Сопротивление материалов. Шпаргалка для студентов

Для изучения объемно-напряженного состояния материала выберем произвольную точку тела, находящегося в напряженном состоянии, и выделим в окрестности этой точки элементарный кубик, по граням которого действуют главные напряжения ?

, ?

, ?

.

Проведем сечения, параллельные каждому из главных напряжений, и определим значение нормальных и касательных напряжений на этих площадках (Рис 7.1, Рис. 7.2, Рис. 7.3).

Рис. 7.1

Рис. 7.2

Рис. 7.3

Из условий равновесий составленных для отсеченных участков кубиков следует, что действующие на наклонных площадках напряжения не зависят от того из главных напряжений, параллельно которому эти площадки проведены. Обозначим угол наклона площадки ?, применив принцип независимости действия сил, нормальные и касательные напряжения рассмотрим как сумму действия напряжений от ?

и ?

.

?

= ?

cos

? + ?

cos

(? + 90°)

?

= 0,5?

sin2? + 0,5?

sin2(? + 90°)

Выполнив математические преобразования, запишем соотношения в виде:

?

= ?

cos

? + ?

sin

?

?

= 0,5(?

+ ?

)sin2?

Полученные формулы определяют нормальные и касательные напряжения в случае объемно-напряженного состояния материала, они же соответствуют двухосному плоско-напряженному состоянию.

Максимальное касательное напряжение при объемном напряженном состоянии материала существует на площадке, параллельной напряжению ?

, нормаль к площадке составляет угол в 45° и определяется по формуле:

?

= 0,5(?

– ?

)

14. Деформации при плоском и объемном напряженных состояниях (обобщенный закон Гука)

В пределах упругого деформирования была установлена прямая зависимость между нормальным напряжением ? и относительной деформацией ?, носящая название закона Гука.

? = Ee

Для нахождения деформации нужно выбрать одну из точек исследуемого тела и мысленно рассмотреть элементарный кубик в ее окрестности, на который действуют главные напряжения. Деформация кубика происходит во всех трех направлениях главных напряжений ?

, ?

, ?

. Такие деформации называются главными деформациями и обозначаются ?

, ?

, ?

. Совокупность главных деформаций в точке тела определяет деформированное состояние в точке.

Чтобы определить главные деформации объемного напряженного состояния, сначала определим деформации, связанные с отдельными главными напряжениями и сложим результаты. Деформация ?