с помощью принципа обозримых границ; ее «табу» было направлено на непосредственную данность и близость чужого. Все, что находилось далеко, что невозможно было увидеть, того и не было вовсе. Греки, как и римляне, приносили жертвы богам той местности, в которой находились; все прочие исчезали из их поля зрения. Подобно тому как в греческом языке не имелось ни одного слова для пространства (нам еще придется вновь и вновь прослеживать колоссальную символику этого языкового феномена), у грека также отсутствует наше ощущение ландшафта, восприятие горизонта, вкус к видам, далям, облакам, а также и понятие родины, которая простирается вдаль и охватывает большую нацию. Для античного человека родина – это то, что он может охватить взглядом с крепости своего родного города, и не более того. Все, что находилось за пределами этой оптической границы политического атома, было чуждым, даже враждебным. Уже здесь берет начало страх античного существования, и этим объясняется чудовищная ожесточенность, с которой уничтожали друг друга эти крохотные городки. Полис – самая малая из всех мыслимых государственных форм, и его политика – это неприкрытая политика близи, что в крайней степени противоположно нашей кабинетной дипломатии, политике безграничного. Античный храм, который можно охватить одним взглядом, – самый малый из всех классических типов зданий. Геометрия от Архита и до Евклида занимается (как продолжает это делать еще и сегодня находящаяся под ее впечатлением школьная геометрия) небольшими, удобными в обращении фигурами и телами, так что от нее остались скрытыми те трудности, которые возникают при обосновании фигур с астрономическими размерами, где уже не во всем применима евклидова геометрия[58 - Ныне в современной астрономии начинается применение неевклидовых геометрий. Допущение неограниченного, однако конечного, искривленного пространства, заполненного системой неподвижных звезд диаметром приблизительно в 470 миллионов астрономических единиц, привело бы также и к допущению соответствующего образа нашего Солнца, представляющегося нам в виде звезды средней яркости.]. В противном случае утонченный аттический ум уже тогда догадался бы о проблемах неевклидовых геометрий, поскольку от возражений против известной аксиомы о параллельных прямых[59 - Что через точку можно провести лишь одну линию, параллельную данной, – высказывание, которое невозможно доказать.], сомнительная и все же не поддающаяся улучшению формулировка которой вызвала неприятие уже довольно рано, уже совсем недалеко до решающего открытия. Как для античного разума чем-то само собой разумеющимся является исключительное рассмотрение ближнего и малого, так для нашего разума само собой разумеется рассмотрение бесконечного, перешагивающего границы зрения. Все математические воззрения, которые были открыты или позаимствованы Западом, как что-то само собой разумеющееся отдавались во власть языка форм инфинитезимальных величин, и это задолго до открытия самого? дифференциального исчисления. Арабская алгебра, индийская тригонометрия, античная механика оказываются без долгих проволочек включенными в анализ. Даже «очевиднейшее» выражение элементарного счета, о том, что, например, 2 ? 2 = 4, приводит, будучи рассмотренным с точки зрения анализа, к проблеме, решение которой возможно лишь посредством выведений из теории множеств, причем во многих частностях такое решение еще и не было получено, – что, несомненно, показалось бы Платону и его эпохе полным безумием и доказательством решительного отсутствия математического дара.

Можно, что называется, трактовать геометрию алгебраически или же алгебру – геометрически, т. е. полностью исключать зрение или давать ему господствовать. Первым занимаемся мы, вторым же занимались греки. В выполненном Архимедом красивом вычислении спирали он касается определенных всеобщих фактов, лежащих также и в основе метода определенного интеграла Лейбница, однако тут же подчиняет свои выглядящие при поверхностном рассмотрении очень по-современному процедуры принципам стереометрии; в подобном случае индус прибег бы – как к чему-то само собой разумеющемуся – к тригонометрической формулировке[60 - Сегодня уже невозможно установить, что именно в известной нам индийской математике является древнеиндийским, т. е. создано до Будды.].

13

Коренная противоположность античных и западных чисел приводит также к еще одной, столь же глубинной противоположности. Я говорю об отношениях, в которых находятся друг к другу элементы этих числовых миров. Отношение величин называется пропорцией, отношение же соотношений содержится в понятии функции. Покинув пределы математики, оба этих слова играют чрезвычайно большую роль в технике обоих соответствующих искусств, в скульптуре и музыке. Если всецело отвлечься от смысла, который имеет слово «пропорция» применительно к членению отдельной статуи, то именно типично античные художественные формы статуи, рельефа и фрески допускают увеличение и уменьшение масштаба – слова, не имеющие абсолютно никакого смысла применительно к музыке. Можно вспомнить и об искусстве резания гемм, предметом которого было в основном уменьшение мотивов, имевших в оригинале натуральную величину. Напротив того, решающее значение внутри теории функций имеет понятие трансформации групп, и музыкант подтвердит, что аналогичные образования образуют значительную часть новейшего учения о композиции. Напомню лишь об одной из самых утонченных инструментальных форм XVIII в. – tema con variazioni [тема с вариациями (ит.)].

Всякая пропорция предполагает постоянство, всякая трансформация – изменчивость элементов: здесь достаточно сравнить теоремы равенства в редакции Евклида, доказательство которых основывается фактически на данном соотношении 1 : 1, с их современным выводом с помощью круговых функций.

14

Конструкция, которая в широком смысле включает в себя все методы элементарной арифметики, является альфой и омегой античной математики – построение одной-единственной и зримо данной фигуры. Циркуль – вот резец этого по сути еще одного изобразительного искусства. Труд исследователей в области теории функций, чья цель вовсе не результат в виде некой величины, но обсуждение общих формальных возможностей, можно назвать разработкой своего рода учения о композиции, имеющего близкое родство с композицией музыкальной. Целый ряд понятий теории музыки оказался безусловно применимым также и к аналитическим операциям физики: тональность, фразировка, хроматика и другие, и еще вопрос, не выиграли ли бы от такого применения еще и многие другие отношения.

Всякая конструкция утверждает видимость, всякая же операция ее отрицает, поскольку первая разрабатывает то, что дано оптически, вторая же все это упраздняет. Так появляется еще одна противоположность того и другого вида математических процедур: античная математика малого рассматривает конкретный единичный случай, рассчитывает определенное задание, исполняет одноразовую конструкцию. Математика бесконечного имеет дело с целыми классами формальных возможностей, с группами функций, операций, уравнений, кривых, и это еще не имея в виду какой бы то ни было результат, но исключительно продвижение к нему. Прошло вот уже два столетия (в чем едва ли отдают себе отчет современные математики) с тех пор, как возникла идея общей морфологии математических операций, которую можно было бы назвать подлинным смыслом всей математики Нового времени. В этом о себе заявляет всеобъемлющая тенденция западной духовности в целом, и впоследствии она будет все больше проясняться, – тенденция, являющаяся достоянием исключительно одного только фаустовского духа и его культуры, поскольку подобных устремлений ни в одной другой культуре нет. Преобладающее большинство вопросов, занимающих нашу математику как наиболее близкие ей проблемы (чему у греков соответствует квадратура круга), как, например, нахождение критериев сходимости бесконечных рядов (Коши) или обращение эллиптических и вообще алгебраических интегралов в многократно-периодические функции (Абель, Гаусс), вероятно, представилось бы «древним», которые отыскивали в качестве результатов простые определенные величины, остроумной, но несколько замысловатой игрой, и в этом они оказались бы всецело поддержанными также и широкими кругами в наше время. Нет на свете ничего менее популярного, чем современная математика, и также и здесь проглядывает что-то от символики бесконечной дали, дистанции. Все великие творения Запада от Данте и до Парсифаля оказывались непопулярными, все же античные от Гомера и до Пергамского алтаря были популярными в высшей степени.

15

И наконец, все содержание западного числового мышления фокусируется в классической для фаустовской математики проблеме предела, скрывающей в себе ключ к тому труднодоступному понятию бесконечного (фаустовского бесконечного), которое весьма удалено от бесконечности арабского и индийского мироощущения. Речь идет о теории предела, вне зависимости от того, будет ли соответствующее число рассматриваться по отдельности как бесконечный ряд, кривая или функция. Предел этот является полной противоположностью античного, до сих не называвшегося данным именем, который обсуждался в связи с квадратурой круга, этой классической задачей на предел. Еще в XVIII в. вульгарно-евклидовские предубеждения затемняли смысл дифференциального принципа. С какой бы осмотрительностью ни применялось поначалу вполне доступное понятие бесконечно малого, все равно на нем тяготело нечто от античной постоянной, тень величины, пускай даже Евклид не усмотрел бы ее здесь и не признал за таковую. Нуль является константой, целым числом линейного континуума между +1 и –1; исследованиям Эйлера в области анализа повредило то, что он (как и многие вслед за ним) считает дифференциалы за нули. Лишь Коши окончательно прояснил понятие предела, что позволило покончить с этим остатком античного числового ощущения и превратило исчисление бесконечно малых в непротиворечивую систему. Лишь шаг, сделанный от «бесконечно малой величины» к «нижнему пределу любой возможной конечной величины» приводит к концепции переменного числа, которое принимает значения, меньшие всякой отличной от нуля конечной величины, и, следовательно, уже не обладает никаким, даже самым незначительным, свойством величины. В этом окончательном виде предел вообще не является тем, к чему нечто приближается. Он сам представляет собой приближение, т. е. процесс, операцию. Предел – не состояние, но поведение. Именно здесь, в решающей проблеме западной математики, внезапно обнаруживается, что в нашей душевности заложена историчность[61 - «Если правильно понимать функцию, она оказывается бытием, осмысленным в деятельности» (Гёте)[711 - «Максимы и размышления», раздел «Наброски, сомнительное, незаконченное» (Goethe J. W. Werke. Berlin: Aufbau-Verlag, 1970. Bd. 18. S. 674). Цитируется, вероятно, по памяти, так как в тексте Гёте высказывание короче: «Функция есть бытие, осмысленное в деятельности».]. Ср. возникновение фаустовских функциональных денег, с. 1028.].

16

Освобождение геометрии от созерцания, а алгебры – от понятия величины, объединение их обоих в мощное здание теории функций, находящееся по другую сторону всех элементарных границ конструкций и вычислений, – вот великий путь западного числового мышления. Так античное постоянное число разрешилось в число переменное. Ставшая аналитической геометрия упразднила все конкретные формы. Она заменяет математические тела, на косном образе которых отыскивались геометрические значения, абстрактно-пространственными отношениями, которые вообще в конечном счете более не применимы к фактам чувственно данного созерцания. Вначале она заменяет оптические образы Евклида геометрическими местами точек по отношению к системе координат, начальная точка которой может быть произвольно выбрана, и сводит предметное существование геометрических объектов к тому требованию, что в ходе операции, которая направлена теперь уже не на измерения, но на уравнения, выбранная система не должна изменяться. Однако тотчас же координаты начинают пониматься исключительно как чистые значения, которые не столько определяют положение точек как абстрактных пространственных элементов, сколько репрезентируют их и заменяют. Число, предел ставшего, теперь символически представляется не образом фигуры, но образом уравнения. «Геометрия» меняет свой смысл на противоположный: система координат исчезает как образ, а точка теперь – это всецело абстрактная группа чисел. То, как благодаря новшествам Микеланджело и Виньолы архитектура Возрождения переходит в барокко, является точным отображением этого внутреннего преобразования анализа. Проясненные для чувств линии фасадов дворцов и церквей сразу делаются вдруг недействительными. Взамен четких координат флорентийско-римской расстановки колонн и членения этажей являются «инфинитезимальные» элементы изогнутых, текучих строительных украшений, волютов, картушей. Конструкция исчезает в полноте декоративного – выражаясь математически, функционального – момента; объединенные в группы и пучки колонны и пилястры, то собираясь вместе, то рассеиваясь, заполняют собой фронтоны, не давая глазу успокоиться ни на чем; поверхности стен, крыш, этажей разрешаются в половодье лепных украшений и орнаментов, исчезают и распадаются от красочных световых воздействий. Однако свет, который ныне разливается по этому миру форм зрелого барокко (начиная с Бернини ок. 1650 г. и вплоть до рококо в Дрездене, Вене и Париже), стал чисто музыкальным элементом. Дрезденский Цвингер – это симфония. Заодно с математикой также и архитектура развилась в XVIII в. в мир форм музыкального характера.

17

На пути развития этой математики должен был наконец наступить момент, когда не только границы искусственных геометрических построений, но и границы зрения вообще должны были восприниматься – как теорией, так и самой душой в ее порыве к безудержному выражению собственных внутренних возможностей – как предел, как помеха и когда, таким образом, идеал трансцендентной протяженности вступил в принципиальное противоречие с ограниченными возможностями непосредственной видимости. Античная душа, со всей самоотдачей платонической и стоической ???????? допускавшая значимость и господство чувственного начала, – эта душа, скорее воспринимавшая, нежели навязывавшая свои великие символы, как видно из подспудного эротического смысла пифагорейских чисел, никогда не испытывала желания перешагнуть пределы также и телесных здесь и теперь. Однако если пифагорейское число открылось в сущности данных единичных вещей в природе, то число Декарта и математиков, следовавших за ним, было чем-то таким, что следовало завоевать и вырвать силой, властным абстрактным отношением, независимым от всей чувственной данности и постоянно готовым к тому, чтобы заявить об этой своей независимости перед лицом природы. Воля к власти (если прибегнуть к великой формуле Ницше), которая является характерной чертой северной души в ее отношении к собственному миру начиная с наиболее ранней готики «Эдды», соборов и Крестовых походов, да собственно с завоевателей викингов и готов, заложена также и в этой энергии западного числа по отношению к созерцанию. Это и есть «динамика». В аполлонической математике дух служит зрению, в фаустовской – он его преодолевает.

Само математическое, такое неантичное, «абсолютное» пространство (в своем благоговении перед греческими традициями математика не отважилась это заметить) с самого начала было не неопределенной пространственностью повседневных впечатлений, общепринятой живописи, якобы столь однозначного и определенного априорного созерцания Канта, но чистой абстракцией, идеальным и неисполнимым постулатом души, которая все меньше удовлетворялась чувственностью как средством выражения и в конце концов страстно от нее отвратилась. Пробудилось внутреннее зрение.

Лишь теперь глубокие мыслители должны были почувствовать, что евклидова геометрия, единственная правильная геометрия для наивного наблюдателя во все времена, будучи рассмотрена с этой высшей точки зрения, оказывается всего только гипотезой, чья исключительная значимость в сравнении с другими, также совершенно не наглядными видами геометрий, как мы это определенно знаем со времен Гаусса, никогда не может быть доказана. Фундаментальное положение этой геометрии, аксиома Евклида о параллельных линиях, является утверждением, которое может быть заменено другими, а именно что через данную точку вообще нельзя провести прямую, параллельную данной, либо что таких прямых две или множество. Все это утверждения, приводящие к совершенно непротиворечивым трехмерным геометрическим системам, которые можно применять в физике и астрономии, и иногда их следует предпочитать геометрии Евклида.

Уже простое требование неограниченности всего протяженного (откуда пришлось – со времен Римана и его теории неограниченного, однако не бесконечного по причине кривизны пространства – удалить как раз таки бесконечность) противоречит подлинному характеру всякого непосредственного созерцания, которое зависит от наличия световых сопротивлений, т. е. от материальных границ. Однако мыслимы абстрактные принципы ограничения, которые превосходят возможности оптического ограничения в совершенно новом смысле. Для тех, кто способен заглянуть поглубже, уже в картезианской геометрии заложена тенденция к тому, чтобы выйти из трех измерений переживаемого пространства как из пределов, не имеющих для символики чисел никакой необходимости. И пусть даже представление о многомерных пространствах (это слово следовало бы заменить чем-то новым) стало расширенным основанием аналитического мышления примерно с 1800 г., но ведь первый шаг к этому был сделан в то мгновение, когда степени, а точнее, логарифмы были отделены от их первоначальной связи с вещественно осуществимыми поверхностями и телами и – при применении иррациональных и комплексных показателей – введены в область функционального как значения отношений совершенно общего рода. Кто вообще способен сюда последовать, поймет также и то, что уже с шагом от представления а

как естественного максимума к а

безусловность пространства с тремя измерениями оказывается снятой.

Стоило точке как пространственному элементу утратить все еще оптический характер координатного сечения в зрительно представимой системе и быть определенной как группа из трех независимых чисел, как не стало больше никаких препятствий для того, чтобы заменить число 3 общим п. Произошло перевертывание понятия измерения: теперь оно обозначает уже не числовую меру оптических свойств точки в отношении ее положения в системе, но неограниченные по количеству измерения представляют собой совершенно абстрактные свойства группы чисел. Эта группа чисел, образованная п независимых упорядоченных элементов, является образом точки; она называется точкой. Логически выведенное отсюда уравнение называется плоскостью, является образом плоскости. Совокупность всех точек в п измерений называется n-мерным пространством[62 - С точки зрения теории множеств вполне упорядоченное множество точек, вне зависимости от числа измерений, называется телом, так что множество в n –1 измерений оказывается по отношению к нему поверхностью. «Ограничение» (стена, ребро) множества точек представляет собой множество точек меньшей мощности.]. В этих трансцендентных пространственных мирах, которые более не находятся в каком-либо соотношении ни с какой чувственностью, господствуют отыскиваемые анализом отношения, находящиеся в неизменном соответствии с результатами экспериментальной физики. Эта пространственность высшего порядка представляет собой символ, являющийся безраздельным достоянием западного духа. Лишь этот дух попытался заворожить ставшее и протяженное в этой форме, заклясть, принудить, а тем самым и «познать» чуждое именно через данный вид присвоения (можно здесь вспомнить о понятии «табу») – и совладал с этой задачей. Только в этой сфере числового мышления, которая все еще доступна лишь чрезвычайно узкому кругу людей, даже такие образования, как система гиперкомплексных чисел (например, кватернионы векторного исчисления) и такие пока что совершенно непонятные символы, как ?

, получают характер чего-то реального. То, что действительность – это не одна лишь чувственная действительность, что душевный элемент скорее способен воплощать свою идею в совершенно иных, не наглядных образованиях, – как раз это-то и следует еще усвоить.

18