100 великих парадоксов

Примерно так высказался французский математик Поль Леви: «Как можно воображать себе, что время остановится из-за того, что некий философ занимается перечислением членов бесконечного ряда. Признаюсь, я никогда не понимал, как люди, в других отношениях весьма разумные, могут оказаться смущёнными подобными парадоксами.

Мой теперешний ответ есть тот самый, который я дал, когда мне было 11 лет, старшему, рассказавшему мне этот парадокс. Я резюмировал тогда такой немногословной формулой: “Этот грек был идиотом”. Я знаю теперь, что нужно выражать свои мысли в более вежливой форме и что, возможно, Зенон излагал свои парадоксы только для того, чтобы проверить разумность своих учеников. Но моё удивление перед умами, смущаемыми сходящимся рядом, осталось тем же».

Приятно сознавать себя умнее древнегреческого философа. Но Зенон, безусловно, понимал: реальный человек, если ему нужно догнать черепаху, побежит быстрее, чем она ползёт, и не станет каждый раз намечать себе цель там, где недавно находилась черепаха.

Из Интернета я узнал, что для решения проблем, поставленных в апориях Зенона, некоторые авторы привлекают квантовую механику. Они считают рассуждения Зенона верными, ибо бесконечное деление времени и пространства невозможно из-за соотношения неопределённости, согласно которому есть «неделимая» доля энергии – квант. (Остаётся неопределённым вопрос о том, существует ли минимальный квант пространства и времени.)

Ахиллес и черепаха

Остаётся только удивляться наивности таких авторов (Поль Леви, наверное, выразился бы в данном случае грубей). Хотя не исключено, что у них тонкий квантовый юмор.

Зенон предложил именно апории, которые заводят мысль в тупик и не могут иметь рационального решения. Они призваны показать, помимо всего прочего, трудности познания реального мира посредством математических упражнений.

По словам Бертрана Рассела: «Анализу апорий Зенона посвящена колоссальная литература; особенно большое внимание им уделялось в последние сто лет, когда математики стали усматривать в них предвосхищение парадоксов современной теории множеств».

На практике Ахиллес при желании перегонит черепаху, которая находится в пределах досягаемости. Но при некоторых условиях ему это не удастся. Почему?

Ответ прост: Ахиллес поставлен в такие условия, при которых он не догонит черепаху. Ему предложено постоянно замедлять своё движение, а с уменьшением расстояния становиться всё тоньше и меньше, до ничтожных размеров. Так получается, если отрешиться от математических абстракций и представить себе реальную картину бега.

Чтобы показать важность корректной постановки задачи, можно предложить апорию «Ахиллес и Гермес».

Есть аксиома: расстояние между двумя неподвижными телами остаётся неизменным. Немного изменим её: тела неподвижны, если расстояние между ними остаётся постоянным.

Итак, новая ситуация. Ахиллесу предложили догнать черепаху, которая находится в тысяче шагов от него. Когда он добежал до того места, где была черепаха, она оказалась в той же тысяче шагов от него. Это Гермес, бог торговли, воровства и хитрости, переносил её с той же скоростью, с которой бежал быстроногий Ахиллес. Так продолжалось впредь: как ни старался Ахиллес, расстояние между ним и черепахой оставалось неизменным.

В таком случае, если исходить из принципа, который взят за основу, он и она оставались неподвижными. Ведь расстояние между ними не менялось. Выходит, нет разницы – неподвижны два тела или движутся в одном направлении с одинаковой скоростью.

Вот и вспомнишь: «Движенья нет, сказал мудрец брадатый…»

Правда, во время бега Ахиллес тратил значительно больше энергии, чем в покое; значит, было движение. Но ведь есть бег на месте…

Общий вывод прост: наш исходный посыл и наши условия мысленного опыта были некорректны. Неверная постановка проблемы заводит мысль в тупик, исключает рациональное решение и вступает в противоречие с опытом и здравым смыслом.

При рассуждениях о движении двух тел принципиальное значение имеет взятая точка отсчёта и метод фиксации перемещений. Например, следствием теории относительности считается парадокс близнецов. Один близнец улетает с Земли, достигает близко к световой скорости, а через некоторое время возвращается на родную планету. Согласно теории, он испытает замедление времени и вернётся более молодым, чем его брат.

Но по той же теории за точку отсчёта можно взять ракету, и формулы останутся теми же, но на этот раз уже землянин при встрече должен быть моложе брата-астронавта. Получается парадокс парадокса близнецов.

Астронавт, в отличие от землянина, испытает огромные перегрузки, что плохо скажется на его здоровье. Выходит, логичней взять точкой отсчёта ракету, раз уж есть свобода выбора.

Впрочем, о парадоксе близнецов мы ещё поговорим.

Стрела

Апории «Ахиллес и черепаха» и «Дихотомия» исходят из гипотезы непрерывности пространства и времени, которые бесконечно делимы.

Николя Бурбаки (псевдоним группы французских математиков ХХ века) сделал вывод: «Вопрос о бесконечной делимости пространства (бесспорно, поставленный ещё ранними пифагорейцами) привёл, как известно, к значительным затруднениям в философии: от Элеатов до Больцано и Кантора математики и философы не в силах были разрешить парадокса – как конечная величина может состоять из бесконечного числа точек, не имеющих размера».

Третья апория Зенона – «Стрела» – предполагает другой вариант: время и пространство делимы на элементарные дискретные моменты времени и точки пространства. Однако и в этом случае, как выясняется, нельзя обойтись без противоречий.

Стрела – третья апория Зенона

Летящую стрелу есть все основания считать неподвижной. Ведь в каждый момент времени она занимает равное себе положение, то есть покоится. Но если она покоится в каждый момент времени, то она так же неподвижна и в сумме этих моментов.

Напомню: Зенона не надо было убеждать в существовании движения, прохаживаясь перед ним. Он и сам мог с таким же успехом ходить, рассуждая о том, что летящая стрела неподвижна. Для него было важно показать, что в нашем понимании сути движения есть противоречия.

Из Интернета: «В студенческие годы я написал курсовую по апориям Зенона. В ней я утверждал, что апории возникают потому, что движение субстанциально, а покой частный и побочный случай, парадоксальная форма движения, а поэтому при помощи покоя осмыслить движение невозможно. Получил “неуд”. Как вы думаете – заслуженно, или я был прав?»

Мне кажется, умный студент был прав. Хотя бы отчасти.

Движение не может быть частным случаем всеобщего покоя. Ибо покой исключает какое-либо движение.

Состояние покоя – частный предельный или даже исходный момент движения. В этом случае скорость тела равна нулю, только и всего.

Впрочем, и тут не обходится без парадокса. Неподвижное тело относительно одного объекта может находиться в движении относительно другого объекта. Предположим, стрела летит равномерно прямолинейно в космическом пространстве, не испытывая сопротивления. Где-то в стороне движется ракета с космонавтом. Как узнать, летит стрела или покоится?

Раз уж она оказалась в космосе, значит, каким-то образом преодолела земное (лунное) притяжение или была сброшена с космического корабля. В любом случае, она находилась в движении, а теперь продолжает его. Но узнать её скорость нельзя, не зная, когда и где начался её полёт; формально можно считать, что она неподвижна.

Если иметь точки отсчёта в пространстве и времени, то нетрудно будет вычислить скорость стрелы. Без этих сведений остаётся неопределённость: допустимо считать стрелу или летящей, или неподвижной.

В современном варианте эта апория выглядит так. Скоростной киносъёмкой запечатлён полёт стрелы. Прокручивая кадры с обычной скоростью, мы увидим её медленное движение. А на каждом отдельном кадре она будет неподвижной.

Минимальна порция энергии – квант. Если есть подобные «кванты» пространства и времени, то скорость летящей стрелы в каждый квант пространства и времени равна нулю. Сумма таких моментов тоже будет равна нулю. Значит, стрела не движется, хотя известно, что она летит.

Апория свидетельствует о решительном противоречии логичных рассуждений и реальности. Приходится признать ошибочность идеи о кванте времени и пространства. Они не состоят из мельчайших неделимых частей, не дискретны (от латинского слова, означающего «делимый»).

Однако предыдущие апории («Ахиллес и черепаха», «Дихотомия») показали, что время и пространство нет оснований считать непрерывными, то есть бесконечно делимыми. Что же получается? Есть два варианта, и оба сомнительны. Получается неопределённость решения. Хотя есть ещё один, наиболее разумный вывод.

Надо признать время и пространство категориями идеальными. То есть мы ими пользуемся произвольно, чаще всего успешно и с пользой, но порой вступая в противоречие с явлениями материального мира.

Что же имел в виду Зенон в апории «Стрела»? Сам он об этом не обмолвился. Есть такие варианты. Он имел в виду проблемы:

• Сходящихся числовых рядов.

• Теории множеств.

• Бесконечной или ограниченной делимости пространства.

• Бесконечной или ограниченной делимости времени.

• Зависимость решения задачи от её формулировки.

Зенон полагал, что на основе апорий можно доказать:

• Отсутствие абсолютного пространства.

• Отсутствие абсолютного времени.

• Как результат – отсутствие абсолютного движения.